安徽省零点明光中11月高中数学函数的优质课大赛课件.ppt

在在2010年第六期《科学》杂志中有一篇年第六期《科学》杂志中有一篇为纪念华罗庚诞辰为纪念华罗庚诞辰100周年的文章周年的文章——一元五次方程求解的往事一元五次方程求解的往事 ，该文章中介，该文章中介绍了早在绍了早在16世纪，数学家就已经解决了世纪，数学家就已经解决了一次，二次，三次和四次方程的一般性一次，二次，三次和四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了，直到的发展停滞了，直到19世纪挪威年轻数世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解方程没有根式解 这就是方程求解的发这就是方程求解的发展史问题问题·探探究究我的根是我的根是0.5我的根是我的根是3和和-1我的根有点难度，我的根有点难度，等你们学完这节你等你们学完这节你们就会了！！！们就会了！！！上述一元二次方程的实数根上述一元二次方程的实数根二次函数图象与二次函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标 方程方程x2－－2x+1=0x2－－2x+3=0y= x2－－2x－－3y= x2－－2x+1函数函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=－－1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根函数的图象函数的图象与与x轴的交点轴的交点(－－1,0)、、(3,0)(1,0)无交点无交点x2－－2x－－3=0xy0－－132112543yx0－－12112y= x2－－2x+3xy0－－132112－－1－－2－－3－－4问题问题2：：求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图像的简图，并写出函数图像的简图，并写出函数的图象与函数的图象与x轴的交点坐标轴的交点坐标.问题问题3:从该表你可以得出什么结论？从该表你可以得出什么结论？问题问题4：： 若将上面特殊的一元二次方程若将上面特殊的一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)推广到一般的一元二推广到一般的一元二次方程及相应二次函数次方程及相应二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与的图象与x轴交点的关系，上述结论是轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？（我们以否仍然成立？（我们以a>0为例）为例）判别式判别式△△ =b2－－4ac△△＞＞0△△=0△△＜＜0函数函数y= ax2 +bx+c(a>0)的图象的图象xyx1x20xy0x1xy0函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点(x1,0) , (x2,0)(x1,0)没有交点没有交点方程方程ax2 +bx+c=0(a>0)的根的根两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1 、、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1 = x2没有实数根没有实数根结论：一元二次方程的实数根就是相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．问题问题5:其他函数与方程之间也有同样其他函数与方程之间也有同样结论吗？结论吗？方程f(x)=0的实数根函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标0xyx1x2x3x4Y=f(x)一一.函数零点的定义：函数零点的定义：例例1：：函数函数f(x)=x(x2－－4)的零点为的零点为（（ ））A．．(0，，0)，，(2，，0) B．．0，，2 C．．(–2，，0)，，(0，，0)，，(2，，0) D．．–2，，0，，2函数的零点是实数，而不是点。

函数的零点是实数，而不是点温馨温馨温馨温馨提示提示提示提示1 1求函数的零点就是求函数所对应方程的根求函数的零点就是求函数所对应方程的根 对于函数对于函数y＝＝f(x)，把使，把使 f(x)＝＝0的实数的实数x叫做函数叫做函数y＝＝f(x)的零点．的零点．D温馨温馨温馨温馨提示提示提示提示2 2思考思考1：：知道了问题知道了问题4后，大家来想想求函数的零点有后，大家来想想求函数的零点有哪几种方法哪几种方法 ？？？？ 2、、区别：区别：1、、联系：联系：①①数值上相等数值上相等②②存在性相同：存在性相同：函数函数y=f(x)有零点有零点 方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点零点对于函数而言，根对于方程而言．零点对于函数而言，根对于方程而言．问题问题6:函数函数y=f(x)的零点与方程的零点与方程f(x)=0的根有什么联系的根有什么联系 和区别？和区别？ 代数法代数法图像法图像法牛刀小试牛刀小试我的零点是我的零点是-1和和3我的零点我的零点是是10不好意思，我没有不好意思，我没有零点，你答对了吗零点，你答对了吗？？问题问题7:在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数y＝＝f(x)在区间在区间[a,b]上存上存在零点？在零点？ 观观察二次函数察二次函数f(x)＝＝x2－－2x－－3的的图图象：象：在区在区间间[-2，，1]上有零点上有零点______；；f(-2)=_______，，f(1)=_______，，f(-2)·f(1)_____0（（“＜＜”或或“＞＞”）．）．在区在区间间(2，，4)上有零点上有零点______；；f(2)·f(4)____0（（“＜＜”或或“＞＞”）．）． －－1－－45<3<探究探究: -22-2-41O1 23 4-3-1-1yx二.零点存在性定理的探究：问题问题7:在怎样的条件下，函数在怎样的条件下，函数y＝＝f(x)在区间在区间[a,b]上存上存在零点？在零点？ 观察函数的图象并填空观察函数的图象并填空:①①在区间在区间(a,b)上上f(a)·f(b)_____0(“＜＜”或或“＞＞”)．． 在区间在区间(a,b)上上______(有有/无无)零点；零点；②② 在区间在区间(b,c)上上f(b)·f(c) _____ 0(“＜＜”或或“＞＞”)．． 在区间在区间(b,c)上上______(有有/无无)零点；零点；③③ 在区间在区间(c,d)上上f(c)·f(d) _____ 0(“＜＜”或或”＞＞”)．． 在区间在区间(c,d)上上______(有有/无无)零点；零点；有有<有有<有有

