概率论与数理统计：第一章 概率论的基本概念.ppt
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概率论与数理统计概率论与数理统计Probability Theory & Mathematical Statistics n 概率论与数理统计是研究什么的概率论与数理统计是研究什么的？？ 确定现象 确定现象 or 随机现象？随机现象？ 统计规律性？ 统计规律性？ 在一定条件下结果在一定条件下结果必然出现必然出现( (发生发生) )的现象称为的现象称为确定性确定性现象现象1)(1) “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”, ,确定性现象确定性现象 (2)(2)“水从高处流向低处水从高处流向低处”实例实例确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果 可能出现的可能出现的结果结果: :“1 1”, , “2 2”, , “3 3”, , “4 4”, , “5 5”或或“6 6” 实例实例1 1 “抛掷一粒骰子抛掷一粒骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数”随机现象实例实例2 2 “你未来第一个宝宝的性别你未来第一个宝宝的性别”女女, ,男可能出现的结果：可能出现的结果：实例实例3 3 “观察明天的天气观察明天的天气”可能出现的结果：可能出现的结果：晴，多云，雨。
晴，多云，雨 •确定性现象确定性现象：：在一定条件下必然发生（或在一定条件下必然发生（或必然不发生），如苹果从树上掉落必然不发生），如苹果从树上掉落•随机现象随机现象：：即使条件一定，结果也不可预即使条件一定，结果也不可预测，掷一枚硬币，出现正面或反面？测，掷一枚硬币，出现正面或反面？•统计规律性统计规律性：：随机现象在每次试验中呈现随机现象在每次试验中呈现出不确定性，而在大量重复试验中又呈现出不确定性，而在大量重复试验中又呈现出一定的量的规律性的特点出一定的量的规律性的特点概率论与数理统计概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象就是研究和揭示随机现象的数量特征及其统计规律性的一门学科的数量特征及其统计规律性的一门学科 l 概率论的起源概率论的起源•早期对概率论的思考起源于赌博早期对概率论的思考起源于赌博•德德··梅尔问题梅尔问题 欧洲文艺复兴时期，欧洲许多欧洲文艺复兴时期，欧洲许多国家的贵族之间风行掷骰子的博彩方式玩家国家的贵族之间风行掷骰子的博彩方式玩家德德··梅尔根据自己长期的赌博经验，发现梅尔根据自己长期的赌博经验，发现““一一个骰子掷个骰子掷4 4次至少掷得次至少掷得1 1个六点的可能性，会比个六点的可能性，会比与两个骰子掷与两个骰子掷2424次至少掷得一对六点的可能性次至少掷得一对六点的可能性大，但无法解释。
大，但无法解释 •“分赌本分赌本”问题问题 两个人决定赌若干局，事先约两个人决定赌若干局，事先约定谁先赢得定谁先赢得5 5局便算赢家如果在一个人赢局便算赢家如果在一个人赢4 4局，局，另一人赢另一人赢3 3局时因故终止赌博，应如何分赌本局时因故终止赌博，应如何分赌本？是不是把钱分成？是不是把钱分成7 7份，赢了份，赢了4 4局的就拿局的就拿4 4份，份，赢了赢了3 3局的就拿局的就拿3 3份呢？或者，因为最早说的是份呢？或者，因为最早说的是满满5 5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？？•法国数学家帕斯卡接受了这个问题，并与另一法国数学家帕斯卡接受了这个问题，并与另一位法国数学家费尔马进行讨论，后来荷兰科学位法国数学家费尔马进行讨论，后来荷兰科学家惠更斯也参与了研究，并把解法写入了家惠更斯也参与了研究，并把解法写入了《《论论赌博中的计算赌博中的计算》》（（16571657年）年） •答案：答案：赢了赢了4 4局的拿这个钱的局的拿这个钱的3 3／／4,4,赢了赢了3 3局的局的拿这个钱的拿这个钱的1 1／／4 4 •假定他们俩再赌一局，或者假定他们俩再赌一局，或者A A赢，或者赢，或者B B赢。
赢 若是若是A A赢满了赢满了5 5局，钱应该全归他；局，钱应该全归他；A A如果输了，如果输了，即即A A、、B B各赢各赢4 4局，这个钱应该对半分现在，局，这个钱应该对半分现在，A A赢、输的可能性都是赢、输的可能性都是1 1／／2,2,所以，他拿的钱应所以，他拿的钱应该是（该是（1 1／／2 2））××1 1＋（＋（1 1／／2 2））××（（1 1／／2 2）＝）＝3 3／／4,4,当然，当然，B B就应该得就应该得1 1／／4 4 按赢得整局赌博的概率的比例来分赌按赢得整局赌博的概率的比例来分赌本的思想本的思想, ,即即——数学期望数学期望 概率论与数理统计主要内容概率论与数理统计主要内容概率论的基本概念概率论的基本概念随机变量及其分布随机变量及其分布二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布随机变量的数字特征随机变量的数字特征数理统计的基本概念数理统计的基本概念参数估计参数估计假设检验假设检验回归分析回归分析 第一章 概率论的基本概念n随机事件随机事件n事件的概率事件的概率n条件概率条件概率n事件的独立性事件的独立性 第一章 概率论的基本概念§§1.1 1.1 随机事件随机事件l 随机试验随机试验 随机试验是具有以下特点的试验，记作随机试验是具有以下特点的试验，记作E：：n 可在相同条件下重复进行；可在相同条件下重复进行； n 试验可能结果不止一个，但能确定所有的可试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果能结果;n 一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。
一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现 l 样本空间和样本点样本空间和样本点样本空间样本空间：：随机试验的所有可能结果的集合随机试验的所有可能结果的集合，，记为记为ΩΩ 样本点样本点：：试验的每试验的每一一个可能结果个可能结果，记，记为为ωω 例例1 1：：E E1 1：：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况 ΩΩ1 1={={H，，T} }；； E E２２：将一枚硬币抛掷三次，观察正面：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H H、反面、反面T T出现的情况出现的情况ΩΩ2 2={={HHH，，HHT，，HTH，，THH，，HTT，，THT，，TTH，，TTT} }；； E E３３：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数 ΩΩ3 3={0={0，，1 1，，2 2，，3}3}；； E E４４：抛一颗骰子，观察出现的点数抛一颗骰子，观察出现的点数 ΩΩ4 4= =｛｛1 1，，2 2，，3 3，，4 4，，5 5，，6}6}；； E E５５：记录某城市：记录某城市120120急救台一昼夜接到的呼唤次数急救台一昼夜接到的呼唤次数。
ΩΩ5 5={0={0，，l l，，2 2，，3 3，，…} }；； E E6 6：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度记录某地一昼夜的最高温度和最低温度ΩΩ6={(x={(x，，y) y) ︱︱T T0 0≤x≤y≤T≤x≤y≤T1 1} }，这里，这里x x示最低温度，示最低温度，y y表示最高表示最高温度，并设这一地区的温度不会小于温度，并设这一地区的温度不会小于T To o，也不会大于，也不会大于T T1 1 历史上投掷历史上投掷硬币试验的记录硬币试验的记录 实 验 者 德•摩根 蒲 丰K •皮尔逊K •皮尔逊 n n(H) μn(H) 2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验投掷硬币试验的统计规律性投掷硬币试验的统计规律性 试验试验E E的样本空间的样本空间ΩΩ中满足某些条件的样本点构成的子中满足某些条件的样本点构成的子集称为试验的随机事件，简称事件，通常记为集称为试验的随机事件，简称事件，通常记为A,B,C...A,B,C...在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。
时，称这一事件发生由一个样本点组成的单点集，称为基本事件由两个或由一个样本点组成的单点集，称为基本事件由两个或两个以上样本点组成的集合，称为复合事件两个以上样本点组成的集合，称为复合事件p 样本空间样本空间ΩΩ包含所有的样本点，它是包含所有的样本点，它是ΩΩ自身的子集，自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件在每次试验中它总是发生的，称为必然事件p 空集空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件l 随机事件随机事件l 基本事件（简单事件）、复合事件基本事件（简单事件）、复合事件l 必然事件、不可能事件必然事件、不可能事件 例例2 2：：在在E E２２中事件中事件A A１１：：“第一次出现的是第一次出现的是H H”，即，即 A A１１＝＝{ {HHH，，HHT，，HTH，，HTT} }；； 事件 事件A A２２：：“三次出现同一面三次出现同一面”，即，即 A A2 2＝＝{ {HHH，，TTT} }；； 在在E E６６中事件中事件A A3 3 ：：“寿命小于寿命小于10001000小时小时”，即，即 A A3 3＝｛＝｛t t︱︱0≤t0≤t＜＜1000}1000}；； 在在E E７７中事件中事件A A3 3：：“最高温度和最低温度相差最高温度和最低温度相差1010摄氏度摄氏度”，即，即 A A7 7＝＝{(x{(x，，y) y) ︱︱y-x=10,Ty-x=10,T0 0≤x≤y≤T≤x≤y≤T1 1} }。
