弹箭的飞行运动方程组与稳定理论ppt课件.ppt

飞航力学飞航力学飞航力学飞航力学￿￿￿￿￿教学计划弹箭的飞行运动方程组与稳定理论（10学时）4.14.1 弹体弹体质心质心运动方程（掌握）运动方程（掌握）4.24.2 弹体弹体刚体刚体运动方程（了解）运动方程（了解）4.3 4.3 弹体飞行稳定理论（弹体飞行稳定理论（掌握掌握））飞航力学飞航力学 在在弹弹箭箭设设计计、、研研制制与与试试验验过过程程中中，，为为了了达达到到所所需需要要的的射射程程，，需需要要进进行行大大量量的的弹弹道道计计算算、、分分析析与与试试验验在在弹弹箭箭总总体体方方案案设设计计时时也也需需要要建建立立外外弹弹道道模模型型，，进进行行计计算算机机仿仿真真由由于于通通常常在在弹弹箭箭方方案案设设计计阶阶段段，，还还不不知知弹弹丸丸的的具具体体结结构构参参数数以以及及气气动动力力数数据据，，难难以以进行进行弹丸弹丸刚体弹道刚体弹道计算￿￿4.1￿弹体质心运动方程一￿、质心运动方程飞航力学飞航力学 因因此此，，需需要要首首先先建建立立弹弹箭箭质质点点弹弹道道模模型型，，进进行行弹弹道道计计算算分分析析，，以以比比较较设设计计方方案案的的优优劣劣。

而而当当弹弹箭箭已已经经设设计计好好后后，，就就需需要要进进行行精精确确的的弹弹道道计计算算和和射射表表编编制制，，此此时时，，就就需需要要将将弹弹丸丸看看成成是是一一个个刚刚体体，，考考虑虑影影响响其其飞飞行行性性能能的的各各种种因因素素，，进进行行弹弹箭箭刚刚体体弹弹道道计计算，以获取弹丸设计方案的改进技术途径算，以获取弹丸设计方案的改进技术途径 ￿￿4.1￿弹体质心运动方程一￿、质心运动方程飞航力学飞航力学 对对于于飞飞行行稳稳定定性性良良好好的的弹弹体体，，在在飞飞行行中中弹弹轴轴和和速速度度矢矢量量线线间间总总是是存存在在一一个个不不大大的的章章动动角角( (攻攻角角) )δδ，，因因而而气气流流对对弹弹体体的的速速度度矢矢量量线线就就不不再再对对称称，，此此时时阻阻力力作作用用线线既既不不通通过过质质心心，，也也不不与与速速度度矢矢量量线线平平行行，，形形成成一一个个使使弹弹体围绕体围绕质心运动的静力矩质心运动的静力矩￿￿4.1￿弹体质心运动方程二、基本假设ξξC Cδ=0δ≠≠0C Cξξδδ飞航力学飞航力学§6.1 基本假设基本假设 实际上实际上，对于飞行稳定的一般，对于飞行稳定的一般弹体，弹体，章动角章动角δ δ总总是很小，是很小，弹体围绕弹体围绕质心运动对其质心运动的影响不大。

质心运动对其质心运动的影响不大因而在研究因而在研究弹体质心弹体质心运动时，可以暂时忽略围绕运动时，可以暂时忽略围绕质心质心力矩对力矩对它的它的影响￿￿4.1￿弹体质心运动方程二、基本假设 这样这样，，弹体在弹体在空中的运动就成为一个复杂的刚体空中的运动就成为一个复杂的刚体运动，需要六个二阶微分方程来求解三个描述弹丸运动，需要六个二阶微分方程来求解三个描述弹丸的质心运动，三个描绘弹丸围绕其质心的运动的质心运动，三个描绘弹丸围绕其质心的运动飞航力学飞航力学§6.1 基本假设基本假设￿￿4.1￿弹体质心运动方程二、基本假设 则复杂则复杂的刚体在空中的运动简化成两个独立的的刚体在空中的运动简化成两个独立的方程组来研究：方程组来研究： 一一组表示弹丸质心的运动组表示弹丸质心的运动( (δδ=0)=0)，而且是一个，而且是一个平面运动由于平面运动由于δδ的实际存在，使迎面阻力的实际存在，使迎面阻力RxRx增大，增大，由增大的弹道系数由增大的弹道系数c c来修正；来修正； 另一组表示弹丸围绕其质心的运动另一组表示弹丸围绕其质心的运动( (弹丸的飞行弹丸的飞行稳定性理论）。

