泛函分析讲义第八章课件.ppt

第八章 有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间算子算子：从赋范线性空间从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间到另一个赋范线性空间Y中的映中的映射算子可以说是函数和函数之间的对应射算子可以说是函数和函数之间的对应泛函泛函：如果如果Y是数域，则称这种算子为泛函是数域，则称这种算子为泛函本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数成为一个赋范线性空间主要内容：1 有界线性算子和连续线性泛函设设X和和Y是两个同为实（或复）的线性空间，是两个同为实（或复）的线性空间，D是是X的线性子的线性子空间，空间，T为为D到到Y中的映射，如果对于任何中的映射，如果对于任何D，及数，及数成成立立1、线性算子和线性泛函则称则称T为为D到到Y中的中的线性算子线性算子，其中，其中D称为称为T的的定义域定义域，记为记为D(T)(T)，TD称为称为T的的值域值域，记为记为R(T(T)，当，当T取值于实（或复）数取值于实（或复）数域时，就称域时，就称T为实（或复）为实（或复）线性泛函线性泛函。

1）设）设X是线性空间，是线性空间，是一给定的数，对任何是一给定的数，对任何，令，令2、线性算子和线性泛函的例子显然，显然，T是是X到到X中的线性算子，称为相似算子中的线性算子，称为相似算子当当时，称为恒等算子；当时，称为恒等算子；当时，称为零算子时，称为零算子2）对每个）对每个，规定，规定由积分的线性性质，可知由积分的线性性质，可知T是是到到中的线性算子中的线性算子若令若令则则是是上线性泛函上线性泛函若令若令T是线性算子，称为乘法算子是线性算子，称为乘法算子3）对每个）对每个，规定，规定由导数运算的线性性质，可知由导数运算的线性性质，可知T是是到到中的线性算中的线性算子，称为微分算子子，称为微分算子若令若令，则，则是是上线性泛函上线性泛函4）矩阵与线性算子的对应性：）矩阵与线性算子的对应性：设设是是n维线性空间，在维线性空间，在中取一组基中取一组基，则对任何，则对任何可以唯一的表示成可以唯一的表示成，对每一个方阵，对每一个方阵，作，作到到中算子中算子T如下：当如下：当时，令时，令其中其中显然这样定义的显然这样定义的T是线性算子，称是线性算子，称为线性变换算子由方阵为线性变换算子由方阵唯一确定。

唯一确定3、线性算子的有界性与连续性（1 1）连续性定理连续性定理设设X，Y都是赋范线性空间，都是赋范线性空间，T是是X到到Y的线性算子，如果的线性算子，如果T在某一点在某一点D(T)上连续，则上连续，则T在在D(T)上处处连续上处处连续该定理说明，要验证线性算子该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证的连续性，只需要验证T在某一点在某一点连续又相当于下面要引进的有界性又相当于下面要引进的有界性2 2）有界线性算子有界线性算子设设X，Y都是赋范线性空间，都是赋范线性空间，T是是X的线性子空间的线性子空间D(T)到到Y的的线性算子，如果存在常数线性算子，如果存在常数，是对所有，是对所有D(T)，有，有则称则称T是是D(T)到到Y中的有界线性算子中的有界线性算子换句话说，设换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，是两个赋范线性空间，T是是X到到Y的的线性算子，如果算子线性算子，如果算子T将其定义域中将其定义域中每个有界集每个有界集映射成映射成Y中中的的有界集有界集，就称就称T是是有界线性算子有界线性算子，简称为，简称为有界算子有界算子不是有界的算子成为是有界的算子成为无界算子无界算子。

显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子3 3）连续性与有界性的关系连续性与有界性的关系设设T是赋范线性空间是赋范线性空间X到赋范线性空间到赋范线性空间Y中的线性算子，则中的线性算子，则T为为有界算子有界算子的的充要条件充要条件为为T是是X上上连续算子连续算子注意区别有界算子与有界函数注意区别有界算子与有界函数4 4、算子的范数、算子的范数T为赋范线性空间为赋范线性空间X的子空间的子空间D(T)到赋范线性空间到赋范线性空间Y中的线中的线性算子，称性算子，称为算子为算子T在在D(T)上的范数上的范数若若T为有界线性算子，则其范数是有限数，有为有界线性算子，则其范数是有限数，有并非所有算子都有界例如微分算子，并非所有算子都有界例如微分算子，P0,1为为C0,1的子空间，令的子空间，令，则，则，但，但，所以所以，T是无界算子是无界算子2 有界线性算子空间和共轭空间1 1、有界线性、有界线性B(X(X Y)Y)算子全体所成空间算子全体所成空间设设X，Y都是赋范线性空间，都是赋范线性空间，B(XY)是是X到到Y的有界线性算的有界线性算子全体，当子全体，当A，BB(XY),是任意一个数时，规定是任意一个数时，规定则则B(XY)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。

