专插本高等数学例题和习题ch1极限、连续与间断参照.pdf

广东专插本资料网 1 / 21 第一章极限、连续与间断本章主要知识点求极限的几类主要题型及方法连续性分析间断判别与分类连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍 1）题型I limmxnPxPx方法：上下同除以x的最高次幂例 1.15422limxxxxx解：原式534111lim11xxxxx例 1.22243123lim31xxxx解：原式222243123lim13xxxxxx2241332lim13xxxx=12 例 1.3111313limxxxxx广东专插本资料网 2 / 21 解：原式 =111313limxxxxx=xxxxx11111313lim=3例 1.4)214(lim2xxxx解：原式 =xxxxx2141lim2=211411lim2xxxx=41例 1.5xxxxxxx234234lim解：原式 =xxxxx)21()43(1)21()43(1lim=1 （ 2）题型 II ( )lim( )mxanpxpx原式 =( ),0( ),( )0,( )0( )( )0mnnnmnmpapapapapapapa上下分解因式(或洛比达） ,例 1.612coslim1xxx解：原式 =1/2 例 1.712sinlim231xxxxxx解：原式 =例 1.832lim221xxxxx解：原式 =)3)(1() 1(lim1xxxxx=3lim1xxx=41广东专插本资料网 3 / 21 例 1.911lim31xxx解：令6ux，原式 =322111(1)(1)limlim1(1)(1)uuuuuuuuu23例 1.10. 2232lim221xxbxaxx解： a+2+b=0, 原式 =222)2)(1()2)(1(lim)2)(1()2(2lim2axxaaxxxxaxaxa=2,b=-4 （ 3）题型 III 若0)(limxfax，)(xg有界0)()(limxgxfax例 1.11. 22limarccot(sin(1)3xxxx解：因为2lim3xxx0，而2arccot(sin(1)x有界，所以原式 0。

例 1.12202limln(1tan )cos ( )xxx解：因为（0 x） ，)2(c o s2x有界，所以原式例 1.132006limsin(sin(2006)1xxxxx解因为01111lim1lim3xxxxxxxx，2006sin(sin(2006)x有界；所以原式 0广东专插本资料网 4 / 21 （ 4）题型 IV 10lim(1)uuue识别此类题型尤为重要，主要特征为1未定式步骤如下：uvuvuveuulim1)1lim()1lim(例 1.14xlim322()1xxx解：原式xlim(32)3(1)1xxxlim3(32)113311xxxx3(32)lim91xxxee例 1.15xlim221251()23xxxxx解：原式xlim2232(21)232332232123xxxxxxxxxx2( 32)(21)lim623xxxxxee例 1.16xxxx120)sin1(lim解：原式 =1)sin1(lim1)sin(sin12022xxxxxxxx（ 5）题型 V 等价无穷小替换替换公式：)0(xxx sinxx tan221cos1xxxx arcsinxx arctanxnxn111xx )1ln(xex1替换原则：乘除可换，加减忌换。

例 1.1730sinlimxxxx广东专插本资料网 5 / 21 错解：30limxxxx=0 例 1.181)5sin()21ln(lim202xxexx解：原式 =252lim20 xxxx=-20 例 1.192320arctan121limxxx解：原式 =220)2(31limxxx=32例 1.203942lim38xxx- 解：令8xu，则8xu原式0limu32742163uu0limu12711811343uu0limu27.3181.2134uu227例 1.21xxxx30tansintanlim)cos1 (tansintanxxxx解：原式 =2121lim)cos1(tanlim32030 xxxxxxxx例 1.22. )21ln(102)(coslimxxx解：原式 =222011(cos1)112ln(1 2)limcos1240lim(1cos1)xxxxxxxxee例 1.23. 4312arctan1arcsinlim22xxxxx广东专插本资料网 6 / 21 解：原式 =23)1)(12()43(lim43121lim2222xxxxxxxxxx例 1.24. )11sin()cos(lim3sintan0 xxeexxx解：原式 =)11sin()cos()1(lim3sintansin0 xxeexxxx=111lim3sintan0 xexxx=03tansinlim112xxxx（ 6）题型 VI 洛必达法则（见导数相关内容）；（ 7）题型 VII 变上限积分有关积分（见积分相关内容）；二、极限应用连续性分析定义：00lim( )()xxf xf x变形：000(0)(0)()f xf xf x,其中0(0)f x分别表示左、右极限。

例 1.25sin,0tan(sin 2 )( ),0 xxxf xa x，若( )fx在0 x处连续，求a解：00sin1lim( )lim(0)tan(sin 2 )2xxxfxfax，故12a例 1.26221ln(12 )sin,0sin 2,01()01xxaxxxxfxbxxcxx，若( )fx在0 x处连续，求, ,a b c解：201ln(12 )(00)lim(sin)sin 2xxfaxxx2001ln(12 )limsinlim1sin 2xxxaxxx广东专插本资料网 7 / 21 201(00)lim()1xxxfcx)(xf4ce由(00)(00)(0)fff得：41bce故41,bcea为任意实数例 1.271( )sin,0( )0,0gx xf xxx，其中( )g x为有界函数，问( )f x在0 x是否连续？解：因为001lim( )lim()sin0(0)xxf xgxfx所以，( )f x在0 x处连续例 1.28sin1( )1xf xx在1x可能连续吗？解：1 01 0111(10)lim( )limlim111xxxxxff xxx，1 01 0111(10)lim( )limlim111xxxxxff xxx不论(1)f取何值，( )f x均不能连续。

