球面距离计算公式的推导及举例.doc

球面距离的计算及其计算公式##在球面上，不在同一直径上的两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣派的长度，我们把这段抓长叫做球面上这两点间的球面距离.（也叫球面上的短程线或测地线）如图1，A、B为球面上不在同一直径上的两点，O为圆心O为过A、B的大圆，0O为过A、B的任一个小圆，我们把这两个圆画在同一个平面内.（见图1）设ZAOB，2a，ZAO'B，2a‘，球半径为R，半径为r.则有AB大圆弧长L，2aR，L2aRaRAB小圆弧长l，2ar，，l2a'rR但AB，2Rsina，2rsina'，即r(1)La将（2）代入（1）得7，,/asinasinaarsinasinasinaasina(2)(3)<:，故只需证明函数f(x)，sinx()xcosx-sinxcosx(x-tanx)小减即可.・•・f心丿，，<0,R…丫,由(2)式知a'>a.由于0

O2分别为过A、B的纬度圈，过A、C的大圆，过B、D的大圆分别为A、B的经度圈’而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作AE丄面O2BC，垂足E位于O2C上，连结EB、AB则AE2，OO2，(OO-00》，(Rsin'-Rsin'》，R2(sin'-sin'》12121212在—OBE中，由余弦定理，得：BE2，OE2+OB2+20E・OBcos(a-a)2222212，OA2+OB2—2OA・OBcos(a-a)121212，(Rcos'》+(Rcos'12-2Rcos'・Rcos'・cosCx-a)1212=R2[los2P+cos2P一2cosP-cosP-cosCx-,121211故AB2=AE2+BE2=R2[2一2sinPsinP一2cosPcosP-cosCx一,》121212又AB2=2Rsin气2丿=4R2sin2》=2R26-cos比较上述两式，化简整理得:##(2<2r2+12JI2丿△OAB中，由余弦定理:cosZAOB=OA2+OB2一AB22OA…OB2一R2+R2一22R23R2cos0=cosCi-,)cosPcosP+sinPsinP，从而可证得关于0与L的两个式子111212计算球面距离的三种类型现行课本中，介绍了球面距离的概念，这方面的习题很多，同学们学习时普遍感到困难.下面给出这类习题解答的示范，以供同学们参考.1位于同一纬度线上两点的球面距离例1已知A，B两地都位于北纬45。

又分别位于东经30设地球半径为R，求A，B的球面距离.分析：要求两点A，B的球面距离，过A，B作大圆，根据弧长公式，关键要求圆心角ZAOB的大小（见图1）,而要求ZAOB往往首先要求弦AB的长，即要求两点的球面距离，往往要先求这两点的直线距离.解：作出直观图（见图2），设O为球心，O为北纬45圈的圆心，连结OA，OB，OA11OB，AB.由于地轴NS丄平面AOB.ZOAO与ZOBO为纬度45ZAOB为二面角A-OO-B111111的平面角ZAOB=60经度差).12Rt△OAO中，OA=OAcosZOAO=R…cos45R.1112△OAB中，由余弦定理，AB2=OA2+OB2一2OA…OBcosZAOB1-----―2-2R…2R…cos302一3R2222##'R7・•・ZAOB‘21・•・AB的球面距离约为“a…21=^'R.180602.位于同一经线上两点的球面距离（设地球半径为R）.例2求东经57线上，纬度分别为北纬68的两地A，B的球面距离.解：经过A、B两地的大圆就是已知经线.ZAOB=68AB=驚化：3.位于不同经线，不同纬线上两点的球面距离例3A地位于北纬30东经60。

B地位于北纬60东经90求A,B两地之间的球面距离.（见图4）解：设O为球心，O,O分别为北纬30和北纬60圈的圆心，连结OA,OB,12AB.\Rt△OOA中，由纬度为30知ZOAO=3011OO=OAsinZOAO=Rsin30Ri123AO=OAcosZOAO=Rcos30R.Rt△OOB中，ZOBO=6011222・•・OO=R，sin603R,22R31OB=R，cos60OO=OO—OO=R—R=22122122注意到OA与OB是异面直线，它们的公垂线为OO，所成的角为经度差90€—60利用异面直1212线上两点间的距离公式.（„为经度差）AB2=OA2+OB2+OO2—2OA，OBcos„121212[3R:2+f1R]2+〔2J<2J32-1R、315—23R，R，cos30R2.224△AOB中cosZAOB=OA2…OB2-AB22OA，OB—5—2-42R，R3…23兀R78〜°8205••••ZAOB〜35••••AB的球面距离约为180，35=36飒#。