三角函数图象及应用.doc

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示.xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)这五个点．(　×　)(2)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋)．(　×　)(3)函数y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右移个单位长度得到的．(　√　)(4)函数y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z.(　×　)(5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　√　)(6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)1．(2014·四川)为了得到函数y＝sin(2x＋1)的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行移动1个单位长度答案　A解析　y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin 2(x＋)的图象，即函数y＝sin(2x＋1)的图象．2．(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)A．2，－B．2，－C．4，－D．4，答案　A解析　∵T＝－，∴T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z，又φ∈，∴φ＝－，故选A.3．设函数f(x)＝cos ωx (ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)A. B．3C．6 D．9答案　C解析　由题意可知，nT＝ (n∈N*)，∴n·＝ (n∈N*)，∴ω＝6n (n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号)①f(x)的图象过点(0，)；②f(x)在[，]上是减函数；③f(x)的一个对称中心是(，0)；④将f(x)的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y＝3sin ωx的图象．答案　①③解析　∵周期为π，∴＝π⇒ω＝2，∴f(x)＝3sin(2x＋φ)，f(π)＝3sin(＋φ)，则sin(＋φ)＝1或－1.又φ∈(－，)，＋φ∈(，π)，∴＋φ＝⇒φ＝，∴f(x)＝3sin(2x＋)．①：令x＝0⇒f(x)＝，正确．②：令2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z⇒kπ＋0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的．解　(1)f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2(sin ωx＋cos ωx)＝2sin(ωx＋)，又∵T＝π，∴＝π，即ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋)．∴函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的振幅为2，初相为.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sin X.列表，并描点画出图象：x－X0π2πy＝sin X010－10y＝2sin020－20(3)方法一　把y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象．方法二　将y＝sin x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图象；再将y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin 2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．思维升华　(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．　(1)把函数y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)A．x＝－ B．x＝－C．x＝ D．x＝(2)(2014·辽宁)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)A．在区间[，]上单调递减B．在区间[，]上单调递增C．在区间[－，]上单调递减D．在区间[－，]上单调递增答案　(1)A　(2)B解析　(1)将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，故x＝－是其图象的一条对称轴方程．(2)y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－π)．令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，则y＝3sin(2x－π)的增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确．画出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的简图，如图，可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有单调性，故C，D错误．题型二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2　(1)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．答案　(1)D(2)f(x)＝2sin解析　(1)∵f(x)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，∴T＝＝π，ω＝2.∵f(0)＝2sin φ＝，即sin φ＝(|φ|<)，∴φ＝.(2)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin.思维升华　根据y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A的确定：根据图象的最高点和最低点，即A＝；②k的确定：根据图象的最高点和最低点，即k＝；③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝ (ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)确定φ.　如图为y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y＝Asin(ωx＋φ)的图象向左平移个单位长度后得y＝f(x)，求f(x)的对称轴方程．解　(1)由图象知A＝，以M为第一个零点，N为第二个零点．列方程组　解得∴所求解析式为y＝sin.(2)f(x)＝sin＝sin，令2x－＝＋kπ(k∈Z)，则x＝π＋ (k∈Z)，∴f(x)的对称轴方程为x＝π＋ (k∈Z)．题型三　函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质例3　(2014·重庆改编)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.又因f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，由－≤φ<得k＝0所以φ＝－＝－.综上，ω＝2，φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，当x∈[0，]时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大＝；当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小＝－.思维升华　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得其对称中心．利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)来解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω，A>0,0<φ<)的最大值为2，最小正周期为π，直线x＝是其图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－)－f(x＋)的单调递增区间．解　(1)∵最小正周期为π.∴＝π.即ω＝2.又∵直线x＝是函数图象的一条对称轴，∴2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ＋，k∈Z.又∵φ∈(0，)，∴φ＝.又∵A＝2，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)．(2)g(x)＝f(x－)－f(x＋)＝2sin[2(x－)＋]－2sin[2(x＋)＋]＝2sin 2x－2sin(2x＋)＝2sin(2x－)．由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z可得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z.即函数g(x)的单调递增区间是[kπ－，kπ＋π]，k∈Z.三角函数图象与性质的综合问题典例：(12分)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．(1)求f(x)的最小正周期．(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到。