捕食者-被捕食者模型中参数估计的新方法.ppt

捕食者-被捕食者模型中参数估计的新方法,陈东彦 哈尔滨理工大学,2011年6月25号,2011年8月,引言,在航天器精确制导等高科技问题中，必须高 精度地估计模型中的参数，建立高精度的数学模型 本文以2006年全国研究生数学建模竞赛B题为背 景，研究了捕食者-被捕食者模型的高精度参数估 计问题该问题已得到多方面的研究： （Varah）从数值计算的角度给出参数估计的两阶段最小二乘法 （马新生）进一步讨论参数估计的两阶段最小二乘法 （Bock）利用改进的高斯迭代法求解模型参数 （Jerome）直接考虑参数的非线性最小二乘估计，利用信赖域方法求解参数估计的非线性优化问题Liang）基于局部平滑法，利用回归分析给出一种伪最小二乘估计 （Miao）基于非线性最小二乘估计，讨论不同的全局优化求解方法对估计的影响，并给出模型选择和推断的方法本文基于该模型，对四种不同条件下的参数估计问题进行了研究对于观测数据有误差的情形，采用（Varah、马新生）两阶段估计方法的思想，提出了一种基于回归分析和数值微分方法的两阶段参数估计法，得出了参数的估计及置信区间，并且这种方法数学结构简单，计算量较小问题描述,捕食者-被捕食者模型是指一个生态系统中含有两种生物：A生物和B生物，其中A生物是捕食者，B生物是被捕食者。

假设 时刻捕食者A的数目为 ，被捕食者B的数目为 ，它们之间满足以下变化规律：,（1）,其中， 为模型的待定参数初始条件为：,通过对这个生态系统的观测可以得到若干组捕食者和被捕食者在 时刻各自数目的观测数据（具体可见2006年全国研究生数学建模竞赛B题中数据文件DATA1.TXT、DATA2.TXT、DATA3.TXT和DATA4.TXT）利用有关数据，解决以下参数估计问题：问题1：在观测数据无误差且已知 的情况下，利用数据文件DATA1.TXT，求其它5个参数 问题2：在观测数据无误差但 未知的情况下，利用数据文件DATA1.TXT，讨论为确定参数 所需的最少观测数据组数问题3：在观测资料有误差（时间变量不含有 误差）的情况下，分别利用观测数据DATA2.TXT和 DATA3.TXT，确定参数 的最优解，并与仿真结果进行比较问题4：在观测资料的时间变量也含有误差的情况下，利用数据DATA4.TXT，确定参数的最优解参数估计,问题1.观测数据无误差，且已知 时的高精度参数估计,为讨论参数 的高精度估计，首先求解方程组(1)的相轨线。

两式相除,,分离变量并两边积分,其中, 为积分常数2）,（3）,,移项,（4）,式(4)可看成关于解释变量 和被解释变量 的线性回归方程这样，原参数估计问题就转化为求解 的多元线性回归问题，可利用最小二乘法估计参数 的值借助SPSS统计软件中的回归分析模块采用最小二乘法进行拟合求解，分析结果见表1～表3表1 模型拟合概要,表2 方差分析表,表3 各参数的显著性检验,表1表明回归分析的拟合优度为1.000表2表明F检验P-值近似为0，模型高度显著表3给出了各参数的取值，并且每个系数都是显著的，各自的t检验P-值均近似为0置信度为95%的置信区间的上下限近似相等，同样表明结果的精度很高为进 一步说明，给出模型的残差图，如图1图1 残差图,从残差图来看，残差围绕着0随机波动，说明使用该模型比较合理综合以上分析结果得到所有参数的高精度估计值：,,由观测数据的散点图看出，捕食者-被捕食者模型的解具有明显的周期性即存在常数 ，使得 ， 且 只要观测序列足够长，序列的任一时间点均可作为初始时间，初值参数的估计不唯一。