按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间定理定理1 1设设X是赋范线性空间，是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，是巴拿赫空间时，B(XY)也也是巴拿赫空间是巴拿赫空间2 2、连续线性泛函全体所成空间、连续线性泛函全体所成空间设设X是赋范线性空间，令是赋范线性空间，令表示表示X上连续线性泛函全体所成上连续线性泛函全体所成的空间，称为的空间，称为共轭空间共轭空间定理定理2 2任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间例如：例如：的共轭空间为的共轭空间为 的共轭空间为的共轭空间为，其中，其中定义定义：设设X和和Y是两个赋范线性空间，是两个赋范线性空间，T是是X到到Y中的线性算中的线性算子，并且对所有子，并且对所有，有，有则称则称T是是X到到Y中的保距算子，如果中的保距算子，如果T又是映射到又是映射到Y上的，则称上的，则称T是同构映射，此时称是同构映射，此时称X与与Y同构了解作用）同构了解作用） 1、内积定义则则与与内积定义为内积定义为其中其中表示表示的复共轭，并且内积与向量的复共轭，并且内积与向量的长度有以下的长度有以下关系关系：引言：有限维空间中向量的范数相当于向量的模，但是在有限维欧几里的空间中还有一个重要的概念-两个向量的夹角，特别是两个向量的正交，所以在赋范线性空间当中，引入向量的内积来描述模与夹角，建立内积空间。

2 其中 为任意实（或复）数； 内积性质： （有限维复欧式空间）1 且 等价于3 则称则称为为的内积，的内积，称为称为内积空间内积空间 2、内积、内积空间：设 是复线性空间，如果对 中任何两个向量 ，有一复数 与之对应，并且满足下列条件1且且等价于等价于（正定性）（正定性）2其中其中为任意实（或复）为任意实（或复）数数(对第一变元的线性）；对第一变元的线性）；3 (对第二变元的共轭线性）；对第二变元的共轭线性）； 3、Schwarz不等式：设 按内积 成为内积空间，则对于 中任意向量 ，成立不等式当且仅当 与 线性相关时，不等式中等号才成立 4、定理：设 是内积空间，令则 是 上的范数，称为由内积导出的范数 结论：内积空间按内积导出的范数成为赋范线性空间 5、定义：完备的内积空间称为Hilbert空间例如：例如：不成为内积空间不成为内积空间例如：例如：.设设定义定义，则，则按此内积也成为按此内积也成为Hilbert空间内积空间的特征性质（平行四边形公式）：内积空间的特征性质（平行四边形公式）：.注意：赋范线性空间成为内积空间的条件是范数满足平行四边形公式并非每个赋范线性空间都是内积空间。

例如：LPa,b2 投影定理1. 点到集合的距离 设X是度量空间，M是X的非空子集，x是X中一点，称 为点x到M的距离2. 凸集 设X是线性空间，x，y是X中两点，称集合 为X中联结x和y的线段如果M是X的子集，对M中任何两点x，y，必有 ，则称M为X中的凸集定理1 极小化向量定理设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且按X中由内积导出的距离完备，那么对于每个xX，存在唯一的yM，使得 推论1设X是内积空间，M是X完备子空间，则对每个xX，存在唯一的yM，使得 1111醉翁亭记醉翁亭记醉翁亭记醉翁亭记 1 1反复朗读并背诵课文，培养文言语感反复朗读并背诵课文，培养文言语感反复朗读并背诵课文，培养文言语感反复朗读并背诵课文，培养文言语感2 2结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路3 3把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。

4 4体会作者的思想感情，理解作者的政治理想一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己体会作者的思想感情，理解作者的政治理想一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己体会作者的思想感情，理解作者的政治理想一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己体会作者的思想感情，理解作者的政治理想一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己“ “先天下之忧而忧，后天下之乐而乐先天下之忧而忧，后天下之乐而乐先天下之忧而忧，后天下之乐而乐先天下之忧而忧，后天下之乐而乐” ”的政治理想实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者的政治理想实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者的政治理想实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者的政治理想实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者北宋大文学家、史学家欧阳修他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市也北宋大文学家、史学家欧阳修。

他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市也北宋大文学家、史学家欧阳修他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市也北宋大文学家、史学家欧阳修他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇醉翁亭记接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修醉翁亭记接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修醉翁亭记接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修醉翁亭记接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。

二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(1007(10071072)1072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号，字永叔，自号醉翁，晚年又号，字永叔，自号醉翁，晚年又号，字永叔，自号醉翁，晚年又号“ “六一居士六一居士六一居士六一居士” ”吉州永丰。