《初高中数学衔接知识点+配套练习》.pdf

第一讲第一讲 数与式的运算数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式代数式中有整式（多项式、单项式） 、分式、根式它们具有实数的属性，可以进行运算在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式） ，并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算， 因此本节中将拓展乘法公式的内容， 补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容一、乘法公式【公式【公式 1】cabcabcbacba222)(2222证明证明：2222)(2)()()(ccbabacbacba222222aabbacbcc 等式成立【例例 1】计算：22)312(xx解解：原式=2231)2(xx913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222xxxxxxxxxx说明说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式【公式 2】(立方和公式立方和公式)3322)(babababa证明证明: 3332222322)(bababbaabbaabababa说明说明:请同学用文字语言表述公式 2.【例例 2】计算：)(22bababa解解：原式=333322)()()()(bababbaaba我们得到：【公式【公式 3】(立方差公式立方差公式)3322)(babababa请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式 1、2、3 均称为乘法公式乘法公式【例例 3】计算：2（1）（2）)416)(4(2mmm)41101251)(2151(22nmnmnm（3）（4）)164)(2)(2(24aaaa22222)(2(yxyxyxyx解解：（1）原式=333644mm（2）原式=3333811251)21()51(nmnm（3）原式=644)()44)(4(63322242aaaaa（4）原式=2222222)()()(yxyxyxyxyxyx63362332)(yyxxyx说明说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构 （2）为了更好地使用乘法公式，记住 1、2、3、4、20 的平方数和 1、2、3、4、10 的立方数，是非常有好处的【例例 4】已知，求的值0132 xx331xx 解解： 0132 xx0 x31xx原式=18)33(33)1)(1()11)(1(2222xxxxxxxx说明说明：本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较0132 xxx烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例例 5】已知，求的值0cba111111()()()abcbccaab解解：bacacbcbacba, 0原式=abbacaccabbccba abccbaabccacbbbcaa222)()()(abccabccabbababa3)3(3)(32233 ，把代入得原式=abccba333333abcabc说明说明：注意字母的整体代换技巧的应用引申引申：同学可以探求并证明： )(3222333cabcabcbacbaabccba3二、根式二、根式式子叫做二次根式，其性质如下：(0)a a (1) (2) 2()(0)aa a2|aa(3) (4) (0,0)abab ab(0,0)bbabaa【例例 6】化简下列各式：(1) (2) 22( 32)( 31)22(1)(2) (1)xxx解解：(1) 原式=|32|31| 2331 1 (2) 原式=(1)(2)23 (2)|1|2|(1)(2)1 (1x2) xxxxxxxx说明说明：请注意性质的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字2|aa母的取值分类讨论【例例 7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1) (2) (3) 32311ab3282xxx解解：(1) 原式=23(23)3(23)63 323(23)(23)(2) 原式=22aba bababab(3) 原式=22222222 23 222xx xxxx xxxx x说明说明：(1)二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；分母中有根式(如)或被开方323数有分母(如)这时可将其化为形式(如可化为) ，转化为 “分母中有根式”2xab2x2x的情况化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简(如化为，其中与叫做互为有理化因式)3233(23)(23)(23)23234【例例 8】计算：(1) (2) 2(1)(1)()abababaaaabaab解解：(1) 原式=22(1)()(2)2221baaabbaabb (2) 原式=11()()aaaabaababab ()()2()()ababaababab说明说明 ： 有理数的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算【例例 9】设，求的值2323,2323xy33xy解解：22(23)2374 3,74 3 14,12323xyxyxy原式=2222()()()()314(143)2702xy xxyyxyxyxy说明说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量三、分式三、分式当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用ABAB以下两种方法：(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质【例例 10】化简11xxxxx解法一解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法二解法二：原式=22(1)1(1)(1)111()x xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx说明说明 ： 解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简一般根据题目特点综合使用两种方法AAmBBm5【例例 11】化简222396162279xxxxxxxx解解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)xxxxxxxxxxxxxxx22(3)12(1)( +3)32(3)(3)2(3)(3)xxxxxxxx说明说明 ： (1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2) 分式的计算结果应是最简分式或整式 第二讲第二讲 因式分解因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形， 它与整式乘法是相反方向的变形 在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等一、公式法一、公式法(立方和、立方差公式立方和、立方差公式)在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式： (立方和公式)2233()()ab aabbab (立方差公式)2233()()ab aabbab由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()abab aabb3322()()abab aabb这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解【例【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) (2) 38x30.12527b分析：分析： (1)中，(2)中3823330.1250.5 ,27(3 )bb解：解：(1) 333282(2)(42)xxxxx(2) 333220.125270.5(3 )(0.53 )0.50.5 3(3 ) bbbbb2(0.53 )(0.251.59)bbb说明：说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如6，这里逆用了法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，3338(2)a bab()nnnaba b一定要看准因式中各项的符号【例【例 2】分解因式：(1) (2) 34381a bb76aab分析：分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或66ab3232()()ab2323()()ab解：解：(1) 3433223813 (27)3 (3 )(39)a bbb abb ab aabb(2) 76663333()()()aaba aba abab22222222()()()()()()()()a ab aabbab aabba ab ab aabbaabb二、分组分解法二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式， 如既没有公式可用， 也没有公因式可以提取 因此，mambnanb可以先将多项式分组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法 分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式分组后能提取公因式【例【例 3】把分解因式2105axaybybx分析 ：分析 ： 把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然x后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取2ab5xy公因式解：解：21052 (5 )(5 )(5 )(2)axaybybxa xyb xyxyab说明 ：说明 ： 用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试【例【例 4】把分解因式2222()()ab cdabcd分析 ：分析 ： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：解：22222222()()ab cdabcdabcabda cdb cd2222()()abca cdb cdabd()()()()ac bcadbd bcadbcad acbd说明：说明：由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用72分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式【例【例 5】把分解因式22xyaxay分析 ：分析 ： 把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是xya.xy解：解：22()()()()()xyaxayxy xya xyxy xya【例【例 6】把分解因式2222428xxyyz分析：分析：先将系数 2 提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一22224xxyyz个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解：解：22222224282(24)xxyyzxxyyz222()(2 ) 2(2 )(2 )xyzxyz xyz说明：说明：从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式三、十字相乘法三、十字相乘法1型的因式分解型的因式分解2()xpq xpq这类式子在许多问题中。