《多元积分概念性质》PPT课件.ppt

第六章第六章 多元函数积分学及其应用多元函数积分学及其应用u多多元元数数量量值值函函数数积积分分的的概概念念与与性性质质u二二重重积积分分的的计计算算u三三重重积积分分的的计计算算u第第一一型型线线积积分分与与面面积积分分u第第二二型型线线积积分分与与面面积积分分u各各种种积积分分的的联联系系、、三三大大定定理理C.F.Gauss(1777-1855)1多元函数积分学多元函数积分学及其应用及其应用Calculus of Functionsof Several Variables1. 概念和性质概念和性质2本本 章章 内内 容容本章共涉及多元函数的六类积分，它们是本章共涉及多元函数的六类积分，它们是定积分概念在定积分概念在 空间的自然推广空间的自然推广本章内容分为三部分本章内容分为三部分1. 多元数量值函数的积分及其应用多元数量值函数的积分及其应用(一类一类) Œ 二重积分二重积分 三重积分三重积分Ž 一型线积分一型线积分 一型面积分一型面积分32. 多元向量值函数的积分及其应用多元向量值函数的积分及其应用(二类二类) Œ 二型线积分二型线积分 二型面积分二型面积分3. Stokes公式和场论初步公式和场论初步 Œ 三大公式三大公式(Green, Gauss, Stokes)——多元微积分学基本定理多元微积分学基本定理 场论初步、场论初步、 Stokes公式的向量形式公式的向量形式及物理意义及物理意义4§1. 多元数量值函数积分的概念与性质多元数量值函数积分的概念与性质 一、概念一、概念定义定义：：(多元数量值函数积分多元数量值函数积分)设有某几何形体设有某几何形体 ，，其有界且可度量。

函数其有界且可度量函数 在在 上有定义上有定义Œ 将将 任意分为任意分为 个子块个子块5 若不论若不论 如何划分，也不论在每个子块如何划分，也不论在每个子块每个子块的度量用每个子块的度量用表示表示(非负，一般为正非负，一般为正)；； 在每个子块上任取点在每个子块上任取点Ž 作和式：作和式：上点上点 如何选取如何选取, 当所有子块当所有子块6度量的最大值度量的最大值都都存在且为同一定数存在且为同一定数，则称则称 在在 上上可积可积，，并称此极限值为多元数量值函数并称此极限值为多元数量值函数在在 上的积分，并统一记为：上的积分，并统一记为：7l 根据根据 与与 的不同，有以下几类积分：的不同，有以下几类积分： 其中：其中：Œ 定积分定积分 (Definite Integrals) 8Ž 三重积分三重积分 (Triple Integrals)  二重积分二重积分 (Double Integrals) 9 第一型曲线积分第一型曲线积分 (Curve Integrals) 10 第一型曲面积分第一型曲面积分 (Surface Integrals) ® 关于关于多元向量值函数多元向量值函数所涉及的两种积分：所涉及的两种积分： 第二型曲线积分与第二型曲面积分将在后面第二型曲线积分与第二型曲面积分将在后面 讲讲, 所以多元函数积分一共所以多元函数积分一共 6 种种.11® 比较这几类积分：比较这几类积分：1. .共同点共同点Œ 解决的问题具共性解决的问题具共性, 都是求某一整体量都是求某一整体量 解决问题的方法一样：解决问题的方法一样：( Riemann 积分思想积分思想-- to integrate)，，求某一形体的质量：求某一形体的质量：取极限取极限近似近似求和求和细分细分如如(达精确值达精确值)12Ž 其数学结构一样其数学结构一样, 都是求某种特殊结构都是求某种特殊结构 的和式的极限的和式的极限:2. .不同点在不同点在Œ 积分区域不一样：积分区域不一样： 区间区间, 平面区域平面区域, 空间体空间体, 曲线曲线, 曲面曲面. 被积函数不一样：被积函数不一样：一元一元多元多元；；Ž 计算的方法有发展。

计算的方法有发展133. . 多元数量值函数的可积性问题多元数量值函数的可积性问题与定积分一样，与定积分一样， 在在 上有界是可积上有界是可积的的必要条件必要条件；而；而 可度量，可度量，连续，就一定可积连续，就一定可积 (一个充分条件一个充分条件)二、性质二、性质1. .线性性质线性性质142. .关于积分区域的可加性关于积分区域的可加性3. 积分不等关系积分不等关系Œ 若若15 Ž 若在若在 上，上，  当在当在 ( 区间长区间长,平面面积平面面积,体积体积,曲线长曲线长,曲面面积曲面面积. ) 16 积分中值定理：积分中值定理：‘ 所有第一类积分，积分平均值为所有第一类积分，积分平均值为175月月19日作业日作业 看书看书:P.121——P.127;思考思考:P.127.习题习题6.1(A)18。