稳定性理论）飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程二、基本假设研究研究弹体质心弹体质心的运动，首先做基本假设：的运动，首先做基本假设：1.1.弹体外形弹体外形和质量分布均为轴对称；和质量分布均为轴对称；2.2.弹体运动速度与弹轴之间的夹角弹体运动速度与弹轴之间的夹角( (攻角攻角) )为零为零; ;3.3.地表面为平面，即不考虑地球曲率的变化地表面为平面，即不考虑地球曲率的变化影响；影响；4.4.重力加速度的大小不变，方向始终铅垂重力加速度的大小不变，方向始终铅垂向下；向下；飞航力学飞航力学 在在上述假设下来研究弹丸质心运动的问题叫上述假设下来研究弹丸质心运动的问题叫外弹道学基本问题外弹道学基本问题 ￿￿4.1￿弹体质心运动方程二、基本假设研究弹体质心的运动，首先做基本假设：研究弹体质心的运动，首先做基本假设：5.5.不考虑科氏不考虑科氏惯性力（因地球自转产生的力）的惯性力（因地球自转产生的力）的影响，科氏加速度为零影响，科氏加速度为零 6.6.气象条件为标准气象条件，无风雨气象条件为标准气象条件，无风雨飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程二、基本假设对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：1 1、对于、对于飞行稳定的飞行稳定的弹体，弹体，一般攻角总是很小，一般攻角总是很小，弹体围绕弹体围绕质质心运动对其质心运动的影响不大。

心运动对其质心运动的影响不大2 2、由于、由于制造公差严格控制，制造公差严格控制，弹体外形弹体外形不对称、质心偏离以不对称、质心偏离以及前后不共轴总是非常小的及前后不共轴总是非常小的3 3、重力加、重力加速度速度随高度和纬度的微小变化，以及地表曲率的随高度和纬度的微小变化，以及地表曲率的微小变化和科氏加速度的影响等等，在射程不太大时，对微小变化和科氏加速度的影响等等，在射程不太大时，对弹道影响不大弹道影响不大飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程二、基本假设对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：对于外弹道学基本问题，其假设的依据为：4 4、实际、实际气象条件气象条件( (如气温、气压、风如气温、气压、风雨雨等等) )，在弹丸方案设，在弹丸方案设计阶段进行弹道方案计算比较时，可以暂时忽略不计计阶段进行弹道方案计算比较时，可以暂时忽略不计 在上述基本假设下，弹丸仅受在上述基本假设下，弹丸仅受重力重力和和空气阻力空气阻力的作用由由牛顿第二定律可以得到弹丸质心运动矢量方程：牛顿第二定律可以得到弹丸质心运动矢量方程：飞航力学飞航力学tθ￿￿4.1￿弹体质心运动方程三、主要变量 解决解决弹丸质心在空中运动，要知道变量弹丸质心在空中运动，要知道变量t t、、x x、、y y、、v v和和θθ五个变量之间的函数关系，如图所示。

五个变量之间的函数关系，如图所示以上五个变量均可以上五个变量均可作为自变量作为自变量来来组成组成弹体的弹体的质心质心运动方程组运动方程组飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程三、主要变量 但但实际上根据需要，常作为自变量的有实际上根据需要，常作为自变量的有t t、、x x、、y y等有一些特殊问题中，也采取弹道弧长等有一些特殊问题中，也采取弹道弧长s s作为自变作为自变量，因为量，因为dsds= =vdtvdt，，s s可以消除系数中的变量可以消除系数中的变量v v，使方，使方程简化在基本假设下作用于程简化在基本假设下作用于弹弹体体的的力仅有重力和力仅有重力和空气阻力据此可以写出弹丸质心运动的矢量方程空气阻力据此可以写出弹丸质心运动的矢量方程: :飞航力学飞航力学 以以时间时间t t为自变量的弹丸质心运动方程组，常为自变量的弹丸质心运动方程组，常用的有与地球相固联的所谓直角坐标系和随质心用的有与地球相固联的所谓直角坐标系和随质心运动的速度坐标系运动的速度坐标系( (自然坐标系自然坐标系) )￿￿4.1￿弹体质心运动方程三、主要变量飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程 在在地面坐标系下的地面坐标系下的弹弹体体质心质心运动方程组，是将运动方程组，是将上述方程中的各项投影到地面坐标系内得到的上述方程中的各项投影到地面坐标系内得到的，，如如下图。