例例3 3：：某袋中装有某袋中装有4 4只白球和只白球和2 2只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所只黑球，我们考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件若对球进行编号，可能出现的事件若对球进行编号，4 4只白球分别编为只白球分别编为1 1，，2 2，，3 3，，4 4号，号，2 2只黑球编为只黑球编为5 5，，6 6号如果用数对号如果用数对(i,j)(i,j)表示第一次摸表示第一次摸得得i i号球，第二次摸得号球，第二次摸得j j号球，则可能出现的结果如下：号球，则可能出现的结果如下： (1(1，，2)2)，，(1(1，，3)3)，，(1(1，，4)4)，，(1(1，，5)5)，，(1(1，，6)6) (2 (2，，1)1)，，(2(2，，3)3)，，(2(2，，4)4)，，(2(2，，5)5)，，(2(2，，6)6) (3 (3，，1)1)，，(3(3，，2)2)，，(3(3，，4)4)，，(3(3，，5)5)，，(3(3，，6)6) (4 (4，，1)1)，，(4(4，，2)2)，，(4(4，，3)3)，，(4(4，，5)5)，，(4(4，，6)6) (5 (5，，1)1)，，(5(5，，2)2)，，(5(5，，3)3)，，(5(5，，4)4)，，(5(5，，6)6) (6 (6，，1)1)，，(6(6，，2)2)，，(6(6，，3)3)，，(6(6，，4)4)，，(6(6，，5)5) 把这把这3030个结果作为样本点，则构成了样本空间。
在这个问个结果作为样本点，则构成了样本空间在这个问题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究题中，这些样本点是我们感兴趣的事件；但是我们也可以研究下面另外一些事件：下面另外一些事件： A A：第一次摸出黑球；：第一次摸出黑球； B B：第二次摸出黑球；：第二次摸出黑球； C C：第一次及第二次都摸出黑球．：第一次及第二次都摸出黑球． 后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可后面这些事件与前面那些事件的不同处在于这些事件是可以分解的，例如为了以分解的，例如为了A A出现必须而且只须下列样本点之一出现：出现必须而且只须下列样本点之一出现： (5(5，，1)1)，，(5(5，，2)2)，，(5(5，，3)3)，，(5(5，，4)4)，，(5(5，，6)6) (6 (6，，1)1)，，(6(6，，2)2)，，(6(6，，3)3)，，(6(6，，4)4)，，(6(6，，5)5) 包含包含： ，称事件： ，称事件B B包含事件包含事件A A，即事件，即事件A A发生必然导致事件发生必然导致事件B B发生。
发生 相等相等： ，称事件： ，称事件A A与事件与事件B B相等 和和： ： ，表示，表示A A、、B B二事件中至少有一个发生； 二事件中至少有一个发生； 表示表示n n个事件个事件A A1 1 ，，A A2 2 ，， … ，， A An n中至少有一个发生中至少有一个发生 差差：：A-BA-B，表示事件，表示事件A A发生，而事件发生，而事件B B不发生 积积： ： ，也记作，也记作AB,AB,表示表示A A、、B B二事件都发生二事件都发生; ; 表示表示n n个事件个事件A A1 1 ，，A A2 2 ，，… ，， A An n都发生 互不相容互不相容( (或互斥或互斥) )：指：指ABAB＝＝ ，即事件，即事件A A与事件与事件B B不能不能同时发生；若同时发生；若n n个事件个事件A A1 1 ，，A A2 2 ，，… ，， A An n的任意两个事件的任意两个事件不能同时发生，则称不能同时发生，则称A A1 1 ，，A A2 2 ，，… ，， A An n互不相容。
互不相容 互为对立互为对立( (互逆互逆) )：若 ＝：若 ＝S S，且，且ABAB＝ ，则＝ ，则A A与与B B二事件互逆有二事件互逆有 l 事件间的关系事件间的关系 l 图示事件间的关系（图示事件间的关系（VennVenn文图）文图）ABΩABAABABABBA－BAAB 在进行运算时，经常要用到下述定律设在进行运算时，经常要用到下述定律设A A，，B B，，C C为事件，则有为事件，则有 交换律交换律 结合律结合律 分配律分配律 德德·摩根律摩根律对于对于n n个事件，甚至对于可列个事件，德个事件，甚至对于可列个事件，德·摩根律也成立摩根律也成立l 事件的运算事件的运算 例例4：： 在例２中有 在例２中有 {HHH，，HHT，，HTH，，HTT，，TTT} {HHH} {TTT} {THH，，THT，，TTH} 例例5 5：：1)1)A A发生而发生而B B与与C C都不发生可以表示为：都不发生可以表示为：2)2)A A与与B B都发生而都发生而C C不发生可以表示为：不发生可以表示为：3)3)所有这三个事件都发生可以表示为：所有这三个事件都发生可以表示为：4)4)这三个事件恰好发生一个可以表示为：这三个事件恰好发生一个可以表示为：5)5)这三个事件恰好发生两个可以表示为：这三个事件恰好发生两个可以表示为：6)6)这三个事件至少发生一个可以表示为：这三个事件至少发生一个可以表示为： 练习 证明下列等式：练习 证明下列等式： 练习 从下面两式分析各表示什么包含关系。
练习 从下面两式分析各表示什么包含关系 返回返回 在相同的条件下，进行了在相同的条件下，进行了n n次试验，在这次试验，在这n n次试验次试验中，事件中，事件A A发生的次数发生的次数n nA A称为事件称为事件A A发生的频数比值发生的频数比值n nA A／／n n称为事件称为事件A A发生的频率，并记成发生的频率，并记成ƒn n(A)(A)l 概率概率 对于一个随机事件对于一个随机事件A (A (除必然事件和不可能事件外除必然事件和不可能事件外) )来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生我来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生我们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性用们希望知道的是事件在一次试验中发生的可能性用一个数一个数P(A)P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)P(A)就称为随机事件就称为随机事件A A的概率 我们希望找到一个数来表示 我们希望找到一个数来表示P(A)P(A)§§1.2 1.2 事件的概率事件的概率l 频率频率 例 考虑例 考虑“抛硬币抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷这个试验，我们将一枚硬币抛掷5 5次、次、5050次、次、500500次，各做次，各做1010遍。
得到数据如下表所示遍得到数据如下表所示( (其中其中n nH H表示表示H H发发生的频数，生的频数，ƒn n(H)(H)表示表示H H发生的频率发生的频率) )试验序试验序号号n= 5n= 50n=500nHƒn(H)nHƒn(H)nHƒn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494 l 频率稳定性频率稳定性大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数现出稳定性，逐渐稳定于某个常数当当n足够大时，足够大时， ƒn(A ) P(A) 由于事件发生的频率表示由于事件发生的频率表示A A发生的频繁程度频率发生的频繁程度频率大，事件大，事件A A发生就频繁，这意味着发生就频繁，这意味着A A在一次试验中发生的在一次试验中发生的可能性就大。
可能性就大 当当n n增大时，频率在概率附近摆动因此，每一个增大时，频率在概率附近摆动因此，每一个从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率从独立重复试验中测得的频率，都可以作为概率P(A)P(A)的的近似值 l 频率的基本性质频率的基本性质由定义，易见频率具有下述基本性质：由定义，易见频率具有下述基本性质：⑴ ⑴ 0≤0≤ƒn n(A)≤1;(A)≤1;⑵ ⑵ ƒn n( (ΩΩ) )＝＝1; 1; ƒn n( (φφ) )＝＝0;0;⑶ ⑶ 若若A A1 1，，A A2 2 ，，… ，，A Ak k是两两互不相容的事件，则是两两互不相容的事件，则ƒn n( ( A A1 1∪A∪A2 2∪∪…∪A∪Ak k )=)=ƒn n(A(A1 1)+)+ƒn n(A(A2 2)+)+…+ +ƒn n(A(Ak k).).证明证明(3):(3):由于由于A A1 1，，A A2 2 ，，… ，，A Ak k是两两互不相是两两互不相容，在容，在n n次试验中次试验中A A1 1∪A∪A2 2∪∪…∪A∪Ak k的频数的频数 •概率的公理化定义概率的公理化定义定义定义 设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为ΩΩ，且对，且对ΩΩ中任何事件中任何事件A A都赋予一个实数都赋予一个实数P(A)P(A)，如果，如果P(A)P(A)满足下面三个公理：满足下面三个公理： (1) (1) 非负性：对任何事件非负性：对任何事件A A，都有，都有0≤P(A)≤10≤P(A)≤1；； (2) (2) 规范性：规范性：P(P(ΩΩ)=1)=1，，P(P(φφ) )＝＝0;0; (3) (3) 可列可加性：对任意可列个两两互斥的事件是可列可加性：对任意可列个两两互斥的事件是A A1 1，，A A2 2 ，，… ，，有，，有则称则称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。
的概率 •概率的重要性质概率的重要性质 •概率重要性质的证明概率重要性质的证明 解解 设设A A为事件为事件“取到的数能被取到的数能被6 6整除整除”，，B B为事件为事件“取到的取到的数能被数能被8 8整除整除”，则所求概率为，则所求概率为 例例 在在1 1～～20002000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不的整数中随机地取一个数，问取到的整数既不能被能被6 6整除，又不能被整除，又不能被8 8整除的概率是多少整除的概率是多少? ?另例见另例见P10P10 又由于一个数同时能被又由于一个数同时能被6 6与与8 8整除，就相当于能被整除，就相当于能被2424整除，整除，因此，由因此，由 得得 于是所求概率为于是所求概率为 • 等可能概率模型（古典概型）等可能概率模型（古典概型） 等可能概率模型是有限样本空间的一种特例这种随机等可能概率模型是有限样本空间的一种特例这种随机现象具有下列两个特征：现象具有下列两个特征： (1)(1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬如为如为n n个，记为个，记为ωω1 1，，ωω2 2，，…, , ωωn n ，而且这些事件是两两互，而且这些事件是两两互不相容的；不相容的； (2)(2)事件｛事件｛ωωi i｝（｝（i=1,2, i=1,2, …n)n)的发生或出现是等可能的发生或出现是等可能的，即它们发生的概率都一样。
