周期性与对称性.docx

函数之周期性与对称性的理解函数之周期性与对称性的理解首先请大家辨析一下这几个等式关系：2)2()()62)2()(5)2()()4)2)()30)2()(20)2()(1xfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxfxf）（））以上 6 个等式，其中 1） 、4） 、5）是在讲对称性，2） 、3） 、6）是在讲述周期性 在教学过程中，我们发现很多学生到高三了还无法自如地辨析，其实大家只需记住六字口 诀就能加以辨析： ““同周期、异对称同周期、异对称”” 1）） 、、4）） 、、5）中）中 x 的系数相同，即为周期，的系数相同，即为周期，2）） 、、3）） 、、6）中）中 x 的系数相异，即为对称，这样的系数相异，即为对称，这样 我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称我们就能迅速辨析哪些是在讲周期，哪些是对称 那具体周期为多少？具体关于什么对称呢？这又是大家一个容易混淆的点一、下面先讲对称问题的理解一、下面先讲对称问题的理解，以 1）为例：0)2()(xfxf我们要从本质上理解这个等式：令第一个括号里的，，则满足1xx 22xx，即横坐标的和为 2，那就意味着两个横坐标的中点为。

同样的，令221 xx1x，，则满足，即这两个点的纵坐标和为零，那就意1)(yxf2)2(yxf021 yy味着纵坐标互为相反数那么如果现在我换种方式描述，我说两个点，),(),(2211yxyx与满足，，那 我们就可以在平面直角坐标系中把这两个点的对称关221 xx021 yy系画出来了由图 1 我们可以很直观的看出来这两个点关于（1,0）中心对称，这两个点都 在 y=f(x)上，从而整个函数关于（1,0）中心对称同样的，我们分析 4） ，，在图像上表示对称关系如下：A、B 两点关于2121, 2yyxxx=1 轴对称，那么以后遇到对称性问题，我们只需在脑海里画两个点，这样函数的对称性 就清晰了同理，我们来看一下 6） ，，，在坐标系下表示两个点后，很容易理221 xx221 yy解这个函数关于（1,1）中心对称所以，我们都是表示函数 y=f(x)关于0)97()99(0)2()(xfxfxfxf与（1,0）中心对称，抓住核心本质，，现在大家再回过头来看几个221 xx021 yy常见的对称性结论，是不是觉得清晰多了呢？比如： 函数满足时，函数的图像关于直)(xf()()f xaf bx( )yf x线对称；2abx函数满足时，函数的图像关于点)(xf()()cf xaf bx( )yf x对称；(, )22ab c2、、周期性周期性周期性的证明都是“退一步海阔天空”3）这种类型很直观，周期为 2,2） 、6）属于同一种 类型，都是和定型，周期为 4，具体证明大家自己尝试一下，常见的周期性模型也请大家 自己去总结，这个一般的参考书上都有。

重要的是它的证明，请大家自己多思考3、、周期性与对称性结合周期性与对称性结合真正让周期和对称结合起来的三个结论很重要，在这里加以阐述 1. 如果函数 y=f(x)同时关于（a,0） 、 （b,0）中心对称，那么这个函数的最小正周期为abT 2证明：函数关于（a,0）中心对称，则，同理0)2()(axfxf，两式相减，得，从而0)b2()(xfxf)2()2(bxfaxfabT 2下面请大家自行证明下面两个结论：2. 如果函数 y=f(x)同时关于 x=a、x=b 轴对称，那么这个函数的最小正周期为abT 23. 如果函数 y=f(x)同时关于（a,0）中心对称，x=b 轴对称，那么这个函数的最小正周期为abT 4下面给两个练习让大家熟悉一下：已知定义在上的函数满足，，则（ )R( )f x()( )fxf x (3)( )fxf x(2019)fA． B． C． D．3013定义在R上的奇函数)(xf，对于Rx，都有)43()43(xfxf，且满足2)4(f，mmf3)2(，则实数m的取值范围是 .另外提供一个思考点：对于函数 y=f(x)，如果满足,那么函数 f（x）关于 y 轴对称) 1() 1(xfxf那么现在请问：与函数？两者有什么区别？) 1( xfy关于什么对称呢) 1(xfy。