数值计算方法复习提纲.ppt

－－1－－08:18复习复习－－2－－08:18第一章第一章 绪论及误差估计绪论及误差估计n误差的来源、分类误差的来源、分类（（★★））n误差的估计误差的估计（（★★））v绝对误差、绝对误差限绝对误差、绝对误差限v相对误差、相对误差限相对误差、相对误差限v有效数字有效数字v和、差、积、商的误差和、差、积、商的误差n数值计算（近似计算）的基本原则数值计算（近似计算）的基本原则（（★★））－－3－－08:18第第2章章 非线性方程求根非线性方程求根n非线性方程求根的非线性方程求根的基本步骤基本步骤（（★★））v判断根存在性判断根存在性v有根区间的隔离有根区间的隔离v根的精确化根的精确化n二分法求根二分法求根v基本原理基本原理v误差估计误差估计－－4－－08:18n简单迭代法简单迭代法v迭代原理迭代原理v迭代格式的收敛性判断迭代格式的收敛性判断v收敛速度的度量收敛速度的度量nNewton迭代法迭代法v原理原理v算法步骤算法步骤（（★★））v收敛的阶收敛的阶v手工计算手工计算（（★★））vnewton迭代法的改进迭代法的改进1)重根时的改进重根时的改进2)避免求一阶导数的改进：弦截法避免求一阶导数的改进：弦截法－－5－－08:18第第3章章 线性方程组求解线性方程组求解n线性方程组的求解方法：线性方程组的求解方法： （（★★））v直接法直接法v迭代法迭代法n直接法直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）：（各种方法的适用条件、手工计算）vGuass顺序消元法顺序消元法1)适用条件：适用条件：a)系数矩阵系数矩阵A是严格对角占优的矩阵是严格对角占优的矩阵b)顺序阶主子式为正顺序阶主子式为正2)算法步骤算法步骤（（★★ ★★ ★★ ））－－6－－08:18v列主元列主元Gauss消元法消元法（（★★））1)选主元的必要性选主元的必要性2)算法的改进算法的改进vGauss-Jordan 消元法消元法1)思想、方法思想、方法2)Gauss-Jordan消元法的应用：求消元法的应用：求矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵v三角分解法三角分解法1)Doolittle分解分解（（★★））2)Crout分解分解（（★★））v追赶法追赶法1)适用于：三对角方程组适用于：三对角方程组2)实质：作实质：作Crout分解分解v改进平方根法改进平方根法1)适用条件：对称正定矩阵适用条件：对称正定矩阵2)计算量减半计算量减半－－7－－08:18n迭代法：迭代法：v向量与矩阵的范数：向量与矩阵的范数： （（★★））1)向量范数：向量范数：1-范数、范数、2-范数、范数、∞-范数范数2)矩阵范数（算子范数）：矩阵范数（算子范数）：1-范数、范数、2-范数、范数、∞-范数范数3)矩阵的谱半径：矩阵的谱半径：a)ρ( A) A) ≤||A||b)若矩阵若矩阵 A 对某个算子范数满足对某个算子范数满足 ||A|| < 1，则，则必有必有: I±A可逆、可逆、4)矩阵的条件数：矩阵的条件数： cond(A)=||A||||A-1||－－8－－08:18v迭代法原理及收敛条件：求解迭代法原理及收敛条件：求解 Ax=b （（★★））1)充分条件：充分条件： x=Bx+f，， ||B||<12)充要条件：充要条件： x=Bx+f，，B的谱半径的谱半径   ( B ) <1vJacobi迭代：迭代：1)公式：公式：x=Jx+f（其中：（其中： J=I-D-1A，，f=D-1b））2)收敛的条件：收敛的条件： （（★★））a) 充要充要条件：条件：   ( J ) <1b) 充分充分条件条件：：||J||<1c)Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A （（非迭代矩阵非迭代矩阵 J ）） ：严格对角占：严格对角占优优3)会手工计算会手工计算（（★★））－－9－－08:18vGuass-Seidel迭代法：迭代法：Ax=b1)迭代公式：迭代公式：x=Gx+f ,其中其中 G=(D-L)-1U，，f= =(D-L)-1 b2)收敛性判断：收敛性判断： （（★★））a) 充要充要条件：条件：   ( G ) <1b) 充分充分条件条件：：||G||<1c)方程组方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A（非迭代矩阵）：严格对角（非迭代矩阵）：严格对角占优占优d)方程组方程组Ax=b的系数矩阵的系数矩阵A（非迭代矩阵）：对称正定（非迭代矩阵）：对称正定e)若方程组的若方程组的Jacobi迭代收敛并且迭代收敛并且||J||