下图飞航力学飞航力学 地面地面坐标系坐标系——与地面固连的坐标系，以弹道起与地面固连的坐标系，以弹道起点为坐标原点，以射击面和弹道起点水平面的交线点为坐标原点，以射击面和弹道起点水平面的交线为为x x轴，顺射向为正，轴，顺射向为正，y y轴铅直面向上为正，轴铅直面向上为正，z z轴方轴方向按右手法则确定；向按右手法则确定； ￿￿4.1￿弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程复习：复习：飞航力学飞航力学 在在基本假设下，基本假设下，弹体仅弹体仅受重力和空气阻力作用，受重力和空气阻力作用，则由牛顿第二定律：则由牛顿第二定律：将矢量方程投影将矢量方程投影在在x x、、y y轴上，有：轴上，有：￿￿4.1￿弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程飞航力学飞航力学由于有：由于有： 则则￿￿4.1￿弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程空气阻力加速度空气阻力加速度速度分量速度分量飞航力学飞航力学由于有：由于有： 由于坐标由于坐标x x，，y y对于时间对于时间t t的导数分别为：的导数分别为： ￿￿4.1￿弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程tθ飞航力学飞航力学基本基本假设条件下假设条件下地面直角坐标系内地面直角坐标系内弹体质心弹体质心运动方程组运动方程组：：其中其中：：ττ由气温随高度分布的标准定律确定。

由气温随高度分布的标准定律确定 积分初始条件为：积分初始条件为：￿￿4.1￿弹体质心运动方程四、地面直角坐标系的质心运动方程飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程飞航力学飞航力学y yx xo oθ￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程将重力加速度和空气阻力加速度分别向坐标轴将重力加速度和空气阻力加速度分别向坐标轴投影投影 飞航力学飞航力学则则得弹体在得弹体在速度坐标系下的质心运动方程组：速度坐标系下的质心运动方程组： 式中：式中：τ由气温随高度分布的标准定律确定由气温随高度分布的标准定律确定积分初始条件为：积分初始条件为：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程飞航力学飞航力学c)c)以以s s为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组 为了为了分析弹道特性、求解炸弹弹道或分析稳分析弹道特性、求解炸弹弹道或分析稳定性等的方便，经常选取坐标定性等的方便，经常选取坐标x x、、y y或弹道弧长或弹道弧长s s为为自变量，来导出弹丸质心运动方程组。

自变量，来导出弹丸质心运动方程组a)a)以以x x为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组b)b)以以y y为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组飞航力学飞航力学 为获得形式上比以时间为自变量的质心运动方程组为获得形式上比以时间为自变量的质心运动方程组( (地面地面直角坐标系和速度直角坐标系和速度坐标系坐标系) )更为简单的方程组，取横坐标更为简单的方程组，取横坐标x x为为自变量，则根据复合微分，有自变量，则根据复合微分，有新变量新变量P P，， 有：有：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组飞航力学飞航力学又有：又有：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组飞航力学飞航力学以以x x为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组为：为： 式中式中：积分初始条件为：积分初始条件为：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组飞航力学飞航力学 为了为了求自空中投掷炸弹的弹道，宜于取纵坐标求自空中投掷炸弹的弹道，宜于取纵坐标y y为自变量，为自变量，则根据复合微分，有：则根据复合微分，有：新变量新变量P P，， 有：有：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组飞航力学飞航力学又有：又有：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组飞航力学飞航力学以以y y为为自变量的弹丸质心运动方程组自变量的弹丸质心运动方程组为：为： 式中式中：ττ由气温随高度分布的标准定律由气温随高度分布的标准定律确定确定积分初始条件为：积分初始条件为：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、以坐标为自变量的质心运动方程组飞航力学飞航力学以以s s为自变量的弹丸质心运动方程组为自变量的弹丸质心运动方程组（速度（速度坐标下坐标下t t换成换成s s））式中：式中：τ由气温随高度分布的标准定律确定。