的，即它们发生的概率都一样 这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型古典概型在概率论中占有相当重要的地位，型称为古典概型古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它具有简单、直观的特点，且应用广泛它具有简单、直观的特点，且应用广泛 •如何理解古典概型中的等可能假设？如何理解古典概型中的等可能假设？ 等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设， 等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这两个假设，给直接计算概率带来了很大的方便但在事实上，所讨论问给直接计算概率带来了很大的方便但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的根据人们长期形成的“对称性经验对称性经验”作出的例如，骰子是作出的例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。
因此，等可能假状相同，摸出其中任一个的可能性都相等因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而设不是人为的，而是人们根据对事物的认识一对称性特征而确认的 •等可能概率模型中事件概率的计算公式等可能概率模型中事件概率的计算公式 设试验的样本空间为 设试验的样本空间为ΩΩ={={ωω1 1，，ωω2 2，，…, , ωωn n } }由于在试由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有验中每个基本事件发生的可能性相同，即有 P({P({ωω1 1})})＝＝P({P({ωω2 2})})＝＝…＝＝P({P({ωωn n })})又由于基本事件是两两不相容的，于是又由于基本事件是两两不相容的，于是 1=P(1=P(ΩΩ)=P({)=P({ω 1 1}∪{}∪{ω 2 2}∪}∪… ∪{ ∪{ω n n})}) = P({ = P({ω 1 1})+P({})+P({ω2 2})+})+…+P({+P({ωn n})=nP({})=nP({ω i i})}) P({ P({ω i i})=1/n })=1/n ，，i=1i=1，，2 2，，…n n 法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)(Laplace)在在18121812年把上式作为概率的年把上式作为概率的一般定义。
事实上它只适用于古典概型场合一般定义事实上它只适用于古典概型场合 •有关排列组合的知识有关排列组合的知识 求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点求解古典概型问题的关键是弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数在理清事件数的时总数和所求概率事件包含的样本点个数在理清事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题，以下是关于排列组合的知识：关于排列组合的知识： 1 1．不同元素的选排列．不同元素的选排列 从从n n个不相同的元素中，无放回地取出ｍ个元素的排列个不相同的元素中，无放回地取出ｍ个元素的排列( (ｍｍ< <ｎｎ) )，称为从，称为从n n个不同元素中取ｍ个元素的选排列，共有 个不同元素中取ｍ个元素的选排列，共有 当 当m m＝＝n n时，称时，称n n个元素的全排列共有ｎ！种个元素的全排列共有ｎ！种 2 2．不同元素的重复排列．不同元素的重复排列 在 在n n个不同元素中，有放回地取ｍ个元素进行的排列，个不同元素中，有放回地取ｍ个元素进行的排列， 共有 种。
共有 种 •有关排列组合的知识有关排列组合的知识 3 3．组合．组合 从从n n个不同元素中取个不同元素中取m m个而不考虑其次序的排列，共有个而不考虑其次序的排列，共有 •有关排列组合的知识有关排列组合的知识 4.4.乘法原理乘法原理 设完成一件事有设完成一件事有n n个步骤，第一步有个步骤，第一步有m m1 1种方法，第二步种方法，第二步有有m m2 2种方法，种方法，…，第，第n n步有步有m mn n种方法，则完成这件事有种方法，则完成这件事有m m1 1 · m m2 2 · … · m mn n种方法 5.5.加法原理加法原理 设完成一件事有设完成一件事有k k类方法，每类分别有类方法，每类分别有m m1 1, ,…,m,mk k种方法，种方法，而完成这件事只需一种方法，则完成这件事可以有而完成这件事只需一种方法，则完成这件事可以有m m1 1+m+m2 2+ +…+m+mk k种方法．种方法． 例：将一枚硬币抛掷三次例：将一枚硬币抛掷三次⑴⑴设事件设事件A A1 1为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正面”，求，求P(AP(A1 1) )；；⑵⑵设事件设事件A A2 2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，求，求P P(A(A2 2) )。
解：解：⑴⑴我们考虑例我们考虑例1 1中中E E２２的样本空间：的样本空间： S S2 2：：{HHH{HHH，，HHTHHT，，HTHHTH，，THHTHH，，HTTHTT，，THTTHT，，TTHTTH，，TTT}TTT}而 而 A A1 1：：{HTT{HTT，，THTTHT，，TTH}TTH} S S2 2中包含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同中包含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同故由古典概型计算公式，得故由古典概型计算公式，得 P(AP(A1 1)=3/8)=3/8 ⑵ ⑵由于由于 ={TTT}={TTT}，于是，于是 例：一口袋装有例：一口袋装有6 6只球，其中只球，其中4 4只白球、只白球、2 2只红球从袋中取只红球从袋中取球两次，每次随机地取一只考虑两种取球方式：球两次，每次随机地取一只考虑两种取球方式：(a)(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再取一球这种取球方式叫做放回抽样这种取球方式叫做放回抽样。
b)(b)第一次取一球第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球这种取球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球这种取球方式叫做不放回抽样试分别就上面两种情况求方式叫做不放回抽样试分别就上面两种情况求(1)(1)取取到的两只球都是白球的概率；到的两只球都是白球的概率；(2)(2)取到的两只球颜色相取到的两只球颜色相同的概率；同的概率；(3)(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概取到的两只球中至少有一只是白球的概率 解 以解 以A A、、B B、、C C分别表示事件分别表示事件“取到的两只球都是白球取到的两只球都是白球”，，“取到的两只球都是红球取到的两只球都是红球”，，“取到的两只球中至取到的两只球中至少有一只是白球少有一只是白球”易知“取到两只颜色相同的球取到两只颜色相同的球”这这一事件即为一事件即为AUBAUB，而，而C C＝＝ (a)(a)放回抽样的情况放回抽样的情况 (b)(b)不放回抽样的情况不放回抽样的情况 例：将例：将n n只球随机地放入只球随机地放入N(N≥n)N(N≥n)个盒子中去，试求每个盒子至个盒子中去，试求每个盒子至多有一只球的概率多有一只球的概率( (设盒子的容量不限设盒子的容量不限) )。
解解 这是古典概率问题因每一只球都可以放人这是古典概率问题因每一只球都可以放人N N个盒子中的个盒子中的任一个盒子，故共有 种不同的放法，而每个盒子中至任一个盒子，故共有 种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共有多放一只球共有N(NN(N一一1)1)…[N-(n[N-(n一一1)]1)]种不同放法因而所种不同放法因而所求的概率为求的概率为 例：例： 如果某批产品中有如果某批产品中有a a件次品件次品b b件好品，我们采用有放回及件好品，我们采用有放回及不放回抽样方式从中抽不放回抽样方式从中抽n n件产品，问正好有件产品，问正好有k k件是次品的概件是次品的概率各是多少率各是多少? ?解解 [ [有放回抽样场合有放回抽样场合] ] 把把a+ba+b个产品进行编号，有放回抽个产品进行编号，有放回抽n n次，次，把可能的重复排列全体作为样本点，总数 ，把可能的重复排列全体作为样本点，总数 ， 其中有利场合其中有利场合( (即次品正好出现即次品正好出现k k次次) )的数目是的数目是 ， ， 故所求概率为故所求概率为 是二项式是二项式 展开式的一般项，展开式的一般项， 上述概率称为上述概率称为二项分布二项分布。
[ [不放回抽样场合不放回抽样场合] ] 从从a+ba+b个产品中取出个产品中取出n n个产品的可能组个产品的可能组合全体作为样本点，总数为合全体作为样本点，总数为 ，有利场合数为，有利场合数为故所求概率为故所求概率为这个概率称为超几何分布这个概率称为超几何分布 解解 (1)(1)放回抽样的情况，显然有放回抽样的情况，显然有例例 袋中有袋中有a a只白球，只白球，b b只红球，只红球，k k个人依次在袋中取一只球，个人依次在袋中取一只球，(1)(1)作放回抽样；作放回抽样；(2)(2)作不放回抽样，求第作不放回抽样，求第i(i=1i(i=1，，2 2，，…，，k)k)人取到白球人取到白球( (记为事件记为事件B)B)的概率的概率(k≤a+b)(k≤a+b) (2) (2)不放回抽样的情况，各人取一只球，共有不放回抽样的情况，各人取一只球，共有(a+b)(a+b-(a+b)(a+b-1)1)…(a+b-k+1)(a+b-k+1)个基本事件，每个基本事件发生的可能性相个基本事件，每个基本事件发生的可能性相同当事件同当事件B B发生时，发生时，B B中包含中包含a(a+b-1)(a+b-2)a(a+b-1)(a+b-2)…[a+b-l-[a+b-l-(k-1)+1](k-1)+1]个基本事件，故个基本事件，故 值得注意的是值得注意的是P(B)P(B)与与i i无关，即无关，即k k个人取球，尽管取球的先个人取球，尽管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一样的，大家机会相后次序不同，各人取到白球的概率是一样的，大家机会相同同( (例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的）。