的根函数零点存在性定理：问题问题9：：为什么是开区为什么是开区间（间（a,b）内有零点，）内有零点，而不是闭区间而不是闭区间[a,b]上上有零点？有零点？（（1）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间[a,b]上连续，且上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.（（ ））（（3）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间[a,b]上连续且在区间上连续且在区间(a,b)内存在内存在零点零点.，则，则f(x)必满足必满足f (a) ·f(b) < 0.（（ ））（（2）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间[a,b]上连续，且上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则，则f(x)在区间在区间(a,b)内没有零点内没有零点.（（ ））（（4）已知函数）已知函数y=f (x)在区间在区间[a,b]上连续的单调函数且满足上连续的单调函数且满足 f (a) ·f(b) < 0，则函数，则函数y=f (x)区间区间(a,b)上有且仅有一个上有且仅有一个 零点。

零点 （（ ））例例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例例例3 求函数求函数f(x)=lnx+2x－－ 6的零点的个数的零点的个数.三.函数零点存在性定理的应用：等等等等价价价价于于于于由表可知由表可知f(2)<0，，f(3)>0，从而，从而f(2)·f(3)<0，， ∴∴函数函数f(x)在区间在区间(2,3)内有零点．内有零点．由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+∞)内是增函数，内是增函数，所以它仅有一个零点．所以它仅有一个零点．用计算器或计算机列出用计算器或计算机列出x、、f(x)的对应值表：的对应值表：例例3 求函数求函数f(x)=lnx+2x－－ 6的零点的个数的零点的个数解法解法2x123456789f(x)- -4- -1.31.13.45.67.810.0 12.1 14.2思考思考2：如何说明函数零点的个数？：如何说明函数零点的个数？思考思考3：如何说明函数在：如何说明函数在(0,+∞)内是增函数？内是增函数？解法解法3：：例例3 求函数求函数f(x)=lnx+2x－－ 6的零点的个数。

的零点的个数方程方程lnx+2xlnx+2x－－6=06=0根的个数根的个数方程方程lnx=-2x+6lnx=-2x+6根的个数根的个数函数函数y=lnxy=lnx与与y=-2x+6图像交点的个图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根数，且交点的横坐标就是方程的根函数函数f(x)=lnx+2xf(x)=lnx+2x－－6 6的零点的个数的零点的个数等等等等价价价价于于于于等等等等价价价价于于于于等等等等价价价价于于于于课堂小结课堂小结通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？通过本节课的学习你学到了哪些数学知识？又学到了哪些重要的数学思想？又学到了哪些重要的数学思想？1．函数零点的定义．函数零点的定义2．三个等价关系．三个等价关系3.函数的零点存在性定理函数的零点存在性定理4.两种思想：函数方程思想；数形结合思想．两种思想：函数方程思想；数形结合思想．布置作业：布置作业：2.思考思考题题：方程：方程2-x =x在区在区间间______内有解，如何内有解，如何求出求出这这个解的近似个解的近似值值？？ 请预习请预习下一下一节节．． 1.必做必做题题：：课课本的本的练习练习1，，2谢谢大家大家！。