分平面的递推计数(六年级).doc.docx

知识图谱计数第01讲_分平面的递推计数-一、分平面的递推计数直线或角分平面封闭图形分平面组合图形分平面一：分平面的递推计数知识精讲分平面（无边界）问题的总体思路是增量分析，即先求出新画图形与已有图形的交点数，进而推出它使平面增加了几部分．其中，求交点数是最关键的一步．为了使平面被划分成的部分尽量多，显然应让交点也尽量多．一．直线或角分平面1．直线：第条直线与前n条直线最多有n个交点，被截为段，可使平面增加部分．2．角：第个角与前n个角最多有个交点，被截为段（拐弯处视为一段），可使平面增加部分．二．封闭图形分平面1．n边形：与直线类似，先数每条边与之前图形的交点数，再乘n即为n边形与之前图形的交点数，进而求出平面增加的部分数．2．圆：任意两个不同的圆最多有2个交点．三．组合图形分平面1．封闭图形间的组合：与单种封闭图形分平面类似，建议先画圆．2．直线与封闭图形间的组合：建议先画直线．三点剖析重难点：本类型题目的关键是不同图形之间交点数的求法．此外，对于组合图形分平面，若最后画直线，容易多算一部分．因此，建议先画直线．题模精讲题模一 直线或角分平面例1.1.1、5条直线最多把平面划分为多少部分？n条直线呢？答案：16；解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分；5条直线，直线间增加4个交点，把平面分成部分．第n条直线与前条直线最多有个交点，故其最多被分成n段．每段使原来平面的一部分一分为二，即可增加n部分．开始时平面只有一部分，故n条直线最多将平面分成部分． 例1.1.2、用直线把一个平面分成50部分，至少要在平面上画_______条直线．答案：10解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分……设n条直线把一个平面分成50部分，则有，可得，即至少要在平面上画10条直线． 例1.1.3、五个角最多可以把平面分成多少部分？答案：43解析：显然应让交点尽量多．两个角最多把平面分成7部分，第三个角与之前最多有个交点，被分为8段（转角处为一段），可使平面增加8部分．类似的，第四、五个角可使平面增加12、16部分．综上，五个角最多可以把平面分成部分． 题模二 封闭图形分平面例1.2.1、一个圆能把平面分成两个区域，两个圆最多能把平面分成四个区域，那么四个圆最多能把平面分成________个区域．答案：14解析：时，第个圆与前n个圆最多有2n个交点，使得自身被分为2n段，每段使原来的一个区域一分为二，故第个圆最多可使平面增加2n部分，四个圆最多能把平面分成部分． 例1.2.2、如果在一个平面上画出8个三角形，最多可以把平面分成几个部分？答案：170解析：1个三角形可以把平面分成2部分；画第2个三角形时，它与前面的三角形最多有6个交点，这6个交点会把新画的三角形分成6段，每一段都会使整个平面多分出一个部分，因此2个三角形可以把平面分成个部分；画第3个三角形，它与前面的图形有12个交点，同理可知，平面增加了12个部分，因此2个三角形可以把平面分成个部分；……第n个三角形与前面的图形有个交点，平面增加了个部分，综上，n个三角形最多把平面分成个部分．因此8个三角形最多可以把平面分成个部分． 例1.2.3、如果在一个平面上画出4个凸五边形，最多可以把平面分成________个部分．答案：62解析：增量分析．每画一个凸五边形，最多可与之前的n个凸五边形有个交点，可使平面增加部分．因此，画4个凸五边形最多可以把平面分成个部分． 题模三 组合图形分平面例1.3.1、有10条直线和2个圆，最多可以把平面分成________个部分．答案：98解析：增量分析．先画直线，画完第1条直线后平面被分为2部分．时，第n条直线与之前图形最多有个交点，可使平面增加n部分；第1个圆与直线最多有个交点，可使平面增加20部分；第2个圆与之前的图形最多有个交点，可使平面增加22部分．因此，10条直线和2个圆最多可以把平面分成部分． 例1.3.2、在一个平面上画1条直线，2个三角形和3个长方形，那么最多可把这个平面分成多少部分？答案：78解析：依次画3个长方形、2个三角形和1条直线，通过增量分析可得最多可把这个平面分成个部分． 随堂练习随练1.1、如果在一个平面上画出8条直线，最多可以把平面分成几个部分？如果画8个圆，最多可以分成几个部分？答案：37个；58个解析：根据上面第4题的解答可知：新增直线被分为几部分，区域数量自然也就增加几部分，所以可以将8条直线的情况写为如下的一张数表：8个圆也是同样的道理： 随练1.2、用直线把一个平面分成100部分，至少要在平面上画_______条直线．