由气温随高度分布的标准定律确定积分初始条件为：积分初始条件为：￿￿4.1￿弹体质心运动方程五、速度坐标系的质心运动方程飞航力学飞航力学 在弹丸设计过程中外在弹丸设计过程中外弹道设计的开始阶段，有弹道设计的开始阶段，有关参数如全部的气动力数关参数如全部的气动力数据等很少现成资料或者无据等很少现成资料或者无法法获得获得，因此，在只考虑，因此，在只考虑空气阻力的的条件下，利空气阻力的的条件下，利用质点弹道计算，即可以用质点弹道计算，即可以达到如下目的：达到如下目的： ￿￿4.1￿弹体质心运动方程六、弹体质心运动仿真飞航力学飞航力学2 2、通过、通过大量计算，进行大量计算，进行弹体射弹体射弹散布分析与估算；弹散布分析与估算；3 3、利用、利用质点弹道计算机程序，检验或确定弹道基本质点弹道计算机程序，检验或确定弹道基本参数￿￿4.1￿弹体质心运动方程六、弹体质心运动仿真1 1、估算弹体飞行、估算弹体飞行弹道顶点、落点诸元，考察其弹道顶点、落点诸元，考察其是是否达到设计指标要求否达到设计指标要求飞航力学飞航力学 弹弹箭质心运动仿真，主要是应用微分方程数值箭质心运动仿真，主要是应用微分方程数值解法对上述解法对上述弹体质点弹体质点运动方程组进行编程求解，获运动方程组进行编程求解，获得各种不同条件下的得各种不同条件下的弹体飞行弹道弹体飞行弹道，在，在弹体结构设弹体结构设计阶段计阶段进行弹道计算，可以进行设计方案选择、参进行弹道计算，可以进行设计方案选择、参数优化以及系统分析等。

数优化以及系统分析等 ￿￿4.1￿弹体质心运动方程六、弹体质心运动仿真飞航力学飞航力学仿真软件界面及计算结果仿真软件界面及计算结果 ￿￿4.1￿弹体质心运动方程六、弹体质心运动仿真飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程七、弹体质心运动方程求解（掌握） 数值数值解法是解法是对对外外弹道弹道数学模型采用数值计算的方数学模型采用数值计算的方法求解由于电子计算机的法求解由于电子计算机的普及普及，，现在在现在在外外弹道弹道领域领域内越来越多地被采用内越来越多地被采用 在在工程实际中通常采用下述的四阶龙格工程实际中通常采用下述的四阶龙格——库塔法库塔法进行计算进行计算因内弹道采用相同的方法，在此不再就具因内弹道采用相同的方法，在此不再就具体的数值解法做详细的介绍体的数值解法做详细的介绍飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程七、弹体质心运动方程求解（掌握） 在此，以地面在此，以地面直角坐标系内弹体质心运动方程直角坐标系内弹体质心运动方程组组求解为例介绍求解为例介绍求解步骤：求解步骤：（（1 1）定义变量：）定义变量： 定义变量，即定义变量，即确定确定计算所需的计算所需的物理量，包括：物理量，包括：自变量和因变量，在计算之前，最好将其列清楚，自变量和因变量，在计算之前，最好将其列清楚，并进行赋并进行赋值值初始化（一般赋值为初始化（一般赋值为0 0）。

飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程七、弹体质心运动方程求解（掌握）（（1 1）定义变量：）定义变量： 首先，首先，定义定义方程组左边的方程组左边的5 5个个变量：变量：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（1 1）定义变量：）定义变量： 然后，然后，定义定义方程组右边的方程组右边的5 5个个变量：变量：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（1 1）定义变量：）定义变量： 其次，对于每一个变量获得定义计算该变量所需的其次，对于每一个变量获得定义计算该变量所需的变量飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（1 1）定义变量：）定义变量： 其次，对于每一个变量获得定义计算该变量所需的其次，对于每一个变量获得定义计算该变量所需的变量飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（1 1）定义变量：）定义变量： 其次，对于每一个变量获得定义计算该变量所需的其次，对于每一个变量获得定义计算该变量所需的变量飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（1 1）定义变量：）定义变量： 最后，最后，定义弹体飞行的初始条件以及计算辅助参量定义弹体飞行的初始条件以及计算辅助参量。

飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（2 2）设置和获取弹道计算诸元：）设置和获取弹道计算诸元：七、弹体质心运动方程求解（掌握）飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（3 3）弹道方程的计算函数：）弹道方程的计算函数：七、弹体质心运动方程求解（掌握） 有了上述的基础可以根据右侧有了上述的基础可以根据右侧5 5个个式子，编写弹道方程的计算函数如下：式子，编写弹道方程的计算函数如下：(a)(a)计算速度计算速度(b)(b)计算弹道系数计算弹道系数(c)(c)计算空气阻力系数函数计算空气阻力系数函数飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（3 3）弹道方程的计算函数：）弹道方程的计算函数： 有了上述的基础可以根据右侧有了上述的基础可以根据右侧5 5个个式子，编写弹道方程的计算函数如下：式子，编写弹道方程的计算函数如下：(e)5(e)5个弹道方程计算函数个弹道方程计算函数(d)(d)计算空气密度函数计算空气密度函数飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（4 4）龙格库卡求解函数：）龙格库卡求解函数： 对于龙格库卡求解函数通常可以在网上搜索一些对于龙格库卡求解函数通常可以在网上搜索一些相关计算算法，在此不再过多的介绍。

相关计算算法，在此不再过多的介绍式中：式中：七、弹体质心运动方程求解（掌握）飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（5 5）计算初始化：）计算初始化： 在上述计算函数完成后，撰写主函数；在主函在上述计算函数完成后，撰写主函数；在主函数中的第一步是数中的第一步是参数初始化参数初始化七、弹体质心运动方程求解（掌握）飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（6 6）初始化弹道诸元：）初始化弹道诸元：七、弹体质心运动方程求解（掌握）（（7 7）弹道方程求解：）弹道方程求解：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程（（8 8）判断条件跳出循环：）判断条件跳出循环：七、弹体质心运动方程求解（掌握）（（7 7）弹道方程求解：）弹道方程求解：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程大作业以下两题任选一题：以下两题任选一题：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程大作业 题目二，满分题目二，满分100100分，自学分，自学FluentFluent求解空气求解空气中弹体的阻力系数，详细写出计算过程（中弹体的阻力系数，详细写出计算过程（7 70 0分）分），画出计算流程图（，画出计算流程图（2020分），计算出直径为分），计算出直径为10mm10mm、长度为、长度为20mm20mm圆柱的阻力系数（圆柱的阻力系数（1010分）。

分）上交时间：结课前（上交时间：结课前（6 6月月2424日）飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程八、非标准条件下的质心运动方程组（了解） 随着弹体射程随着弹体射程的逐渐增大，在基本假设中的一些忽略的因素的逐渐增大，在基本假设中的一些忽略的因素应该在实际工作中加以考虑因此，需要导出非标准条件下的应该在实际工作中加以考虑因此，需要导出非标准条件下的弹弹体体质心质心运动方程组运动方程组1.1.弹体外形弹体外形和质量分布均为轴对称；和质量分布均为轴对称；2.2.弹体运动弹体运动速度与弹轴之间的夹角为速度与弹轴之间的夹角为零；零；标准情况下将弹体标准情况下将弹体简化为简化为质点质点，提出基本假设，提出基本假设1 1和假设和假设2 2：：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程八、非标准条件下的质心运动方程组（了解）3 3. .地表面为平面地表面为平面；；4.4.重力加速度的大小重力加速度的大小不变，方向始终铅垂向下；不变，方向始终铅垂向下；5.5.不考虑科氏惯性力不考虑科氏惯性力的影响，科氏加速度为零；的影响，科氏加速度为零；6.6.气象条件为标准气象条件气象条件为标准气象条件，无风雨，无风雨 下面下面非标准条件下的质心运动方程非标准条件下的质心运动方程组将组将假设假设3 3、假设、假设4 4、、假设假设5 5和假设和假设6 6的情况计入，来列出考虑各种情况的质心运的情况计入，来列出考虑各种情况的质心运动方程组。

