量子力学课后答案.doc

• 第一章 绪论• 第二章 波函数和薛定谔方程• 第三章 力学量的算符表示• 第四章 态和力学量的表象• 第五章 微扰理论• 第六章 弹性散射• 第七章 自旋和全同粒子1.． 由 黑 体 辐 射 公 式 导 出 维 恩 位 移 定 律 ： CmbTm0319.2 , 证 明 ： 由 普 朗 克 黑 体 辐 射 公 式 ： dechdkT183， 及 、 2得 185kThce， 令 x， 再 由 0d， 得 .所 满 足 的 超 越 方 程 为 15xe 用 图 解 法 求 得 97.4， 即 得 97.4kThcm， 将 数 据 代 入 求 得 Cm109.2 ,3bTm 第 一 章 绪 论 1.2． 在 0K附 近 ， 钠 的 价 电 子 能 量 约 为 3eV,求 de Broglie波 长 . 解 ： 010A..2Ehp # 1.3. 氦 原 子 的 动 能 为 kT3， 求 K时 氦 原 子 的 de Broglie波 长 解 ： 01063.2m63.22mhph 其 中 g106.3.427m， 1J8k # 1.4利 用 玻 尔 —索 末 菲 量 子 化 条 件 ， 求 ： （ ） 一 维 谐 振 子 的 能 量 。

（ 2） 在 均 匀 磁 场 中 作 圆 周 运 动 的 电 子 的 轨 道 半 径 已 知 外 磁 场 T10B， 玻 尔 磁 子 123TJ09.B， 求 动 能 的 量 子 化 间 隔 E， 并 与 K4T及K0T的 热 运 动 能 量 相 比 较 解 ： （ 1） 方 法 1： 谐 振 子 的 能 量 22qpE 可 以 化 为 122Eqp 的 平 面 运 动 ， 轨 道 为 椭 圆 ， 两 半 轴 分 别 为 2,2Eba， 相 空 间 面 积 为 L,10,2nhabpdq所 以 ， 能 量 L,10,nhE 方 法 2： 一 维 谐 振 子 的 运 动 方 程 为 2q， 其 解 为 tAsi 速 度 为 qco， 动 量 为 tApcos， 则 相 积 分 为 nhTAddtpdTT  2)1(20022 ， L,210 nhE， L, （ 2） 设 磁 场 垂 直 于 电 子 运 动 方 向 ， 受 洛 仑 兹 力 作 用 作 匀 速 圆 周 运 动 。

由 RveB2， 得 eBv 再 由 量 子 化 条 件 ,321,pdq， 以 22,Rvp分 别 表 示 广 义 坐 标 和 相 应的 广 义 动 量 ， 所 以 相 积 分 为 nheBRvdp 220 ， L,1， 由 此 得 半 径 为 enh， L,21 电 子 的 动 能 为 BneE221 动 能 间 隔 为 JB309 热 运 动 能 量 （ 因 是 平 面 运 动 ， 两 个 自 由 度 ） 为 kTE， 所 以 当 K4时 ， JE23105.； 当K10T时 ， 218. 1.5 两 个 光 子 在 一 定 条 件 下 可 以 转 化 为 正 负 电 子 对 ， 如 果 两 个 光 子 的 能 量 相 等 ， 问 要 实 现 这 种 转 化 ， 光 子波 长 最 大 是 多 少 ？ 解 ： 转 化 条 件 为 2che， 其 中 e为 电 子 的 静 止 质 量 ， 而 c， 所 以 che， 即 有 08314max A2.0.96ce（ 电 子 的 康 普 顿 波 长 ） 。

2.1.证 明 在 定 态 中 ， 几 率 流 与 时 间 无 关 证 ： 对 于 定 态 ， 可 令 )]r()r()r([m2i ]e)r(eeei )(2iJ e)rt(ftr( ** EtiEti*EtiEti*Etihrrrh hhhh  、、、、、 可 见 tJ与r无 关 第 二 章 波 函 数 和 薛 定 谔 方 程 2. 由 下 列 定 态 波 函 数 计 算 几 率 流 密 度 ： ikrikr ee1)2( 1)( 从 所 得 结 果 说 明 表 示 向 外 传 播 的 球 面 波 ， 2表 示 向 内 (即 向 原 点 ) 传 播 的 球 面 波 解 ： 分 量只 有和 J21r 在 球 坐 标 中 sinr1err0 rmkr rikrii eerrimiJ ikrikrikikhhr302 022 01*11 )]()([ ( )(2 )(rJ1、同 向 表 示 向 外 传 播 的 球 面 波 rmkrk rikii erereii ikrikikikhh302 022 0*222 )]1(1)1([ (( )()( 可 见 ， Jr与2反 向 。