例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的）另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下下P(B)P(B)是一样的是一样的 例例 将将1515名新生随机地平均分配到三个班级中去，这名新生随机地平均分配到三个班级中去，这1515名新生名新生中有中有3 3名是优秀生问名是优秀生问(1)(1)每一个班级各分配到一名优秀生每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少的概率是多少?(2)3?(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少名优秀生分配在同一班级的概率是多少? ? 解解 1515名新生平均分配到三个班级中的分法总数为名新生平均分配到三个班级中的分法总数为 每一种分配法为一基本事件，且每个基本事件发生的可能每一种分配法为一基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同 (1)(1)将将3 3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优秀生的分法共的分法共3!3!种对于这每一种分法，其余种对于这每一种分法，其余1212名新生平均分名新生平均分配到三个班级中的分法共有配到三个班级中的分法共有12!12!／／(4!4!4!)(4!4!4!)种。
因此，每一种因此，每一班级各分配到一名优秀生的分法共有班级各分配到一名优秀生的分法共有(3!(3!××12!)12!)／／(4!4!4!)(4!4!4!)种于是所求概率为种于是所求概率为 (2) (2)将将3 3名优秀生分配在同一班级的分法共有名优秀生分配在同一班级的分法共有3 3种对于这每种对于这每一种分法，其余一种分法，其余1212名新生的分法名新生的分法( (一个班级一个班级2 2名，另两个班名，另两个班级各级各5 5名名) )有有12!12!／／(2!5!5!)(2!5!5!)种因此3 3名优秀生分配在同一名优秀生分配在同一班级的分法共有班级的分法共有(3 X 12!)(3 X 12!)／／(2!5!5!)(2!5!5!)种，于是，所求概率种，于是，所求概率为为•参见参见P13 P13 例例1.91.9 •古典概率的基本性质古典概率的基本性质 从古典概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基 从古典概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基本性质：本性质： ⑴ ⑴对于任何事件对于任何事件A,P(A)≥0A,P(A)≥0；； ⑵ ⑵P(P(ΩΩ)=1)=1；； ⑶ ⑶若若A A1 1 ，，A A2 2 ，，… ，， A Am m两两互不相容，则两两互不相容，则 P(AP(A1 1+A+A2 2+ +…+A+Am m)=P(A)=P(A1 1)+P(A)+P(A2 2)+)+…+P(A+P(Am m) ) 第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的( (有限有限) )可加性。
可加性 •几何概率问题的提出几何概率问题的提出 在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某在古典概型中利用等可能性的概念，成功地计算了某一类问题的概率；不过，古典概型要求可能场合的总数必须一类问题的概率；不过，古典概型要求可能场合的总数必须有限因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多有限因此历史上有不少人企图把这种做法推广到有无限多结果而又有某种等可能性的场合这类问题一般可以通过几结果而又有某种等可能性的场合这类问题一般可以通过几何方法来求解何方法来求解 先从几个简单的例子开始先从几个简单的例子开始 [ [例例1] 1] 某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间短于想听电台报时，求他等待的时间短于1010分钟的概率分钟的概率 [ [例例2] 2] 在在400400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机抽出机抽出2 2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率 一种相当自然的答案是认为例一种相当自然的答案是认为例1 1所求的概率等于所求的概率等于1/61/6，例，例2 2所求的概率等于所求的概率等于1/2001/200。
在求出这些概率时，我们事实上是在求出这些概率时，我们事实上是利用了几何的方法，并假定了某种等可能性利用了几何的方法，并假定了某种等可能性 •几何概率的定义几何概率的定义 设随机试验的每个样本点是等可能落入区域（间）设随机试验的每个样本点是等可能落入区域（间）ΩΩ上的随机点上的随机点M M，且子区域（间），且子区域（间）D D被包含于被包含于ΩΩ，则随，则随机点机点M M落入子区域（间）落入子区域（间）D D的的几何概率几何概率为为其中其中m(m(ΩΩ) )和和m(D)m(D)表示区域（间）表示区域（间）ΩΩ和和D D的长度、面积的长度、面积或体积 例例12 (12 (会面问题会面问题) )两人相约两人相约7 7点到点到8 8点在某地会面，先到者等候点在某地会面，先到者等候另一人另一人2020分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率分钟，过时就可离去，试求这两人能会面的概率解解 以以x x，，y y分别表示两人到达时刻，分别表示两人到达时刻，则会面的充要条件为则会面的充要条件为 ︱︱x-yx-y︱︱≤20≤20 这是一个几何概率问题，可能的结这是一个几何概率问题，可能的结果全体是边长为果全体是边长为6060的正方形里的点，的正方形里的点，能会面的点的区域用阴影标出能会面的点的区域用阴影标出( (如如图图) )。
所求概率为所求概率为o o6060202020206060 x xy y •几何概率的基本性质几何概率的基本性质 从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基 从几何概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基本性质：本性质： ⑴ ⑴对于任何事件对于任何事件A,P(A)≥0A,P(A)≥0；； ⑵ ⑵P(S)=1P(S)=1；； ⑶ ⑶若若A A1 1 ，，A A2 2 ，，… 两两互不相容，则两两互不相容，则 第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率 第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性前两个性质的规范性，第三个性质称为概率的可列可加性前两个性质与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容与古典概率相同，后一个性质则要求对可列个两两互不相容的事件成立的事件成立 • 条件概率问题的提出条件概率问题的提出 对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的以前 对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的以前的讨论总是假定除此之外再无别的信息可供使用可是，有时的讨论总是假定除此之外再无别的信息可供使用。
可是，有时我们却会碰到这样的情况，即已知某一事件我们却会碰到这样的情况，即已知某一事件B B已经发生，要求已经发生，要求另一事件另一事件A A发生的概率例如考虑有两个孩子的家庭，假定男发生的概率例如考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子女出生率一样，则两个孩子( (依大小排列依大小排列) )的性别为的性别为( (男，男男，男) )，，( (男，女男，女) )，，( (女，男女，男) )，，( (女，女女，女) )的可能性是一样的若以的可能性是一样的若以A A记记随机选取的这样一个家庭中有一男一女这一事件，则显然随机选取的这样一个家庭中有一男一女这一事件，则显然P(A)=1/2P(A)=1/2，但是如果我们预先知道这个家庭至少有一个女孩，，但是如果我们预先知道这个家庭至少有一个女孩，那么，上述事件的概率便应是那么，上述事件的概率便应是2/32/3 两种情况下算出的概率不同这是因为在第二种情况下，两种情况下算出的概率不同这是因为在第二种情况下，我们多知道了一个条件：事件我们多知道了一个条件：事件B(B(这一家庭至少有一女孩这一家庭至少有一女孩) )发生，发生，因此我们算得的概率事实上是因此我们算得的概率事实上是“在已知事件在已知事件B B发生的条件下，发生的条件下，事件事件A A发生的概率发生的概率”，这个概率我们将记之为，这个概率我们将记之为P(AP(A︱︱B)B)。
§§1.3 1.3 条件概率条件概率 •条件概率问题的提出条件概率问题的提出 上例中，样本点总数上例中，样本点总数n=4n=4，事件，事件A A包含的样本点数包含的样本点数m mA A=2,=2,因因此此P(A)=1/2P(A)=1/2；事件；事件B B包含的样本点数包含的样本点数m mB B=3=3，而，而m mABAB=2=2，因此 ，因此 不难证明，上式对一般古典概型问题也成立不难证明，上式对一般古典概型问题也成立 在几何概率中，若以 在几何概率中，若以m(A),m(B),m(AB),m(m(A),m(B),m(AB),m(ΩΩ) )分别记事件分别记事件A,B,AB,A,B,AB,ΩΩ所对应点集的测度，且所对应点集的测度，且m(B)>0,m(B)>0,则则 在一般场合，我们将把这个等式作为条件概率的定义 在一般场合，我们将把这个等式作为条件概率的定义 •条件概率的定义条件概率的定义 设设A,BA,B是两个事件，且是两个事件，且P(A)>0P(A)>0，称，称为在事件为在事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的条件概率。
