课时达标检测（三十二） 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题[小题对点练——点点落实]对点练(一) 二元一次不等式(组)表示的平面区域1．(20xx·青岛月考)若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是( )A．3 B．C．2 D．2解析：选C 因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|＝，|AC|＝2，所以其面积为×|AB|×|AC|＝2.2．在平面直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(1，＋∞)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选A 易知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y＝k(x－1)－1 的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k的取值范围是(－∞，－1)．3．(20xx·山西临汾一中月考)不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )解析：选C 由y(x＋y－2)≥0，得或所以不等式y(x＋y－2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项．4．(20xx·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则实数a的取值范围为( )A．(－7,24)B．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C．(－24,7)D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选A 由题意可知(－9＋2－a)(12＋12－a)<0，所以(a＋7)·(a－24)<0，所以－70，即k＝－>0，即m<0，且满足kCD≤k≤kAD.由解得即C(2,1)，CD的斜率kCD＝＝.由解得即A(2,4)，AD的斜率kAD＝＝，即≤k≤，则≤－≤，解得－3≤m≤－，故选D.对点练(二) 简单的线性规划问题1．(20xx·河南八市重点高中联考)已知△ABC中，A(1,1)，B(1,3)，C(1＋，2)，若点(x，y)在三角形内部(不包含边界)，则z＝－2x＋y的取值范围是( )A．(－，－1) B．(－1,1)C．(－2，1) D．(－1，)解析：选C 如图，画出三角形ABC，其内部即为可行域．当直线y＝2x＋z经过点B时，zmax＝－2＋3＝1，经过点C时，zmin＝－2×(1＋)＋2＝－2.故选C.2．(20xx·河南郑州二模)若实数x，y满足且z＝2x＋y的最小值为4，则实数b的值为( )A．1 B．2 C. D．3解析：选D 作出不等式组表示的平面区域如图阴影所示，由图可知z＝2x＋y在点A处取得最小值，且由解得∴A(1,2)．又由题意可知A在直线y＝－x＋b上，∴2＝－1＋b，解得b＝3，故选D.3．(20xx·山东泰安检测)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，已知点A(－1,2)，则直线AM斜率的最小值为( )A．－ B．－2 C．0 D．解析：选B 作出不等式组对应的平面区域如图四边形OBCD及其内部，其中B(2,0)，C(4,6)，D(0,2)．点A(－1,2)，当M位于O时，AM的斜率最小．此时AM的斜率k＝＝－2，故选B.4．(20xx·四川南充高中模拟)若实数x，y满足约束条件则z＝的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示．z＝的几何意义是可行域内的点与点D(－1,0)连线的斜率，由图象知直线AD的斜率最大．由得所以A(1,3)，此时z＝＝，即为要求的最大值．答案：5．(20xx·湖北黄石模拟)已知变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值为________．解析：作出不等式组表示的可行域如图所示，因为目标函数y＝－的斜率小于y＝x－1的斜率，所以目标函数在点A(1,0)时，纵截距－取到最小值，此时z取到最大值为z＝1－0＝1.答案：16．(20xx·吉林省吉林市普通高中调研)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是________．解析：由题中的线性约束条件作出可行域，如图．其中C(0,2)，B(1,1)，D(1,2)．由z＝·＝－x＋y，得y＝x＋z.由图可知，当直线y＝x＋z分别过点C和B时，z分别取得最大值2和最小值0，所以·的取值范围为[0,2]．答案：[0,2]对点练(三) 线性规划的实际应用1．(20xx·江西上饶模拟)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖奖品所用原料完全相同， 但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵．两厂具体收费如下表所示，则组委会定做奖品的费用最低为________元.奖品工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500400乙800600解析：设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品3－x件，二等奖奖品6－y件．由题意得x和y满足设所需费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000.作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分的整点所示．平移直线－300x－200y＝0，即y＝－x，由图知当直线z＝－300x－200y＋6 000，即y＝－x＋30－经过点A时，直线的纵截距最大，z最小．由解得即A(3,1)，满足x∈N，y∈N，所以组委会定做奖品的费用最低为z＝－300×3－200＋6 000＝4 900，故由甲厂生产一等奖奖品3件，二等奖奖品1件，其余都由乙厂生产，所需费用最低，最低费用为4 900元．答案：4 9002．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件生产利润为z＝300x＋400y.作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z＝300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，由方程组解得则zmax ＝300×3＋400×2＝1 700.故最大利润是1 700元．答案：1 700[大题综合练——迁移贯通]1．已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．(1)写出表示区域D的不等式组．(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]＜0，即(14－a)(－18－a)＜0，解得－18＜a＜14.故a的取值范围是(－18,14)．2．若x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．平移初始直线x－y＋＝0，可知z＝x－y＋，过A(3,4)时取最小值－2，过C(1,0)时取最大值1.所以z的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－＜2，解得－4＜a＜2.故所求a的取值范围为(－4,2)．3．(20xx·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料 ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x，y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分．(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大．解方程组得点M的坐标为(20,24)，所以zmax＝2×20＋3×24＝112.答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
