直线与圆的位置关系典例讲解习题答案.doc

4.2.1 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系（典例）　　已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0　　1．位置关系的判定：　　判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程　　(1)△>0相交；　　(2)△=0相切；　　(3)△<0相离　　判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d　　(1)dr相离　　例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系　　法一：直线L：m(x-y+2)+x+y-1=0恒过点 ，　　∵点P在圆O内，　　∴直线L与圆O相交　　法二：圆心O到直线L的距离为 　　当d<3时，(2m-1)2<9(2m2+2)，　　∴14m2+4m+17>0　　 　　∴m∈R　　所以直线L与直线O相交　　　2．切线问题：　　例3：　　(1)已知点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，求过点P的圆C的切线方程；(x0x+y0y=r2)　　法一：　　∵点P(x0，y0)是圆C：x2+y2=r2上一点，∴ 　　当x0≠0且y0≠0时， 　　∴切线方程为 　　当P为(0，r)时，切线方程为y=r，满足方程(1)；　　当P为(0，-r)时，切线方程为t=-r，满足方程(1)；　　当P为(r，0)时，切线方程为x=r，满足方程(1)；　　当P为(-r，0)时，切线方程为x=-r，满足方程(1)；　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2　　法二：设M(x，y)为所求切线上除P点外的任一点，则由图知|OM|2=|OP|2+|PM|2，　　即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2　　∴x0x+y0y=r2且P(x0，y0)满足上面的方程。

　　综上，所求切线方程为x0x+y0y=r2　　(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程　　解：当PT方程为x=4时，为圆O的切线，满足题意：　　设PT的方程为y-6=k(x-4)，即kx-y-4k+6=0　　则圆心O到PT的距离为 　　所以PT的方程为 　　综上，切线PT的方程为x=4，5x-12y+52=0　　例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：　　(1) ；　　　　 （2） B(4，5)　　解：　　(1)圆C：(x-1)2+(y+2)2=9，圆心C(1，-2)，r=3，且点A在圆C上，　　法一：设切线方程为 ，则圆心到切线的距离为　　 ，　　∴所求切线方程为 　　法二：　　∵AC⊥l， 　　∴所求切线方程为 　　(2)点B在圆外，所以过B点的切线有两条　　设切线方程为y=k(x-4)+5，则圆心C到切线的距离为　　 　　又直线x=4也是圆的切线方程，　　∴所求切线方程为 　　例5、设点P(x，y)是圆x2+y2=1上任一点，求 的取值范围　　法一：u表示过点(-1，2)且与圆有交点的直线l的斜率，　　如图，当直线l与圆相切时，PA的斜率不存在，　　直线PB的方程为ux-y+u+2=0，　　圆心到直线PB的距离为　　 　　∴ 　　　例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值。

　　 解：　　∵ 　　∴当|OP|最小时，SPAOB最小，　　又∵当OP⊥L时|OP|最小，此时 　　 　　 例7、(切点弦)过圆外一点P(a，b)做圆O：x2+y2=r2的切线，切点为A、B，求直线AB的方程　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则过A点的切线为x1x+y1y=r2，　　又∵过点P(a，b)　　∴ax1+by1=r2，　　同理有ax2+by2=r2　　由以上两式可以看出A、B的坐标都满足方程ax+by=r2，它是一条直线的方程，　　又∵过两点的直线有且仅有一条，　　∴直线AB的方程为ax+by=r2　　　3、弦长问题　　例8、　　(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程　　解：圆心C(1，0)，kPC=-1，　　∵AB⊥PC，　　∴kAB=1，且AB过点P，　　∴直线AB的方程为y+1=x-2即y=x-3　　(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹　　解：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，且A（x1，y1），B（x2，y2）　　由 ，消去y得5x2+4bx+b2-4=0　　由韦达定理得， 　　 ①　　 　　 ②　　由①②消去b得 ，又因M在圆内，　　∴所求轨迹为直线 在圆内的部分。

　　(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹　　法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)　　由 消去y得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0练习一一、 选择题1、直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是( )A、相离 B、相切C、相交且直线不过圆心D、相交且过圆心2、圆x2+y2+2x+4-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有( )个A1、 B、2 C、3 D、43、圆x2+y2=16上的点到直线x-y=3的距离的最大值为( )A、 B、4-C、4+ D、04、若直线3x＋4y＋k=0与圆x＋y－6x＋5=0相切,则k的值等于( )A、1或-19 B、10或-1 C、-1或-19 D、-1或195、若直线ax＋by－1=0与圆x＋y=1相交,则点P(a,b)的位置是( )A、在圆上 B、在圆外C、在圆内 D、以上皆有可能6、过点P(3,0)能做多少条直线与圆x＋y－8x－2y＋10=0相切( )A、0条 B、1条C、2条 D、1条或2条7、若直线3x＋4y－12=0与x轴交 于A点, 与y轴于交B点,那么OAB的内切圆方程是( ) A、x＋y＋2x＋2y＋1=0 B、x＋y－2x＋2y＋1=0 C、x＋y－2x－2y＋1=0 D、x＋y－2x－2y－1=08、1、表示的曲线为( )A、两个半圆 B、一个圆C、半个圆 D、两个圆二、填空题9、自圆x2+y2=r2外一点P()作圆的两条切线,切点分别为,则直线的方程为 10、 已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线:x-y+3=0,当直线被C截得弦长为时,则a= 11、过点(1,-1)的圆x＋y=2的切线方程为________、过点(1,1)的圆(x－1) ＋ (y－2) =1的切线方程为________、12、由点P(1,-2)向圆x2+y2-6x-2y+6=0引切线方程是 13、直线L过点(-5,-10)，且在圆x＋y=25上截得的弦长为5,则直线L的方程为________14、将直线沿轴正方向平移2个单位，再沿轴负方向平移3个单位，所得直线与重合，则直线的斜率是________________15、将一张坐标纸折叠一次，使得点（0，2）与点（4，0）重合，点（7，3）与点重合，则__________________16、若直线过点P（2，3），且方向向量，则的方程为___________17、设M（2，-5），N（-3，2），直线过点P（1，1），若与线段MN有交点，则斜率的范围是__________ ，倾斜角的范围是________ _ _。

18、经过点P（-1，-2）的直线分别交轴和轴的负半轴于A、B两点⑴当|PA|.|PB|最小时，求的方程；⑵设△AOB面积为S，讨论这样的直线的条数19过点P（-1，2）且与曲线在点M（1，1）处切线平行的直线方程是________________三、解答题20、已知圆x2+y2=8,定点P(4,0),问过P点的直线斜率在什么范围内取值时,这条直线与已知圆(1)相切 ,(2)相交, (3)相离？答案：一、 选择题1、D；2、C；3、C；4、A；5、B；6、A；7、C；8、B二、 填空题9、10、11、x－y－2=0,y=112、5x-12y-29=0或x=113、x－y－5=0或7x－y＋25=0三、 解答题14、设过P点的直线方程为y=k(x-4)由中消去y得x2+k2(x-4)2=8即(1+k2)x2-8k2x+16k2-8=0判别式=32(1-k2)(1) 当=0即k=时,直线与圆相切(2) 当=32(1-k2)>0,即-11或k<-1时,直线与圆相离 第 8 页 共 8 页 。