线性代数I常见计算题型及常用思路.doc

《线性代数》常见计算题型及常用思路仅供参考！！！！计算题题型 1．解线性方程组（必须掌握）最常用方法：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为 ） ，1,tiix然后对自由未知量赋予任意值，即设 ，这儿 为任1,ti itxkxk ,tk意常数把赋予自由未知量的值带入方程组，解除方程组的解（是关于 的一1t些表达式）方法（1）的变形：先用高斯消元法化为阶梯形，从而得出自由未知量（设为） 设 是 的一组基（常取自然基） 然后令1,tiix 1,ttF t，分别解得方程组的解： （这是1(),2tiij  1,tX一个基础解系） 则可知方程组的解为 ，这儿1tXkk为任意常数 （一般解）1,tkCramer 法则注意：Cramer 法则只对系数矩阵可逆的情形适用题型 2．将 用 线性表示（或求坐标）()VF1,()mVF常用思路：待定系数法设 使得 然后根据1,mx 1mxx题设条件得到关于 的一个方程组解方程组1,方法二：利用课本定理 4.10（如果已知在某一组基下的矩阵）题型 3．判断 的线性相关性1,()mVF常用思路：待定系数法。

设 使得 然后根据题1,x 10mxx设条件得到关于 的一个方程组解方程组如果方程组只有零解，则1,m线性相关反之，线性无关1,()mVF题型 4．求 的极大无关组及秩1,()m常用思路：待定系数法设 使得 然后根据题1,mx 10mxx设条件得到关于 的一个方程组用高斯消元法化简方程组，得到自用未知量1,mx不是自用未知量的 所对应的 放到一起，就构成了原向量组的一个极大无关组ii题型 4′．求基与维数常用方法：找到一组有限生成元，转化为题型 4题型 5. 将 扩充为 一组基1,nmF n常用思路：首先确定出 的一个极大无关组，设为1,然后设 ，构建线性方程组1,nt ,nx111(,)0(,)nntxx   （假设 是列向量）,nmF然后解除上面方程组的一个基础解系，设为 （想想为什么一1,nntXF定有 个） 则 就是一组基（想想为什nt11,,,t nt 么线性无关）题型 6．Schmidt 正交化过程题型 7. 两组基的过渡矩阵（转化为题型 2）题型 8. 线性映射（变换）的矩阵方法一：利用定义，转化为题型 2。

方法二：利用课本定理 7.4（如果已知在一组基下的矩阵及过渡矩 阵）题型 9. 求矩阵的秩（可考虑放弃）方法一：基于初等变换不改变矩阵得知，利用初等变换把原矩阵 化为一个容易看出秩的矩阵（一般为阶梯形） 方法二：利用分块矩阵主要基于以下几个公式： 方法三：利用秩的一些性质，主要是： ()()()min{,}()()()0TTmnrABrBArrABrBn方法四：利用 的行/列秩，转化为题型 4 或利用向量组 的秩的一些性质()rA方法五：利用 的行列式秩方法六：利用线性方程组解的结构，主要基于：dim()()nNArA题型 10. 求可逆矩阵的逆矩阵方法一：基于 可逆 的唯一解为 ，利用线Xb1XAb性方程组求解方法二：基于可逆矩阵可写成初等矩阵的乘积，利用初等变换求解，主要是两个公式：前者只能用行变换，后者只能用列变换方法三：利用分块矩阵求解主要基于两个公式：（假设已知可逆）max{(),}(,)()()()()()()()()nrABArBrEnrBBArrrABCC11(,)(,)AE111 1111*t tAAAACBB 注意：主对角线上的子块必为可逆方阵。

方法四：利用伴随矩阵（一定要细心！）题型 11. 求行列式（小心符号！）方法一：利用初等变换或课本 5.1 节的简单性质化为三角阵或其他容易求解的行列式方法二：利用公式 （注意必为同型方阵）方法三：利用按行/|||AB列展开公式，一般得到递推公式方法四：前面三者结合 （最为常用）几个必须知道的结论：（1）三角形行列式=对角线元素乘积（2）0||ABC（3）范德蒙行列式题型 12. 求特征值与特征向量及矩阵对角化（必须掌握）方法：利用特征多项式求特征值，利用求线性方程组的基础解求特征向量最后注意：在写出 以及原矩阵的相似标准形时要注意特征向量与特征值是相互P对应的题型 13. 实对称矩阵的对角化方法：和题型 12 一致，但是要加入 Schmidt 正交化过程及单位要注意的是：千万不要把所有的特征向量放在一起 Schmidt 正交化，一定要分别对每个特征值所对应的特征向量分别正交化，也就是说：如果有 m 个不同特征值，要进行m 次 Schmidt 正交化过程！题型 14. 求二次型/矩阵相合标准形与相合规范形（必须掌握）方法一：配方法方法二：初等变化法 （参考课本例题，此两种方法和中学所用的 一致）方法三：利用题型 12 或 13，基于正交矩阵的逆矩阵和转置一样。