为简单起见，我们将初值参数的估计取为观测序列的起始值，即取 时刻的观测值为参数 的估计值对于问题1，取：,问题2.观测数据无误差，但 未知时确定需要观 测数据的最少组数,由于 反映了被捕食者供养捕食者的能力，显然不会等于零，于是将式(4)两端同时除以 （- ），式(4)就转化为以 和 为未知变量的线性方程，即：,在 已知时，这是一个包含 和 共四个参数的线性方程，用四组数据就可以确定它们的值对于DATA1.txt，观测数据是精确的，故从给出的六组观测数据中随机选取四组得到的结果都是一致的为便于给定初值参数的估计，选取前四组，各参数与 之间的关系为：,,,同问题1，初值取 时刻的观测值：由此，只要 的值确定，微分方程(1)也就确定 求解 的问题可视为关于 的优化问题，假设 是 时刻模型的数值解，记：,,,建立优化模型：Min,其中，M是选定的一个较大的正数，S、Q、P都是m的函数只要找到m的最优值，原模型的6个参数便可以确定这一过程可借助Matlab软件来实现。

对于问题2，只需要四组数据我们就能确定所有参数问题3.观测数据有误差，但时间数据无误差 情况下 的高精度参数估计,由于DATA2.TXT和DATA3.TXT中的观测数据存在误差且数据量大，若用问题2的思路求解，过程复杂且无法保证参数的精度因此，对微分方程(1)变换以简化模型，得到两个一元线性回归方程：,(5),(6),其中， 模型(1)-(2)中的参数估计问题被转化为求解两个一元线性回归方程的参数估计问题原参数估计通过求解数值微分和回归分析获得，采用两阶段估计方法进行求解7）,（8）,第一阶段，根据给定的观测值序列用精度高达 的有限元差分算法求解各节点上的数值微分，即分别用式(7)和式(8)中的差分值来代替导数 进而得到相应的序列 第二阶段，把 分别代入线性回归方程(5)和(6)，参数 的估计就转化为线性最小二乘估计问题，可用SPSS软件进行回归分析直接得到结果由于DATA2.TXT和DATA3.TXT中的观测数据存在 误差，所以进行回归分析之前要先根据 原则检 验观测数据是否存在离群值，若存在离群值，需剔 除离群值再进行计算。

对于DATA2.TXT，根据 原则分析知有5组数 据是离群值，从151组观测数据中剔除5组离群值， 借助SPSS统计软件进行回归分析，得到结果如表7.,表7 参数估计值及置信区间,,把上述估计结果代入模型(1)，借助Matlab软件，用四阶龙格-库塔方法求解模型的数值解并进行仿真模拟，得出 的拟合曲线图3和相轨线图4：,本次分析的具体结果见表8~表10同时，将初值参数的估计取观测序列的起始值则所有参数的估计为：,图3 仿真结果,图4 相轨线图,从图3和图4中可以看出拟合的效果很好对于DATA3.TXT，类似地可得参数估计为：,图5 仿真结果,图6 相轨线图,的拟合曲线图5和相轨线图6：,问题4.观测数据及观测时间均有误差情况下的高精度参数估计,由于时间本身也带有误差，不利于数据处理，为了减小误差，我们需要对时间和观测数据均做重新处理首先把观测时间按间隔0.01等分，再借助Matlab软件用三次样条插值方法求出时间间隔为0.01的各个分点上的插值函数值，得出两个新的序列 和 ，用得到的新的数据采用问题3中的方法进行求解，从而在一定程度上减小了因观测误差造成的计算误差，所得结果见表11：,表11 参数估计值及置信区间,,同问题3，得出 的拟合曲线图7和相轨线图8：,本次分析的具体结果见表12~表14。

又由于DATA4.TXT的时间数据也存在误差，对初值参数的观测值也采取时间序列等分和三次样条插值等处理方法，然后再取 时刻的值作为初值最终得出所 有参数的估计为：,图7 仿真结果,图8 相轨线图,从图7和图8中可以看出拟合的效果很好结论,本文给出了基于回归分析和数值微分确定两种群捕食者-被捕食者模型高精度参数的新方法，特别针对问题3和问题4提出了两阶段估计方法，将微分方程组的参数估计通过数值微分和最小二乘估计得以实现不仅简化了模型，给出了参数的高精度估计值，而且给出了置信度为95%的置信区间最后，还借助四阶龙格-库塔算法对模型进行仿真计算，并将仿真结果与观测值进行比较敬请提出宝贵意见！,。