发生的条件概率 •条件概率满足概率定义中的三个基本性质条件概率满足概率定义中的三个基本性质 ⑴⑴非负性：对于任何事件非负性：对于任何事件B B，有，有P(B∣A)≥0P(B∣A)≥0；； ⑵ ⑵规范性：对于必然事件规范性：对于必然事件ΩΩ，有，有P(P(ΩΩ∣A)=1∣A)=1；； ⑶ ⑶可列可加性：设可列可加性：设B B1 1 ，，B B2 2 ，，… 两两互不相容的事件，两两互不相容的事件，即对于即对于i≠j, Bi≠j, Bi iB Bj j= , i,j=1,2, = , i,j=1,2, …, ,则有则有 可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重 可见，条件概率也是概率，前面对概率所证明的一些重要结果都适用于条件概率例如：要结果都适用于条件概率例如：特别当特别当B=B=ΩΩ时，条件概率化为无条件概率时，条件概率化为无条件概率 解解 易知此属古典概型问题．将产品编号，易知此属古典概型问题．将产品编号，1 1，，2 2，，3 3号为一等号为一等品；品；4 4号为二等品以号为二等品以(i,j)(i,j)表示第一次、第二次分别取到表示第一次、第二次分别取到第第i i号、第号、第j j号产品。
试验号产品试验E(E(取产品两次，记录其号码取产品两次，记录其号码) )的样的样本空间为本空间为 S={(1S={(1，，2)2)，，(1(1，，3)3)，，(1(1，，4)4)，，(2(2，，1)1)，，(2(2，，3)3)，，(2(2，，4)4)，，…，，(4(4，，1)1)，，(4(4，，2)2)，，(4(4，，3)}3)}，， A={(1A={(1，，2)2)，，(1(1，，3)3)，，(1(1，，4)4)，，(2(2，，1)1)，，(2(2，，3)3)，，(2(2，，4)4)，，(3(3，，1)1)，，(3(3，，2)2)，，(3(3，，4)}4)}，， ABAB＝＝{(1{(1，，2)2)，，(1(1，，3)3)，，(2(2，，1)1)，，(2(2，，3)3)，，(3(3，，1)1)，，(3(3，，2)}2)}按条件概率的定义，得条件概率按条件概率的定义，得条件概率 例例 一盒子装有一盒子装有4 4只产品，其中有只产品，其中有3 3只一等品，只一等品，1 1只二等品从只二等品从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样设事件中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。
设事件A A为为第一次取到的是一等品第一次取到的是一等品”，事件，事件B B为为“第二次取到的是一等第二次取到的是一等品品”试求条件概率试求条件概率P(B∣A)P(B∣A) 也可以直接按条件概率的含义来求也可以直接按条件概率的含义来求P(B∣A)P(B∣A)我们知道，当我们知道，当A A发生以后，试验发生以后，试验E E所有可能结果的集合就是所有可能结果的集合就是A A，，A A中有中有9 9个元个元素，其中只有素，其中只有(1(1，，2)2)，，(1(1，，3)3)，，(2(2，，1)1)，，(2(2，，3)3)，，(3(3，，1)1)，，(3(3，，2)2)属于属于B B，故可得，故可得 •乘法定理乘法定理 设 设P(A)>0P(A)>0，则有，则有 P(AB)=P(B∣A)P(A)P(AB)=P(B∣A)P(A)上式被称为乘法公式它可以由条件概率的公式直接推得上式被称为乘法公式它可以由条件概率的公式直接推得 同理，若同理，若P(B)>0P(B)>0，则有，则有 P(AB)=P(A∣B)P(B)P(AB)=P(A∣B)P(B) 可以把乘法定理推广到任意可以把乘法定理推广到任意n n个事件之交的场合：设个事件之交的场合：设A A1 1,A,A2 2, ,…,A,An n为为n n个事件，个事件，n≥2,n≥2,且且 P(AP(A1 1A A2 2…A An-1n-1））>0>0，则有，则有 P(AP(A1 1A A2 2…A An n））=P(A=P(An n∣A∣A1 1A A2 2…A An-1n-1））P(AP(An-1n-1∣A∣A1 1A A2 2…A An-2n-2））…P P(A(A2 2∣A∣A1 1））P(AP(A1 1）） 例例 设袋中装有设袋中装有r r只红球，只红球，t t只白球。
每次自袋中任取一只球，只白球每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入观察其颜色然后放回，并再放入a a只与所取出的那只球同色只与所取出的那只球同色的球若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球的球若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率且第三、四次取到白球的概率解解 以以A Ai i(i=l(i=l，，2 2，，3 3，，4)4)表示事件表示事件“第第i i次取到红球次取到红球”，则，则 分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为 例例 设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1 1／／2 2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7 7／／1010，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9 9／／1010试求透镜落下三次而未打破的概率试求透镜落下三次而未打破的概率 因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件， 因为可以验证，条件概率满足概率定义中的三个条件，所以它是概率。
所以它是概率 条件概率是在试验条件概率是在试验E E的条件上加上一个新条件的条件上加上一个新条件( (如如B B发生发生) )求事件求事件( (如如A)A)发生的概率条件概率发生的概率条件概率P(A∣B)P(A∣B)与与P(A)P(A)的区别的区别就是在就是在E E的条件上增加了一个新条件而无条件概率是没有的条件上增加了一个新条件而无条件概率是没有增加新条件的概率增加新条件的概率条件概率条件概率P(A∣B)P(A∣B)与积事件概率与积事件概率P(AB)P(AB)有什么区别？有什么区别？ P(AB) P(AB)是在样本空间是在样本空间ΩΩ内，事件内，事件ABAB的概率，而的概率，而P(A∣B)P(A∣B)是是在试验在试验E E增加了新条件增加了新条件B B发生后的缩减样本空间发生后的缩减样本空间S SB B中计算事中计算事件件A A的概率虽然都是的概率虽然都是A A、、B B同时发生，但两者是不同的，同时发生，但两者是不同的，有有P(AB)P(AB)＝＝P(B)P(A∣B)P(B)P(A∣B)，仅当，仅当P(B)P(B)＝＝P(P(ΩΩ) )＝＝1 1时，两者相时，两者相等。
等条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么条件概率为什么是概率？它与无条件概率有什么区别？区别？ •全概率公式全概率公式 全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全概率公式的全概率公式是概率论的一个重要公式，应用全概率公式的关键是建立样本空间的正确划分关键是建立样本空间的正确划分( (即构造一个正确的完备事件即构造一个正确的完备事件组组) )，然后计算各个概率和条件概率，最后代入全概率公式然后计算各个概率和条件概率，最后代入全概率公式它是求复杂事件概率的有力工具它是求复杂事件概率的有力工具 样本空间的划分的定义：设样本空间的划分的定义：设S S为试验为试验E E的样本空间，的样本空间，B B1 1,B,B2 2，，…,B,Bn n为为E E的一组事件若的一组事件若 ⑴ ⑴B Bi iB Bj j= =,i≠j,i,j=1,2, ,i≠j,i,j=1,2, …,n;,n; ⑵B ⑵B1 1∪B∪B2 2∪∪…∪B∪Bn n= =ΩΩ, ,则称则称B B1 1,B,B2 2, , …B Bn n为样本空间为样本空间S S的一个划分的一个划分。
全概率公式：设试验全概率公式：设试验E E的样本空间为的样本空间为S,AS,A为为E E的事件，的事件， B B1 1,B,B2 2，，…,B,Bn n为为S S的一个划分，且的一个划分，且P(BP(Bi i)>0(i=1,2, )>0(i=1,2, …,n),,n),则则 P(A)=P(A∣BP(A)=P(A∣B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A∣B)+P(A∣B2 2)P(B)P(B2 2)+)+…+P(A∣B+P(A∣Bn n)P(B)P(Bn n).). •全概率公式的证明全概率公式的证明证明证明 因为事件因为事件B B1 1,B,B2 2，，…,B,Bn n时样本空间的一个划分，即时样本空间的一个划分，即B Bi i两两两两互不相容，互不相容，P(BP(Bi i)>0(i=1,2, )>0(i=1,2, …,n),n)，而且，而且 B B1 1∪B∪B2 2∪∪…∪B∪Bn n=S=S有有 ABAB1 1∪AB∪AB2 2∪∪…∪AB∪ABn n=A=A这里的这里的ABABi i也是两两互不相容（参见图）。
也是两两互不相容（参见图） 由概率的可列可加性由概率的可列可加性 P(A)=P(ABP(A)=P(AB1 1)+P(AB)+P(AB2 2)+)+…+P(AB+P(ABn n) )利用乘法定理即得利用乘法定理即得 P(A)=P(A∣BP(A)=P(A∣B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A∣B)+P(A∣B2 2) P(B) P(B2 2)+)+…+P(A∣B+P(A∣Bn n)P(B)P(Bn n) )B B1 1A AB B5 5B B4 4B B3 3B B2 2 解解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别记为的事件分别记为A1,A2,A3,A4，则它们构成样本空间的一个，则它们构成样本空间的一个分割用B B表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有穗含有5050颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得颗以上麦粒这一事件，则由全概率公式得例例 播种用的一等小麦种子中混合播种用的一等小麦种子中混合2%2%的二等种子，的二等种子，1.5%1.5%的三等的三等种子，种子，1%1%的四等种子。
