（可编）高等代数知识结构.docx

高等代数知识结构一、高等代数知识结构图工具中心课题线 性 代高等代行列式行列式的计行列式的性质矩阵的秩矩阵 矩矩线性方程阵 的 运阵 的 初 等线性方程组的解法及判线性方程组解的向 量相二 次线 性 流线 性 函若 尔 当线 性 空极 大 线 性 无 关关线 性 相 关 和 线 性 化为标 准型 （配方对 角正定性，合同单线性函对 称 双 线 性J 矩阵典 II-C 定理矩阵的可对角化线性空间的性质与坐 标变 换 与基研 究 范欧 式 空酉 空线 性 变 特 征 值 与 特 征可对角化及不变子欧 式 空 间 的正交化与正交补的正 交 变 换 与 正 交酉 空 间 的复数域上的正交1. 行列式：2na二、高等代数知识结构整内 理最 大 公 因 式互素与同（一）线性代数 ：工具：线性方程组 多项式理因 式 分 解 唯因 式 分解 理重 因复 数多项式根的理 实 数a111 行列式的计算设有 n2 个数，排成 n 行n 列的表理a数21多元 多项 根的判别求法a 12a22判定 an2a1n（爱绅斯， n 阶行ann列 式． 这 个 行 列 式 等 于 所 有 取 自 不韦同达行定 同 列 的 n 个 元 素 的 乘 积 a1j1 a2j2 anjn⑴的代数和，这里 j1 j2 jn 是1，2， ， n 的一个排列 , 每一项⑴都按下列规则带有符号： 当 j 1j 2 jn 是偶排列时 , ⑴带正号； 当 j1 j2 jn 是奇排列时 , ⑴带负号． 即a 11 a 12 a 1na 21 a 22 a 2 n = 1 j1j2 jn a1j1 a2j2j1 j2 jna n1 a n 2 a nn对所有 n级排列求和 .a. 行列式的性质：anjn ， 这里 表示j1 j2 j n性质 1. 行列互换，行列式不变。

性质 2. 一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数 乘此行列式性质 3. 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而 这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样性质 4. 如果行列式中两行相同，那么行列式为零两行相同就是说两行对应 元素都相同 )性质5. 如果行列式中两行成比例那么行列式为零性质6. 把一行的倍数加到另一行，行列式不变性质7. 对换行列式中两行的位置，行列式反号2. 矩阵：a. 矩阵的秩：矩阵 A 中非零行的个数叫做矩阵的秩b. 矩阵的运算定义 同型矩阵：指两个矩阵对应的行数相等、对应的列数相等的矩阵．矩阵相等：设 A ( aij )m n , B ( bij )m n , 若 aij bij ( i 1,2, , m ; j 1,2, , n) , 称A B .线性运算： A ( aij )m n , B (bij ) m na11 b11 a 1n b1n加法： A B (aij bij )m na m1 bm1 amn bmnk a11 k a 1n数乘： kA ( k aij )m n 负矩阵： A ( 1 )A ( aij )m nk am 1 k amna 11 b11 a 1n b1n减法： A B (aij bij )m na m1 bm1 amn bmn矩阵的乘法定义：设 A (aij )m s , B ( bij )s na11 a1s b11 b1n c 11 c 1nAB 其中元素am 1 ams bs1 bsn c m1 cmnb1jcij ai 1 ai 2 ais b2j a i 1 b1 j a i2 b2 j ais bsj ( i 1,2, , m; j 1, 2, , n)bsjA 的列数 = B 的行数。

AB 的行数 = A 的行数；AB 的列数 = B 的列数．A 与 B 的先后次序不能改变．(5) 矩阵的初等变换矩阵的等价变换形式主要有如下几种：1 ）矩阵的 i 行（列）与 j 行（列）的位置互换；2 ）用一个非零常数 k 乘矩阵的第 i 行（列）的每个元；3 ）将矩阵的第 j 行（列）的所有元得 k 倍加到第 i 行（列）的对应元上去3. 线性方程组一般线性方程组 . 这里所指的一般线性方程组形式为(i ) 式中 xii( 1, 2, K , n) 代表未知量， aij (1i ,2 ,L , s; j 1, 2, L , n) 称为方程组的系数， bj ( j 1, 2,L , n) 称为常数项 .线性方程组 (i ) 称为齐次线性方程组，如果常数项全为零，即 b1b 2 L bs 0 .令Adet A2naa11 a12a21 a22M Mas1 as2则 (i ) 可用矩阵乘法表示为AX B，a. 线性方程组的解法LLMLa x1 b1， X , B ，a1n2n x2 b2M M Masn xn bsA,m nCX,nCBmC .1) 消元法在初等代数里， 我们已经学过用代入消元法和加减消元法解简单的二元、 三元线性方程组 . 实际上， 这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性 . 但对于那些高元的线性方程组来说，消元法是比较繁琐的，不易使用 .2) 应用克莱姆法则对于未知个数与方程个数相等的情形，我们有定理 1 如果含有 n 个方程的 n 元线性方程组的系数矩阵的行列式a11 a12 La21 a22 LM M Man1 an2 L那么线性方程组 (ii ) 有唯一解：a1n0，Mann其中 det B j是把矩阵中第 j 列换成线性方程组的常数项 b1 , b2 , L , bn 所成的矩阵的行列式，即此外，还可以叙述为，如果含有 n个未知数、 数矩阵的行列式 det A 0 ，则线性方程组 Ax广义逆矩阵 A 法n个方程的线性方程组 Ax b 的系b 一定有解，且解是唯一的 .设 A Cm n . 如果存在 G Cn m， 使得 AGA A， 则称 G 为矩阵 A 的一个 {1}-广义逆矩阵，记作 A . 矩阵 A 的{1}- 逆总是存在的，但一般不是惟一的 [12] ，矩阵m nA 的{1}- 逆的全体记为 A{1} .若 A C ， A Cn m为 A 的一个 {1}- 广义逆矩阵， 则对 V , W Cn m 为任意的 n m 矩阵，矩阵 A 的一个 {1}- 广义逆矩阵为G A V A AVAA ,同时还可以表示为G A V (Em AAE) ( n A A)W .广义逆矩阵 A。