答案：14解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分……设n条直线把一个平面分成100部分，则有，可得，即至少要在平面上画14条直线． 随练1.3、在一个平面上画出20个圆，最多可以把平面分成_______个部分．答案：382解析：一个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成个部分；3个圆最多能把平面分成个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成个部分；同理，5个圆最多将平面分成个部分……那么20个圆，最多可以把平面分成部分． 随练1.4、在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？答案：122解析：第1个正方形将平面分为2部分，第2个正方形与第1个最多有8个交点，即被分为8段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加8部分．同理，第个正方形与之前的n个正方形最多有个交点，将使平面增加部分．因此，6个正方形最多可以把平面分成部分． 随练1.5、在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？答案：68解析：第1个三角形将平面分为2部分，第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点，即被分为6段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加6部分，同理第3个三角形使平面增加个部分，至此共部分；每个圆与1个三角形最多有6个交点，两圆间还可有2个交点，故画完圆可再增加部分；直线与之前的5个图形最多有10个交点，故还能增加10部分．综上，共部分． 课后作业作业1、12条直线最多把平面划分为多少部分？答案：79解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；……12条直线可把平面分成部分． 作业2、在一个平面上画出50条直线，最多可以把平面分成_______个部分．答案：1276解析：1条直线，把平面分成部分；2条直线，直线间增加1个交点，把平面分成部分；3条直线，直线间增加2个交点，把平面分成部分；4条直线，直线间增加3个交点，把平面分成部分……50条直线，直线间增加49个交点，把平面分成部分． 作业3、八个角最多可以把平面分成多少部分？答案：115解析：显然应让交点尽量多．两个角最多把平面分成7部分，第三个角与之前最多有个交点，被分为8段（转角处为一段），可使平面增加8部分．类似的，第四至八个角可使平面增加12、16、20、24、28部分．综上，八个角最多可以把平面分成部分． 作业4、在一个平面上画出10个圆，最多可以把平面分成多少部分？答案：92解析：一个圆最多能把平面分成2个部分；2个圆最多能把平面分成个部分；3个圆最多能把平面分成个部分；现在加入第4个圆，为了使分成的部分最多，第4个圆必须与前面3个圆都有两个交点，因此得6个交点将第4个圆的圆周分成6段圆弧，而每一段圆弧将原来的部分一分为二，即增加了一个部分，于是4个圆最多将平面分成个部分；同理，5个圆最多将平面分成个部分……那么10个圆，最多可以把平面分成部分． 作业5、在一个平面上画出4个正六边形，最多可以把平面分成几个部分？答案：74解析：第1个正六边形将平面分为2部分，第2个正六边形与第1个最多有个交点，即被分为12段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加12部分．同理，第3、4个正六边形将使平面增加24、36部分．因此，4个正六边形最多可以把平面分成部分． 作业6、在一个平面上画出4个三角形、2条直线，最多可以把平面分成几个部分？答案：64解析：2条直线最多把平面分成4部分．第1个三角形与2条直线最多有个交点，可使平面增加6部分；第2、3、4个三角形分别能使平面增加12、18、24部分．因此，4个三角形、2条直线最多可以把平面分成个部分涟江为区内地表水的主要排水通道，隧道设计标高高于最低排水基准面，隧道区山脊内沟谷多为季节性冲沟，主要由大气降水补给，水量小，受季节影响明显，地表水不发育，地表水对隧道施工及运营无影响。