用一等、二等、三等、四等种子长的四等种子用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含出的穗含5050颗以上麦粒的概率分别是颗以上麦粒的概率分别是0.5,0.15,0.1,0.050.5,0.15,0.1,0.05，，求这批种子所结的穗含有求这批种子所结的穗含有5050颗以上麦粒的概率颗以上麦粒的概率 例例 考卷中一道选择题有考卷中一道选择题有4 4个答案，仅有一个是正确的，设一个个答案，仅有一个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的如果这个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的如果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率学生答对了，求它确实知道正确答案的概率 解解 样本空间可以划分为事件样本空间可以划分为事件A A——知道正确答案，知道正确答案， ——不知不知道以B B表示学生答对事件，则表示学生答对事件，则A A B B，，P(AB)P(AB)＝＝P(A)P(A)＝＝1 1／／2 2P(B∣A)=1P(B∣A)=1，而，而P(B∣ )P(B∣ )＝＝1 1／／4 4由全概率公式由全概率公式 P(B)P(B)＝＝P(A)P(B∣A)+P( )P(B∣ )P(A)P(B∣A)+P( )P(B∣ ) ＝＝1 1／／2 2××1+11+1／／2 2××1 1／／4=54=5／／8 8，，故故 P(A∣B)P(A∣B)＝＝P(AB)P(AB)／／P(B)P(B)＝＝4 4／／5 5．． •贝叶斯公式贝叶斯公式 设试验设试验E E的样本空间为的样本空间为S S。
A A为为E E的事件，的事件， B B1 1,B,B2 2，，…,B,Bn n为为S S的一个划分，且的一个划分，且P(A)>0,P(BP(A)>0,P(Bi i)>0(I=1,2, )>0(I=1,2, …,n),n)，则，则上式称为贝叶斯上式称为贝叶斯(Bayes)(Bayes)公式 贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用全概率公式一贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用全概率公式一用于用于“由因求果由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于问题，而贝叶斯定理一般用于“执果寻因执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式 •贝叶斯公式的证明贝叶斯公式的证明证证 由条件概率的定义及全概率公式即得由条件概率的定义及全概率公式即得 当当n=2n=2时，全概率公式和贝叶斯公式的形式时，全概率公式和贝叶斯公式的形式 •什么是先验概率和后验概率？什么是先验概率和后验概率？ 贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用假贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用假定定B B1 1,B,B2 2, ,…是导致试验结果的是导致试验结果的“原因原因”，，P(BP(Bi i) )称为先验概率称为先验概率，，它反映了各种它反映了各种“原因原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道。
现在若试验产生了事件总结，在这次试验前已经知道现在若试验产生了事件A A，这个，这个信息将有助于探讨事件发生的信息将有助于探讨事件发生的“原因原因”条件概率条件概率P(BP(Bi i∣A)∣A)称称为后验概率为后验概率，它反映了试验之后对各种，它反映了试验之后对各种“原因原因”发生的可能性发生的可能性大小的新知识例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是大小的新知识例如在医疗诊断中，有人为了诊断病人到底是患了毛病患了毛病B B1 1,B,B2 2, ,…,B,Bn n中的哪一种，对病人进行观察与检查，确中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标定了某个指标A(A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等) )，他，他想用这类指标来帮助诊断这时就可以用贝叶斯公式来计算有想用这类指标来帮助诊断这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率首先必须确定先验概率关概率首先必须确定先验概率P(BP(Bi i) )，这实际上是确定人患各，这实际上是确定人患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次是要确定次是要确定P(A∣BP(A∣Bi i) )，这里当然主要依靠医学知识。
有了它们，，这里当然主要依靠医学知识有了它们，利用贝叶斯公式就可算出利用贝叶斯公式就可算出P(BP(Bi i∣A)∣A)，显然，对应于较大，显然，对应于较大P(BP(Bi i∣A)∣A)的的“病因病因”B Bi i，应多加考虑在实际工作中，检查的指，应多加考虑在实际工作中，检查的指标标A A一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价助在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的 •先验概率和后验概率两者间有什么关系？先验概率和后验概率两者间有什么关系？ 先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式式 中的中的P(BP(Bi i) )，它往往作为，它往往作为“由因由因求求果果”问题中的问题中的“因因”出现后验概率是指在得到出现后验概率是指在得到“结果结果”的信的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式息后重新修正的概率，如贝叶斯公式P(BP(Bi i∣A)∣A)＝＝P(A∣BP(A∣Bi i)P(B)P(Bi i)/P(A))/P(A)中的中的P(BP(Bi i∣A)∣A)，是，是“执果寻因执果寻因”问题中的问题中的“因因”。
先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础如求要以先验概率为基础如求P(BP(Bi i∣A)∣A)要先求要先求P(A)P(A)，一定要知道，一定要知道P(A∣BP(A∣Bi i) ) 解解 设设A A表示表示“取到的是一只次品取到的是一只次品”，，B Bi i(i(i＝＝l l，，2 2，，3)3)表示表示“所所取到的产品是由第取到的产品是由第i i家工厂提供的家工厂提供的”易知，B Bl l，，B B2 2，，B B3 3是是样本空间样本空间S S的一个划分，且有的一个划分，且有P(BP(B1 1)=0.15)=0.15，，P(BP(B2 2)=0.80)=0.80，，P(BP(B3 3) )＝＝0.050.05，，P(A∣BP(A∣B1 1)=0.02)=0.02，，P(A∣BP(A∣B2 2)=0.01)=0.01，，P(A∣BP(A∣B3 3)=0.03)=0.03例例 某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的根据以往的记录有以下的数据：根据以往的记录有以下的数据： 元件制造厂元件制造厂 次品率次品率 提供元件的份额提供元件的份额 1 0.02 0.151 0.02 0.15 2 0.01 0.80 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。
标志1)(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)(2)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少试求这些概率率分别是多少试求这些概率 ⑴ ⑴由全概率公式由全概率公式 P(A)= P(A∣BP(A)= P(A∣B1 1)P(B)P(B1 1)+P(A∣B)+P(A∣B2 2)P(B)P(B2 2)+P(A∣B)+P(A∣B3 3)P(B)P(B3 3) ) =0.0125 =0.0125 ⑵ ⑵由贝叶斯公式由贝叶斯公式 以上结果表明，这只次品来自第以上结果表明，这只次品来自第2 2家工厂的可能性最大家工厂的可能性最大 例例 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以果：若以A A表示事件表示事件“试验反应为阳性试验反应为阳性”，以，以C C表示事件表示事件“被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症”，则有，则有P(A∣C)P(A∣C)＝＝0.950.95，，P( ∣ )P( ∣ )＝＝0.950.95。
现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为的概率为0.0050.005，即，即P(C)P(C)＝＝0.0050.005，试求，试求P(C∣A)P(C∣A)解解 已知已知P(A∣C)P(A∣C)＝＝0.950.95，，P(C)P(C)＝＝0.0050.005，，P( )P( )＝＝0.9950.995，由贝叶斯公式，由贝叶斯公式 本题的结果表明，虽然本题的结果表明，虽然P(A∣C)P(A∣C)＝＝0.950.95，，P( ∣ )P( ∣ )＝＝0.950.95，，这两个概率都比较高但若将此试验用于普查，则有这两个概率都比较高但若将此试验用于普查，则有P(C∣A)P(C∣A)＝＝0.0870.087，亦即其正确性只有，亦即其正确性只有8.7(8.7(平均平均10001000个具有阳个具有阳性反应的人中大约只有性反应的人中大约只有8787人确患有癌症人确患有癌症) )如果不注意到这如果不注意到这一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将一点，将会得出错误的诊断，这也说明，若将P(A∣C)P(A∣C)和和P(C∣A)P(C∣A)混淆了会造成不良的后果。
混淆了会造成不良的后果 例例 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为合格率为9898％，而当机器发生某种故障时，其合格率为％，而当机器发生某种故障时，其合格率为5555％每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为％每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为9595％试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少好的概率是多少? ?解解 设设A为事件为事件“产品合格产品合格”，，B为事件为事件“机器调整良好机器调整良好”已知知P(A∣ ∣B)＝＝0.98，，P(A∣ ∣ )＝＝0.55，，P(B)＝＝0.95，， P( )＝＝0.05，所需求的概率为，所需求的概率为P(B∣ ∣A)由贝叶斯公式由贝叶斯公式 这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为器调整良好的概率为0.970.97这里，概率这里，概率0.950.95是由以往的数是由以往的数据分析得到的，是先验概率。