三、极限应用间断识别及分类1识别方法：可能间断点应是其定义域中不能取值的端点或分段点2分类方法：（a）00(0)(0)fxf x，0 x为可去间断；（b）00(0)(0)f xf x，0 x为第一类间断，或称跳跃型间断；（c）)0(0 xf、)0(0 xf至少有一个不存在，0 x为第二类间断；特别地，若左右极限中至少有一为，则为第二类无穷间断广东专插本资料网 8 / 21 例 1.29xxxxftan)()(解：间断点为kx，2k，Zk, 对于2kx，Zk,因为0)(lim2xfkx，所以2kx为可去间断对于kx，当0k，即0 x，xxxxtan)(lim0，0 x可去间断；对于kx，当1k，即x，xxxxtan)(lim0,x可去间断；当0,1k，xxxkxtan)(lim，xk为第类无穷间断例 1.3011sin( )xxf xex解：间断点1x，0 111 0(10)sin(1) lim0 xxfee，111 0(10)sin(1) limxxfee )f x在1x为类无穷间断10lim( )xf xe，x=0 为可去间断点例 1.31)2)(1)(3()1ln(2)(xxxxxxf解：定义域为1x。

间断点为2, 1 xx因为)(lim1xfx，)(lim2xfx所以2, 1均为)(xf的类无穷间断例 1.32xexxxf2122)(ex 要考虑左右极限一般是无穷间断解：定义域为22x，间断点为2 ,2x广东专插本资料网 9 / 21 对于2x，)(lim02xfx，2x为第类无穷间断；对于2x，xxxexxf2102022lim21)(lim，2x为第类间断注：对2,2x仅考虑了其一个单侧极限例 1.33.0,0,1,0,sin1)(21xexxxxxfx解：间断点是：2,xZkkx，x=0 是可能间断点对于 x=0 ，f(0+0)=21e,f(0-0)=,x=0 为第类间断；对于,Zkkxkxxf,)(lim为第类间断；对于 x=2,f(2-0)=0,f(2+0)=，为第类间断注：分段函数左右支分别识别，分段点单独考虑四、连续函数介值定理定理：)(xf在闭区间ba,内连续，且0)()(bfaf，则)(xf在ba,至少有一零点，即存在),(bac，使得0)(cf应用此定理需要注意以下几点：(0) ( )f x如何定义) 1(ba,区间的选择，在证明题过程中，有明确的线索)2(验证)(xf在闭区间ba,上的连续性，)3(验证)(xf在两端的符号。

)4(此定理不能确定)(xf是否具有唯一零点，但有唯一性的要求时，应验证)(xf在ba,内的单调性（参见导数应用部分）例 1.34证明：2xxe在1 ,0内有一实根证：构造2)(xxexf，1 ,0 x广东专插本资料网 10 / 21 易知)(xf在1 ,0上连续，且2)0(f，02)1 (ef，故0)1()0(ff，由连续函数介值定理知，0)(xf在1 ,0有实根，即命题得证例 1.35证明2324xxx至少有一正根证明：令23)(24xxxxf，2 ,0 x)(xf在2,0内连续，且4)2(,2)0(ff，0)2()0(ff由闭区间连续函数介值定理得，)(xf在2,0至少有一根，即命题得证五、数列极限定理：对充分大的n成立，nnncba，如果Acannnnlimlim，那么Abnlim例 1.36)2211lim(222nnnnn解：因为12122112122222nnnnnnnnnn，21)(2)1(lim21lim22nnnnnnn21)1(2) 1(lim121lim22nnnnn，所以，原式=1/2 单元练习题1 14)(limxxaxax，则a2如果axxf2)(00 xx，在0 x处连续，则a。

3xxf3cos1)()0(x与nmx等价无穷小，m，_n广东专插本资料网 11 / 21 411xx)0(x与nmx是等价无穷小，m，_n5)2)(4)(1(3xxxx的间断点为6223lim221xxbaxxx，则_a，_b7在下列极限中，正确的是（）A1limsin0 xxxB221lim32xxxxxC1ln(12 )lim1xxxD221lim32xxxxx8若|)(|limAxfax那么（）AAxfax)(limBlim( )xaf xAC|)(|limAxfaxD以上都不正确在下列极限中，不正确的是（）Alimsin 210100 xxxxB102lim03xxxxC1111limxxxeD0sin 22limtan33xxx10计算下列极限（1）2lim4212xxxx（2）200322004limcos2004100!xxxx（3）22221lim2xxxxxx（4）121 cos0lim 12xxx（5）2111lim132xxxx广东专插本资料网 12 / 21 （6）20ln12limtansin2xxxx（7）3222lim42xxxxn11x1n（8）sinlimxxx（9）xxx2)12sin(lim2（10）2420ln 12limsinxxxx（11）30ln 2ln 2lim21xxx（12）2230121lim31xxx11分析函数sinxfxx的间断点，并指明其类。