新版【创新方案】高考数学理一轮知能检测：第6章 第4节　基本不等式.doc

1 1第四节　基本不等式[全盘巩固]1．下列不等式一定成立的是(　　)A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R)解析：选C　对选项A，当x>0时，x2＋－x＝2≥0，∴lg≥lg x，故不成立；对选项B，当sin x<0时显然不成立；对选项C，x2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D，∵x2＋1≥1，∴0<≤1.2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a＋b≥2 B.＋>C.＋≥2 D．a2＋b2>2ab解析：选C　因为ab>0，所以>0，>0，即＋≥2 ＝2(当且仅当a＝b时等号成立)．3．函数y＝(x>1)的最小值是(　　)A．2＋2 B．2－2C．2 D．2解析：选A　∵x>1，∴x－1>0，∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时取等号．所以函数y＝(x>1)的最小值为2＋2.4．(20xx·洛阳模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)A．3 B．4 C. D.解析：选B　依题意得x＋1>1,2y＋1>1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝2＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时取等号，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值是4.5．(20xx·宁波模拟)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)A. B. C．2 D.解析：选C　由x>0，y>0，知4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，所以12xy＋3xy≤30，即xy≤2.6．已知两条直线l1：y＝m和l2：y＝(m＞0)，l1与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log2x|的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m变化时，的最小值为(　　)A．16 B．8 C．8 D．4解析：选B　数形结合可知A，C点的横坐标在区间(0,1)内，B，D点的横坐标在区间(1，＋∞)内，而且xC－xA与xB－xD同号，所以＝，根据已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，当且仅当＝，即m＝时等号成立，故的最小值为2＝8.7．已知正数x，y满足x＋2≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为________．解析：依题意得x＋2≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即的最大值为2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值为2.答案：28．(20xx·杭州模拟)若正数x，y满足2x＋y－3＝0，则的最小值为______．解析：由已知可得2x＋y＝3，因此＝＋＝·＝，利用基本不等式可得＝≥＝3，当且仅当＝，即x＝y时取得等号．答案：39．(20xx·日照模拟)规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a、b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．解析：1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3.当且仅当＝，即x＝1时等号成立．答案：1　310．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0.求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥2，即xy≥8，∴≥8，即xy≥64.当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时等号成立．∴xy的最小值为64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，∴2x＋8y＝xy，即＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2 ＝18，当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．∴x＋y的最小值为18.11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.求：(1)u＝lg x＋lg y的最大值；(2)＋的最小值．解：(1)∵x>0，y>0，∴由基本不等式，得2x＋5y≥2.∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，当且仅当2x＝5y时，等号成立．因此有解得此时xy有最大值10.∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1.∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1.(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥＝，当且仅当＝时，等号成立．由解得∴＋的最小值为.12．某种商品原来每件定价为25元，年销售量8万件．(1)据市场调查，若每件商品的价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高每价商品的价格到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．解：(1)设该商品每件定价为t元，依题意，有t≥25×8，整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为40元．(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解．∵＋x≥2 ＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．[冲击名校]1．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于(　　)A．0 B．4 C．－4 D．－2解析：选C　由＋＋≥0，得k≥－，而＝＋＋2≥4(当且仅当a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.2．已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为________．解析：log2a＋log2b＝log2ab.∵log2a＋log2b≥1，∴ab≥2且a＞0，b＞0.3a＋9b＝3a＋32b≥2＝2≥2≥2＝18，当且仅当a＝2b时取等号．∴3a＋9b的最小值为18.答案：18[高频滚动]1．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值和最小值分别为(　　)A．4和3 B．4和2 C．3和2 D．2和0解析：选B　可行域为直角三角形ABC(如图)，由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，由图象可知，当直线y＝－2x＋z过点B(2,0)和点A(1,0)时，z分别取到最大值4和最小值2.2．设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是(　　)A．14 B．16 C．17 D．19解析：选B　画出可行域如图．其最优解是点M(3,1)附近的整点．考虑到线性目标函数，只要横坐标增加1即可．故最优点为整点(4,1)，其最小值为16.。