而在得到信息据分析得到的，是先验概率而在得到信息( (即生产出的第即生产出的第一件产品是合格品一件产品是合格品) )之后再重新加以修正的概率之后再重新加以修正的概率( (即即0.97)0.97)是是后验概率有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步后验概率有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解 •考虑古典概型的一个例子考虑古典概型的一个例子例例 一袋中装有一袋中装有a a只黑球和只黑球和b b只白球，采用有放回摸球，求：只白球，采用有放回摸球，求： (1)(1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；概率； (2)(2)第二次摸出黑球的概率第二次摸出黑球的概率解解 以事件以事件A A表示第一次摸得黑球，事件表示第一次摸得黑球，事件B B表示第二次摸得黑球，表示第二次摸得黑球，则则所以所以而而注意这里的注意这里的 •考虑古典概型的一个例子考虑古典概型的一个例子在前例中，若采用不放回摸球，试求同样那两个事件的概率在前例中，若采用不放回摸球，试求同样那两个事件的概率解解 这时这时所以所以而而注意这里的注意这里的 •事件独立性的定义事件独立性的定义 设设A,BA,B是两个事件，如果满足等式是两个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B)，， 则称事件则称事件A,BA,B相互独立，简称相互独立，简称A,BA,B独立。
独立§1.4 事件的独立性事件的独立性 •定理定理1 1及其证明及其证明 设设A,BA,B是两个事件，且是两个事件，且P(A)>0P(A)>0，若，若A,BA,B相互独立，则相互独立，则反之亦然反之亦然证证 由条件概率的定义得由条件概率的定义得 •定理定理2 2及其证明及其证明 若事件若事件A A与与B B相互独立，则下列各对事件也相互独立相互独立，则下列各对事件也相互独立证证 由于由于 3 3个事件独立性的定义个事件独立性的定义 设设A,B,CA,B,C是三个事件，如果满足等式是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件则称事件A,B,CA,B,C相互独立。
相互独立 [ [思考思考] ] 三个事件三个事件A,B,CA,B,C两两独立，能否保证他们相互独立两两独立，能否保证他们相互独立呢？即能否由呢？即能否由 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 推出推出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) .P(ABC)=P(A)P(B)P(C) .答：不能这从下面的例子可以看出答：不能这从下面的例子可以看出 例例 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种颜色现在我们以颜色现在我们以A A，，B B，，C C分别记投一次四面体出现红，白，分别记投一次四面体出现红，白，黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此 P(A)=1/2P(A)=1/2 同理同理P(B)=P(C)=1/2P(B)=P(C)=1/2，容易算出，容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以所以A,B,CA,B,C两两独立，但是两两独立，但是 P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C)P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C) [ [思考思考] ] 能否由能否由 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 推出推出 P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C). P(AC)=P(A)P(C).答：不能。
这从下面的例子可以看出答：不能这从下面的例子可以看出 例例 若有一个均匀正八面体，其第若有一个均匀正八面体，其第1 1，，2 2，，3 3，，4 4面染红色，第面染红色，第1,21,2，，3,53,5面染白色，第面染白色，第1 1，，6 6，，7 7，，8 8面染上黑色，现在以面染上黑色，现在以A,B,CA,B,C分别表示投一次正八面体出现红，白，黑的事件，则分别表示投一次正八面体出现红，白，黑的事件，则 解：解： P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C) 但是但是 P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B) •n n个事件独立性的定义及其推论个事件独立性的定义及其推论 一般，设一般，设A A1 1,A,A2 2, , …A An n是是n(n≥2)n(n≥2)个事件，如果对于其中任个事件，如果对于其中任意意2 2个，任意个，任意3 3个，个，…，任意，任意n n个事件的积事件的概率，都等于个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件相互独立。
各事件概率之积，则称事件相互独立 由定义，可以得到以下两点推论由定义，可以得到以下两点推论 ⑴ ⑴若事件若事件A A1 1,A,A2 2, , …A An n(n≥2)(n≥2)相互独立，则其中任意相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的个事件也是相互独立的 ⑵ ⑵若若n n个事件个事件(n≥2)(n≥2)相互独立，则将相互独立，则将A A1 1,A,A2 2, , …A An n任意多个任意多个事件换成它们的对立事件，所得的事件换成它们的对立事件，所得的n n个事件仍相互独立个事件仍相互独立 推论推论1 1，可由独立性的定义直接推出；推论，可由独立性的定义直接推出；推论2 2，对于，对于n=2n=2的的情形已证得，一般情况可由数学归纳法证得情形已证得，一般情况可由数学归纳法证得 •事件独立性的应用事件独立性的应用 在实际应用中，事件的独立性往往不是由定义，而在实际应用中，事件的独立性往往不是由定义，而是由是由问题的实际意义问题的实际意义来判断如来判断如A,BA,B分别表示甲、乙两分别表示甲、乙两人患感冒，如果甲乙两人的活动范围相距甚远，就认人患感冒，如果甲乙两人的活动范围相距甚远，就认为为A,BA,B相互独立；如果甲乙两人同是住在一个房间里的，相互独立；如果甲乙两人同是住在一个房间里的，那就不能认为那就不能认为A,BA,B相互独立了。
事件的独立性对于计算相互独立了事件的独立性对于计算事件的概率有很重大的作用，特别是复杂事件的概率事件的概率有很重大的作用，特别是复杂事件的概率在满足事件相互独立这一条件时，计算起来会十分简在满足事件相互独立这一条件时，计算起来会十分简便 两事件两事件A,BA,B独立与两事件独立与两事件A,BA,B互斥有什么关系？互斥有什么关系？ 这两个概念并无必然的联系两事件这两个概念并无必然的联系两事件A,BA,B独立，则独立，则A,BA,B中任中任一个事件的发生与另一个事件的发生无关；而两事件互斥，则一个事件的发生与另一个事件的发生无关；而两事件互斥，则其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，所以说，其中任一个事件的发生必然导致另一个事件不发生，所以说，两事件的发生是有影响的两事件的发生是有影响的 可以用图形作一直观解释左图中可以用图形作一直观解释左图中A A是左上半个正方形，是左上半个正方形，B B是右上半个正方形，是右上半个正方形，P(A)=P(B)=1P(A)=P(B)=1／／2 2，，P(AB)P(AB)＝＝1 1／／4 4，表示样，表示样本空间中两独立事件间关系。
右图中，左下半个正方形是本空间中两独立事件间关系右图中，左下半个正方形是A A，，右上半个正方形是右上半个正方形是B B，，P(A)=P(B)=1P(A)=P(B)=1／／2,P(AB)=0,2,P(AB)=0,表示样本空间表示样本空间中两互斥事件间关系中两互斥事件间关系ABABB BA A 例例 一个元件一个元件( (或系统或系统) )能正常工作的概率称为元件能正常工作的概率称为元件( (或系统或系统) )的的可靠性如图，设有可靠性如图，设有4 4个独立工作的元件个独立工作的元件1 1，，2 2，，3 3，，4 4按先串按先串联再并联的方式联接联再并联的方式联接( (称为串并联系统称为串并联系统) )设第i i个元件的可个元件的可靠性为靠性为p pi i(i(i＝＝1 1，，2 2，，3 3，，4)4)，试求系统的可靠性试求系统的可靠性解解 以以A Ai i(i(i＝＝l l，，2 2，，3 3，，4)4)表示事件第表示事件第i i个元件正常工作，个元件正常工作，以以A A表示事件系统正常工作表示事件系统正常工作 系统由两条线路系统由两条线路I I和和ⅡⅡ组成组成( (如图如图) )。
当且仅当至少有一当且仅当至少有一条线路中的两个元件均正常工作时这一系统正常工作，故条线路中的两个元件均正常工作时这一系统正常工作，故有有 A=AA=A1 1A A2 2 A A3 3A A4 41 14 43 32 2 由事件的独立性，得系统的可靠性：由事件的独立性，得系统的可靠性： P(A)=P(AP(A)=P(A1 1A A2 2)+P(A)+P(A3 3A A4 4)-P()-P(A A1 1A A2 2A A3 3A A4 4) ) =P( =P(A A1 1)P()P(A A2 2)+P(A)+P(A3 3)P(A)P(A4 4)-P()-P(A A1 1)P()P(A A2 2)P(A)P(A3 3)P(A)P(A4 4) ) =p =p1 1p p2 2+p+p3 3p p4 4-p-p1 1p p2 2p p3 3p p4 4P25 P25 例题例题1.22, 1.231.22, 1.23 例例 要验收一批要验收一批(100(100件件) )乐器验收方案如下：自该批乐器中乐器。