动方程组飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程八、非标准条件下的质心运动方程组（了解）u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组速度分量速度分量即即飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组 向向o’x’o’x’和和o’y’o’y’轴（即地面轴（即地面坐标系）投影坐标系）投影得：得：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组由前，有：由前，有：则：则：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组 则：则：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组由此得：由此得：当考虑重力加速度随高度变化时，有：当考虑重力加速度随高度变化时，有：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组由此得：由此得：当考虑重力加速度随高度变化时，有：当考虑重力加速度随高度变化时，有：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组考虑：考虑： 便便可得到可得到考虑地球表面考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变曲率及重力加速度随高度变化的弹丸质心运动方程化的弹丸质心运动方程组组，，如右如右飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球表面曲率及重力加速度随高度变化时的弹丸质心运动方程组式中：式中：ττ由气温随高度分布的标准定律确定。

由气温随高度分布的标准定律确定积分初始条件为：积分初始条件为：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程八、非标准条件下的质心运动方程组（了解）u考虑地球自转的运动方程组 地球地球自转对弹丸飞行的影响，一是产自转对弹丸飞行的影响，一是产生离心惯性力生离心惯性力( (已在重力中加以考虑已在重力中加以考虑) )，二，二是产生科氏惯性力是产生科氏惯性力 考虑地球自转时，科考虑地球自转时，科氏加速度等于氏加速度等于地球自转角速度矢量和弹丸速度矢量乘地球自转角速度矢量和弹丸速度矢量乘积的积的2 2倍，即：倍，即：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球自转的运动方程组 设设地球自转角速度矢量和地球自转角速度矢量和弹弹体体速度速度矢矢量在地面直角坐标系内的量在地面直角坐标系内的投影投影分别为：分别为：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球自转的运动方程组 地球自转角速度地球自转角速度分量的大小取决于分量的大小取决于射击地点的纬度和射向射击地点的纬度和射向 地球自转角速度地球自转角速度分量的大小取决于分量的大小取决于射击地点的纬度和射向。

设地面坐标系射击地点的纬度和射向设地面坐标系中的中的x x轴与正北方向的夹角轴与正北方向的夹角( (即射向即射向) )为为 ，顺时针为正，，顺时针为正， 为纬度 则有：则有：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球自转的运动方程组 考虑考虑哥氏加速度的弹丸运动矢量方程为：哥氏加速度的弹丸运动矢量方程为： 则则有考有考虑地球自转虑地球自转时的弹丸质时的弹丸质心运动方程心运动方程组组为右：为右：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑地球自转的运动方程组式中式中：： τ τ由气温随高度分布的标准定由气温随高度分布的标准定律确定 积分初始条件为：积分初始条件为：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑气象条件变化的运动的方程组八、非标准条件下的质心运动方程组（了解） 当当气象条件发生变化，气温、气压不是标准条件并且有风存气象条件发生变化，气温、气压不是标准条件并且有风存在时，弹丸质心运动方程中的一些参量会发生变化，下面在时，弹丸质心运动方程中的一些参量会发生变化，下面考虑这考虑这种情况种情况。

飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑气象条件变化的运动的方程组 根据速度叠加原理，弹体的绝对速度可以看成是相对于空气根据速度叠加原理，弹体的绝对速度可以看成是相对于空气的速度与风速的矢量和的速度与风速的矢量和即：即：由此，可得相对速度：由此，可得相对速度：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑气象条件变化的运动的方程组 由于空气阻力加速度与相对速度矢量共线，所以空气阻力加由于空气阻力加速度与相对速度矢量共线，所以空气阻力加速度在三个坐标轴上的投影与相对速度的投影成比例，即速度在三个坐标轴上的投影与相对速度的投影成比例，即：：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u考虑气象条件变化的运动的方程组 由此由此可得，考虑气象条件变化时，弹丸质心运动方程组如下：可得，考虑气象条件变化时，弹丸质心运动方程组如下： 式中式中：：积分初始条件为：积分初始条件为：P P0n0n是实测的地面是实测的地面气压气压值；值； 为实测为实测的虚温值的虚温值 飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u同时考虑上述各种影响因素时的运动方程组八、非标准条件下的质心运动方程组（了解）积分初始条件为：积分初始条件为：飞航力学飞航力学￿￿4.1￿弹体质心运动方程u同时考虑上述各种影响因素时的运动方程组式中：式中：应该注意到：应该注意到：飞航力学飞航力学谢￿￿谢！。