5第五章 张量分析deflate.docx

第五章 张量分析在笛卡尔坐标系中已经讨论过矢量的导数和积分，就矢量而言有三个分量，分量相同则 矢量相同，分量不同则矢量不同，且矢量分量的变化能够完全描述矢量的变化在曲线坐标系中的情况则完全不同譬如在极坐标系中，图，任意两点的矢量相等，但 它们的径向分量和周向分量却不相等然而在 两点的矢量并不相等，但在极坐标系中却有 相同的径向分量和周向分量（为零）在曲线坐标系中的空间各点上，可以确定一组协变基矢量 g 和一组对偶的逆变基矢量igi，它们一般都是空间点位置即曲线坐标｛Xi ｝的函数，因此空间各点的基矢量构成了局部的斜角直线坐标系，可称曲线坐标系是空间局部坐标系由于直线坐标系的基矢量在整个空 间各点上处处相同，相应地称直线坐标系为整体坐标系在曲线坐标系中研究张量在邻近区 域各点的变化时，考察基矢量的空间变化情况则是进行张量分析的基础第一节 克里斯托夫符号 考察任意一个矢量的导数，则有：V = C g ） = Vi g + Vi gV = C gi = v gi + v gi, j i , j i, j i , j, j i ,j , j i i, j以上两式中的最后一项是基矢量的导数，注意基矢量的偏导数仍是矢量，也可以分解到基矢 量 gi 或 g 方向上的分量。

首先考察协变基矢量的导数，令：ig =T g k = 口 g称厂k为第二类克里斯托夫符号iji, j ijk ij k这里引进了三指标符号，称%为第一类克里斯托夫符号, 上式左端包含9 项，右端有3 项，所以克里斯托夫符号有27 个分量若用另一个基矢量点 乘上式，得：g -g =r gi g =r §1 =ri, j k ij l k ijl k ijkg • g k =厂 l g • g k =厂 l § k =厂 ki, j ij l ij l ij即克里斯托夫符号的分量都是关于协变基矢量的导数与基矢量的点积构成的 因为r gk =rkg，用g和gi点乘等式的两边，可得：ijk ij k lr § k = r = r k gijk l ijl ij kl厂 gkl = Tk§ l = rlijk ij k ij所以，克里斯托夫符号的第三个指标可以象矢量分量的指标一样上升和下降另外，联系协变基矢量是矢径对坐标的偏导数：dr则有：g =r =r = gi, j ,ij , ji j,i所以有：r gl =r gl， rlg =rl gijl jil ij l ji l以g和gk分别点乘上面两式后得:kr =r ，rk = rkijk jik ij ji由于克里斯托夫符号关于前面两个指标对称,所以独立的分量就有18 个克里斯托夫符号不是张量。

在曲线坐标变换时，第一类克里斯托夫符号的变可以证明换规律是:r■ f ■ fj fi j kd dr dr d dr d xj dr= ( )- = ( )--d x i d x j d x k d x i d x j d x j d x kd2r d xi d x j dr d2 x j dr d xk=( + ) •d x i d x j d x i d x j d x j d x i d x j d x k d x kd2 x jd 2 xj卩；卩护广gjk卩宀xi'0 xj'由于上式中最后一项不恒为零’所以rjk的坐标变化规律不满足三阶张量的变换规律，说明mn第一类克里斯托夫符号不是张量若将上式两边同乘以gk'l'二卩k，卩l' gmn,简单运算后可得:r k' =r k卩i卩j卩k' +卩八i j ij i j k j d xi d xj可见第二类克里斯托夫符号r k也不是张量ij克里斯托夫符号可以用度量张量表示由于g = g -g，等式两边同时求导有：ij i jg = g - g + g - gij,k i,k j i j,k即有:r +r = gikj jki ij,k同理得到:r +r = g ， r +r = gkij ijk jk,i jki ijk ki, j将以上三式的后两式之和减去第一式，并利用克里斯托夫符号关于前两个指标的对称性，有:1r =才（g + g 一g ）ijk 2 jk,i ki, j ij,k尽管克里斯托夫符号不是张量，但可由度量张量的导数表示。

利用度量张量对克里斯托夫符号第三个指标的升降关系，可得第二类克里斯托夫符号rk:ijr k = gkm (g + g — g )ij 2 jm,i mi, j ij,m由以上两式可见，克里斯托夫符号恒为零的条件是度量张量为常数张量，显然在笛卡尔坐标 系和斜线直角坐标系中，克里斯托夫符号恒为零这一点也可证明克里斯托夫符号不构成张 量求逆变基矢量的导数自然联系到对偶条件g • gj=§ j，等式两边同时求导得： iig - g j + g - g j 二 0 i,k i ,k则有：g - g j 二—g - g j = —r ji ,k i,k ik暂设逆变基矢量的导数为gj = rjgi，两边点积g得: ,k kl iAg -gj =rji ,k ki比较以上两式得rj =—f j，则有逆变基矢量的导数：ik ki第二节 协变导数一、矢量的协变导数 任意矢量的导数现在可写成：v = Vi g + Vi g = Vi g + Vi f kg = (i + Vk fi = Vi g, j , j i i, j , j i ij k , j jk i ; j i矢量的协变导数是矢量v对xj的导数的i方向分量，记为:Vi = Vi + Vk f i; j , j jk同样有：v,j,j=V gi + V gi = V gi 一 V fi g k = \ gi 一 V f k gi = V gii,j i ,j i,j i jk i,j k ij i; jV = V — V fki; j i, j k ij由此可见，矢量的导数v，j仍然是矢量，对于固定的j，它的逆变分量是协变导数V：j，它的协变分量是协变导数V 。