表 示 向 内 (即 向 原 点 ) 传 播 的 球 面 波 补 充 ： 设 ikxe)(， 粒 子 的 位 置 几 率 分 布 如 何 ？ 这 个 波 函 数 能 否 归 一 化 ？ d*Q ∴ 波 函 数 不 能 按 1)(2方 式 归 一 化 其 相 对 位 置 几 率 分 布 函 数 为 12表 示 粒 子 在 空 间 各 处 出 现 的 几 率 相 同 2.3 一 粒 子 在 一 维 势 场 axU，， ， 0 )( 中 运 动 ， 求 粒 子 的 能 级 和 对 应 的 波 函 数 解 ： t与)(无 关 ， 是 定 态 问 题 其 定 态 S—方 程 )()()(2xExdxmh 在 各 区 域 的 具 体 形 式 为 Ⅰ ： )()()(2 0 111 xEUdh① Ⅱ ： 22xxax ② Ⅲ ： )()()( 3332dmh③ 由 于 (1)、 (3)方 程 中 ， 由 于 U， 要 等 式 成 立 ， 必 须 0x 2 即 粒 子 不 能 运 动 到 势 阱 以 外 的 地 方 去 。

方 程 (2)可 变 为 0)(2)(2xEdxh 令 2mk， 得 0)()(2kdx 其 解 为 xBAcossin2 ④ 根 据 波 函 数 的 标 准 条 件 确 定 系 数 A， ， 由 连 续 性 条 件 ， 得 )0(1⑤ )(32a⑥ ⑤ B ⑥ sink ),3 21( 0sinLQkaA ∴ xaAxi)(2 由 归 一 化 条 件 1d 得 sin02ax 由 mnb axdnm2si xanxAsi2)(2 hQmEk ),321(2Lnn 可 见 E是 量 子 化 的 对 应 于 的 归 一 化 的 定 态 波 函 数 为 axxeatxtEin n , ,0 ,si),(h 2.4. 证 明 （ 2.6-14） 式 中 的 归 一 化 常 数 是 A1 证 ： axanAn ,0 ),(si 由 归 一 化 ， 得 aAaxndxxanAddxaaan22222)(sico)](s1[)(i ∴ 归 一 化 常 数 1 2.5 求 一 维 谐 振 子 处 在 激 发 态 时 几 率 最 大 的 位 置 。

解 ： 212)(xex 22311 4xxee 2][2 )(31 xdx 令 0 ， 得 x 1 由 )(1的 表 达 式 可 知 ， 0， 时 ， 0)(x 显 然 不 是 最 大 几 率 的 位 置 2 2)]5[(4 ]6[(2 43 3232 x xex ed而 01 )32112 dx， 可 见 h1是 所 求 几 率 最 大 的 位 置 # 2.6 在 一 维 势 场 中 运 动 的 粒 子 ， 势 能 对 原 点 对 称 ： )((xU， 证 明 粒 子 的 定 态 波 函 数 具 有 确 定 的 宇称 证 ： 在 一 维 势 场 中 运 动 的 粒 子 的 定 态 S-方 程 为 )()()(2 xExUdxh ① 将 式 中 的 以 代 换 ， 得 )()(2xExdh ② 利 用 )((x， 得 )(Ux ③ 比 较 ① 、 ③ 式 可 知 ， )(和 都 是 描 写 在 同 一 势 场 作 用 下 的 粒 子 状 态 的 波 函 数 。

由 于 它 们 描 写的 是 同 一 个 状 态 ， 因 此 (和之 间 只 能 相 差 一 个 常 数 c 方 程 ① 、 ③ 可 相 互 进 行 空 间 反 演 )(x而 得 其 对 方 ， 由 ① 经 反 演 ， 可 得 ③ ， )(xc ④ 由 ③ 再 经 反 演 ， 可 得 ① ， 反 演 步 骤 与 上 完 全 相 同 ， 即 是 完 全 等 价 的 ( ⑤ ④ 乘 ⑤ ， 得 )x()2， 可 见 ， 12c， 所 以 1c 当 1c时 ， ， 具 有 偶 宇 称 ， 当 时 ， ( x， 具 有 奇 宇 称 ， 当 势 场 满 足 )U时 ， 粒 子 的 定 态 波 函 数 具 有 确 定 的 宇 称 2.7 一 粒 子 在 一 维 势 阱 中 axUx ,0 )( 运 动 ， 求 束 缚 态 ( 0E)的 能 级 所 满 足 的 方 程 解 ： 粒 子 所 满 足 的 S-方 程 为 )(()2xxdxh 按 势 能 (U的 形 式 分 区 域 的 具 体 形 式 为 Ⅰ ： )(E)()11012 ax ① Ⅱ ： (2xdxh  ② Ⅲ ： )()(U)23303 xa ③ 整 理 后 ， 得 Ⅰ ： 0)(2101hEU ④ Ⅱ ： . 22 ⑤ Ⅲ ： )(303 ⑥ 令 2221 hhEkEUk 则 Ⅰ ： 01 ⑦ Ⅱ ： . 2 ⑧ Ⅲ ： 3k ⑨ 各 方 程 的 解 为 xkxk3222xx11111FeEcosDsinCBA 由 波 函 数 的 有 限 性 ， 有 0 )(31A有 限有 限 因 此 xk311FeB 由 波 函 数 的 连 续 性 ， 有 )13(。