验收方案如下：自该批乐器中随机地取随机地取3 3件测试件测试( (设设3 3件乐器的测试是相互独立的件乐器的测试是相互独立的) )，如果，如果3 3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色被拒绝接收设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为不纯的概率为0.950.95；而一件音色纯的乐器经测试被误认为；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为不纯的概率为0.010.01如果已知这如果已知这100100件乐器中恰有件乐器中恰有4 4件是音件是音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少? ?解解 设以设以H Hi i(i(i＝＝0 0，，1 1，，2 2，，3)3)表示事件表示事件“随机地取出随机地取出3 3件乐器，件乐器，其中恰有其中恰有i i件音色不纯件音色不纯”，，H H0 0，，H H1 1，，H H2 2，，H H3 3是是S S的一个划分，的一个划分，以以A A表示事件表示事件“这批乐器被接收这批乐器被接收”已知一件音色纯的乐器，。
已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为0.990.99，而一件音色不纯的乐，而一件音色不纯的乐器，经测试被误认为音色纯的概率为器，经测试被误认为音色纯的概率为0.050.05，并且，并且3 3件乐器的件乐器的测试是相互独立的，于是有测试是相互独立的，于是有 一般地，把只有两个结果一般地，把只有两个结果A A发生或发生或A A不发生的随机试不发生的随机试验，称为验，称为伯努利试验伯努利试验把伯努利试验在相同的条件把伯努利试验在相同的条件下重复进行下重复进行n n次，且每次试验相互独立，即在每次试次，且每次试验相互独立，即在每次试验中事件验中事件A A发生的概率都是发生的概率都是p(0 应用，是研究最多的模型之一 例：一批产品的废品率为例：一批产品的废品率为p,(0 问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利设各局胜负相互独立胜制有利设各局胜负相互独立. .一分胜负即结束一分胜负即结束解解 采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：采用三局二胜制，甲最终获胜，其胜局的情况是：“甲甲甲甲”或或“乙甲甲乙甲甲”或或“甲乙甲甲乙甲”而这三种结局互不相而这三种结局互不相容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为容，于是由独立性得甲最终获胜的概率为 采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛采用五局三胜制，甲最终获胜，至少需比赛3 3局局( (可能可能赛赛3 3局，也可能赛局，也可能赛4 4局或局或5 5局局) )，且最后一局必需是甲胜，而，且最后一局必需是甲胜，而前面甲需胜二局例如，共赛前面甲需胜二局例如，共赛4 4局，则甲的胜局情况是：局，则甲的胜局情况是：“甲乙甲甲甲乙甲甲”，，“乙甲甲甲乙甲甲甲”，，“甲甲乙甲甲甲乙甲”，且这三种结，且这三种结局互不相容由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概局互不相容由独立性得在五局三胜制下甲最终获胜的概率为率为 当当p>1/2p>1/2时时p p2 2>p>p1 1；当；当p p＝＝1/21/2时时p p2 2＝＝p p1 1＝＝1/21/2。 故当故当p>1/2p>1/2时，对甲来说采用五局三胜制为有利当时，对甲来说采用五局三胜制为有利当p p＝＝1/21/2时两种赛时两种赛制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是制甲、乙最终获胜的概率是相同的，都是50﹪50﹪ 例例 某药物对某病的治愈率为某药物对某病的治愈率为0.80.8，求，求1010位服药的位服药的病人中至少有病人中至少有6 6人治愈的概率人治愈的概率解：解：设设A A表示至少有表示至少有6 6人治愈＝＝P P1010(6)+P(6)+P1010(7)+P(7)+P1010(8)+P(8)+P1010(9)+P(9)+P1010(10)(10)而正好有而正好有8 8人治愈的概率为人治愈的概率为=0.302=0.302 例例 在四次独立试验中，在四次独立试验中，A A至少出现一次的概率至少出现一次的概率为为0.590.59，求，求A A至多出现一次的概率至多出现一次的概率解：解：设在一次试验中设在一次试验中A A出现的概率为出现的概率为p p则则A A至少出现一次的概率为至少出现一次的概率为故故(1-p)(1-p)4 4=0.41=0.411-p=0.81-p=0.8p=0.2p=0.2A A至多出现一次的概率为：至多出现一次的概率为：P P4 4(0)+P(0)+P4 4(1)(1)=0.82=0.82 例例 ( (分赌注问题分赌注问题) )甲、乙各下注甲、乙各下注a a元，以猜硬币方式元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。 若甲赢得第赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法一：解法一：应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注应按照比赛双方最终获胜的可能性分赌注即在余下的四局中甲赢得即在余下的四局中甲赢得2 2局以上即可局以上即可甲最终获胜的概率为甲最终获胜的概率为P P4 4(2)+P(2)+P4 4(3)+P(3)+P4 4(4)(4) 解法二：解法二：一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止一般情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为甲方在第三局结束赌博获得胜利的概率为甲方在第四局结束赌博获胜的概率为甲方在第四局结束赌博获胜的概率为甲方在第五局结束赌博获胜的概率为甲方在第五局结束赌博获胜的概率为故甲方最终获胜的概率为故甲方最终获胜的概率为P(BP(B3 3+B+B4 4+B+B5 5) ) =P(B=P(B3 3)+P(B)+P(B4 4)+P(B)+P(B5 5) )赌注应按赌注应按1111：：5 5的比例分配的比例分配 本章中介绍了一类新的现象 本章中介绍了一类新的现象——随机现象，这是一种普遍随机现象，这是一种普遍存在的现象。 在大量随机现象中存在着统计规律性，概率论便存在的现象在大量随机现象中存在着统计规律性，概率论便是研究随机现象的数量规律的一门数学学科是研究随机现象的数量规律的一门数学学科 “事件事件”与与“概率概率”是概率论中最基本的两个概念，我们是概率论中最基本的两个概念，我们在公理化结构下严格地定义了概率的概念在公理化结构下严格地定义了概率的概念 为了能清楚地理解事件与概率的直观含义，我们采用由为了能清楚地理解事件与概率的直观含义，我们采用由具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式分别介绍了具体到抽象，由简单到复杂，由特殊到一般的方式分别介绍了频率、古典概型、几何概率，并从中归纳出事件与概率的本质频率、古典概型、几何概率，并从中归纳出事件与概率的本质特征，为公理化定义作准备，最后给出了概率的公理化定义，特征，为公理化定义作准备，最后给出了概率的公理化定义，这种讲法基本上与概率概念的历史发展平行这种讲法基本上与概率概念的历史发展平行 事件的运算及概率的性质是本章的基本内容，也是学习以事件的运算及概率的性质是本章的基本内容，也是学习以后的必要基础，务必牢固掌握。 后的必要基础，务必牢固掌握• 本章小结本章小结 概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质，并未对概率的定义只给出概率必须满足的三条基本性质，并未对事件事件A A的概率的概率P(A)P(A)给定一个具体的数只在古典概型的情况，对给定一个具体的数只在古典概型的情况，对于每个事件于每个事件A A给出了概率给出了概率P(A)P(A)＝＝k k／／n n一般，我们可以进行大数一般，我们可以进行大数量的重复试验，得到事件量的重复试验，得到事件A A的频率，而以频率作为的频率，而以频率作为P(A)P(A)的近似值的近似值 在古典概型中，我们证明了条件概率的公式：在古典概型中，我们证明了条件概率的公式： 在一般的情况，在一般的情况，(1.1)(1.1)式则作为条件概率的定义。 固定式则作为条件概率的定义固定A A，条件，条件概率概率P(﹡∣A)P(﹡∣A)具有概率定义中的三个基本性质，因而条件概率具有概率定义中的三个基本性质，因而条件概率是一种概率是一种概率 有两种计算条件概率有两种计算条件概率P(B∣A)P(B∣A)的方法：的方法：(1)(1)按条件概率的含按条件概率的含义，直接求出义，直接求出P(B∣A)P(B∣A)注意到，在求注意到，在求P(B∣A)P(B∣A)时已知时已知A A已发生，已发生，样本空间样本空间S S中所有不属于中所有不属于A A的样本点都被排除，原有的样本空间的样本点都被排除，原有的样本空间S S缩减成为缩减成为S SA A＝＝A A在缩减了的样本空间在缩减了的样本空间S SA A＝＝A A中计算事件中计算事件B B的概率的概率就得到就得到P(B∣A)P(B∣A)2)(2)在在S S中计算中计算P(AB)P(AB)及及P(A)P(A)，再按，再按(1.1)(1.1)式求得式求得P(B∣A)P(B∣A) 将将(1.1)(1.1)式写成式写成 P(AB)P(AB)＝＝P(B∣A)P(A)P(B∣A)P(A)，， P(A)>0P(A)>0．． (1.2)(1.2)这就是乘法公式。 我们常按上述第一种方法求出条件概率，从这就是乘法公式我们常按上述第一种方法求出条件概率，从而按而按(1.2)(1.2)式可求得式可求得P(AB)P(AB) 事件的独立性是概率论中的一个非常重要的概念，概率论事件的独立性是概率论中的一个非常重要的概念，概率论与数理统计中的很多很多内容都是在独立的前提下讨论的应与数理统计中的很多很多内容都是在独立的前提下讨论的应该注意到，在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是该注意到，在实际应用中，对于事件的独立性，我们往往不是根据定义来判断而是根据实际意义来加以判断的根据实际背根据定义来判断而是根据实际意义来加以判断的根据实际背景判断事件的独立性，往往并不困难景判断事件的独立性，往往并不困难 n P6 T3 P6 T3n P16 T8 P16 T8，，T10T10n P22 T4 P22 T4，，T7T7n P29 T4 P29 T4，，T6T6n P30 T2 P30 T2，，T9T9，，T11T11• 作业作业 。