对矢量求导只要求矢量分量的协变导数，基矢量似乎不参与求导 i;j运算，从而保持了矢量求导与普通求导运算在形式上一致性当矢量v(j h着分量为dxj的线元矢量移动到相邻点xj + dxj时，该矢量的改变量为：dvd v = dxj = v dxjd xj ，j也可以写为：dV = (dv)i g =vi g dxji ; j idV=(dv)gi =v gidxji i; j矢量微分d V的逆变分量dv i和协变分量dv •称为协变微分，今后协变微分可用算符D表示, i普通微分用 d 表示，则有：Dvi = (dv) = Vi dxj = dvi + vk ri dxj; j jkDv = (dv) = v dxj = dv - v rk dxji i i; j i k ij现在要说明把vi和v称为协变导数的原因考察在新坐标系中，有= v g，对xj ;j i;j i'求导，得：V = v gi' + v gi' = v gi',j' i',j' i' ,j' i';j'另一方面，采用链式求导法则，得到：Q xj cv = v = v g i B j,j' ,j Q x j' i; j j'比较以上两式有：v gi' = v giB ji'; j' i; j j'用基矢量gk' = B g点乘这个等式两边，有:v =v BkB j k';j' k;j k' j'这表明匚是一个二阶张量的协变分量。

另外在新坐标系中也有v =vi' g，对xj'求导，得:v = vi' g, j' ; j' i'同时有：QxjV = V ,j' ,j Q x j'=v;ijgiBjj'故有：vi' g = vi g B j; j' i' ; j i j'两边点乘gk' = B k gk，得：kvk' = vk B k'B j;j ;j k j这表明vk是一个二阶张量的混变分量这里指标j是协变指标，坐标变换时用协变转换系 ;j数，但它具有求导意义，所以称v和vk为协变导数协变导数由两项组成，每一项都不k; j ; j是张量分量，其和却是二阶张量的分量由v和vk的张量性质，立刻写出：k; j ; jv gik = vki; j ;j根据需要可以引入v gj = v-k i; j i;研究了求矢量的导数之后，下面考察一下标量0的导数把标量0对Xi的导数写成：7d Xi ，i则在新坐标系中有：, Q Xi , n0 = = = 0 p i，i' Q Xi' Q Xi Q Xi' ，i i'这说明0 与矢量的分量一样进行坐标变换，把0 直接写成：，i ，i0 =0，i ;i并且对于标量而言，普通导数和协变导数是相等的。

由于0 是矢量的分量，所以它们确定;i一个矢量：u = 0 gi 二 grad 0;i它是标量场0 = 0的梯度矢量引进哈密顿矢量微分算子：、=gQi Q Xi则矢量的梯度又可写成：u = grad0 = V0这时标量梯度的实体记法，适合于任意曲线坐标系现在把讨论转移到二阶张量用两个矢量ui和vj乘一个张量T，得到一个标量:ij0 = T uiv jij把它对 Xk 求导，得到：0 = T uivj + T ui vj + T uivj，k ij，k ij ，k ij ，k=T Uivj + T ui vj + T Uivj 一 T ui r i vj - T Uivi r j ij，k ij ;k ij ;k ij kl ij kl如果定义：T Uivj = T Uivj 一 T UivfTi 一 T Uivirjij;k ij ，k ij kl ij kl前式就可以写成如下形式:uivj;kij;k=T UiVj + T uivj + T uivjij ;k ij ;k ij ;k改变哑标的记号'还可以把T/Vj写成ij;kuivjij,k—t ri — t riij ik ii kj若对某张量T和任意U、Vj使上式成立，当且仅当：ijT =T —T ri —T riij;k ij ,k ij ik ii kj设上式为二阶张量T的协变导数。

下面可以证明T是三阶协变张量由前面式子可知：ij ij ;kT uiv j = 0 —T ui v j —T uiv jij ;k ;k ij ;k ij ;k由于上式右端每一项都是矢量，因此等式左端也是矢量，故有：T Ui'Vj' = BkT UiVj = BkT Biui'BjVj' = T Bk Bi BjUi'Vj'•f -f J f * If J * If • ■ I * -f * -f • ■ T * If* -fi j ;k k ij；k k ij；k i j ij；k k i j所以有：T = T卩i卩j卩ki j ;k ij;k i j k故T是三阶协变张量ij;k用类似方法，可以写出二阶张量另。