小学奥数系列——行程问题习题及详解.doc

行 程 问 题    行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一（计算、数论、几何、行程）具体题型变化多样，形成10多种题型，均有各自相对独特的解题措施现根据四大杯赛的真题预测研究和主流教材将小题型总结如下，但愿各位看过之后予以更加明确的分类 一般行程问题 相遇问题（重点）与相离问题，两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型 追及问题与领先问题，两个问题的共同点是同向而行，一快一慢，有速度差 “火车过桥问题” “流水行船问题” “钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”，基本数量关系如下： 速度×时间=路程 ；路程÷时间=速度 ； 路程÷速度=时间注意总行程的平均速度的算法：平均速度=总路程÷总时间，而不是两个（或几种）速度相加再除以2行程问题波及的变化较多，有的波及一种物体的运动，有的波及两个物体的运动，有的波及多种物体的运动。

波及两个物体运动的，又有“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题和领先问题）和“相背运动”（相离问题）三种状况但归纳起来，不管是“一种物体的运动”还是“两个物体的运动”，不管是“相向运动”、“同向运动”，还是“相背运动”，她们的特点是同样的，具体地说，就是它们反映出来的数量关系是相似的，都可以归纳为：速度×时间=路程（路程÷时间=速度，路程÷速度=时间）在各类行程问题中进一步推演的数量关系都依赖于这一基本思想，在学习时要多注意从“简朴”到“复杂”的推导过程，重在理解，在理解的基本上形成对各类行程问题中所波及到的关系式的记忆和对的应用；此类问题的题型非常多且富于变化，但是“万变不离其宗”，但愿学习者能进一步理解其中涉及的数学思想的本源，从而做到“以不变应万变”！解行程问题时还要注意充足运用图示把题中的“情节”形象地表达出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路相向而行的公式：相遇时间=距离÷速度和相背而行的公式：相背距离=速度和×时间追及问题的公式：速度慢的在前，快的在后追及时间=追及距离÷速度差在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后追及距离=速度差×时间（例如求环形跑道的长度）。

追及距离÷时间=速度差，追及距离÷速度差=时间火车过桥问题”、“流水行船问题”、用行程问题结合图形知识解答的“钟表问题”是几类较特殊的行程问题，在解题时更要注意具体问题具体分析要对的的解答有关"行程问题”的应用题，必须弄清物体运动的具体状况如运动的方向（相向，相背，同向），出发的时间（同步，不同步），出发的地点（同地，不同地），运动的路线（封闭，不封闭），运动的成果（相遇、相距多少、交错而过、追及） 　　两个物体运动时，运动的方向与运动的速度有着很大关系，当两个物体“相向运动”或“相背运动”时，此时的运动速度都是“两个物体运动速度的和”（简称速度和），当两个物体“同向运动”时，此时两个物体的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差”（简称速度差） 当物体运动有外作用力时，速度也会发生变化如人在赛跑时顺风跑和逆风跑；船在河中顺水而下和逆水而上此时人在顺风跑时运动的速度就应当等于人自身运动的速度加上风的速度，人在逆风跑时运动的速度就应当等于人自身的速度减去风的速度；我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现，顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度；同样比较“顺水而下”与“逆流而上”，两个速度之间也相差着两个“水流的速度”。

所谓“逆水行舟，不进则退”就是这个道理1、相遇问题和相离问题：（1）相遇问题：“两物体分别从两地出发，相向而行”，注意核心词“相向”，如果两物体同步出发，相遇时所用时间一定相似，注意对速度和的理解图示: 甲 乙甲从A地出发 乙 从B地出发关系式：相遇时间=总路程÷速度和 总路程=速度和×相遇时间典型例题：<1>两港相距168千米，一艘客轮和一艘货轮同步从两港相对开出，客轮每小时行24千米，货轮每小时行18千米，几小时后两艘轮船相距21千米？<2>甲乙两车同步从东西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇东西两地相距多少千米？<3>A、B两地相距470千米，甲车以每小时46千米，乙车以每小时40千米的速度先后从两地出发，相向而行相遇时甲车行驶了230千米问：乙车比甲车早出发几小时？<4>甲、乙两车的速度比是3：4，两车同步从两地相向而行，在离中点6千米处相遇，求两地相距多少千米？解法（一）：由题意可知，甲乙两车同步开出后，路程比成正比例，总是等于速度比，设两地间路程的一半为X，则=，解比例得X=42，42×2=84千米即为两地间的距离。

6千米解法（二）： 甲 乙 中点从线段图上我们可以看出，相遇时，甲差6千米达到中点，乙已通过了中点6千米，甲和乙的路程差是6千米的两倍，如果将两地间距离成当作3+4=7“份”的话，相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份”则有6×2÷=84千米多人相遇问题：<5>（解决此类问题同步要理解领先问题）甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同步出发，丙和乙相遇后，丙又过了2分钟与甲相遇求：东西两镇相距多少千米<6>（解决此类问题同步要理解与“封闭路程”有关的行程问题）甲乙丙三人沿着湖边散步，同步从湖边的一种地点出发甲按顺时针方向走，乙与丙按逆时针方向走甲第一次遇到乙后1分钟遇到丙，再过3分钟第二次遇到乙已知乙的速度是甲的，湖的周长是600米，求丙的速度多次相遇问题： <6>甲乙两辆汽车同步从A、B两地相对开出，甲每小时行75千米，乙每小时行65千米。

甲、乙两车第一次相遇后继续迈进，分别达到B、A两地后，立即按原路返回，两车从出发到第二次相遇共行了6小时，A、B两地相距多少千米？<7>一种游泳池长90米甲、乙二人分别从游泳池的两端同步出发，游到另一端立即返回照这样往、返游，两人游10分钟，甲每秒游3米，乙每秒游2米，二人会相遇几次？（2）相离问题：“两物体从同一地点出发，相背而行”， 注意对“速度和”的理解，注意时间的因素图示： 甲 出发点 乙 A B关系式：相离距离=速度和×相背而行的时间典型例题，相遇和相离的综合问题举例：A、B两地相距420千米，甲车从A地出发开往B地，每小时行驶72千米，甲车行驶25分钟后，乙车从B地开往A地，每小时行驶28千米两车相距100千米时，甲车共行驶多长时间？（分析多种状况）2、追及问题和领先问题（1）追及问题：“两物体同向而行，一快一慢，慢者先行，快者追之”图示： 慢者先走出一段距离 就是需要追及的距离 在快者追时慢者继续往前走 快者此时此地追起 追到出发点 注意：追上时一共走出的路程不叫追及距离关系式：追及时间=需要追及的距离÷速度差；追及距离=速度差×追及时间速度差=追及距离÷所用时间，近而再根据其她已知条件求出各自速度，从而解决问题。

速度差=速度（快的）-速度（慢的）需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离典型例题：<1>晚饭后，小明和爸爸沿同一条公路去散步，小明走得慢，每分钟走60米，因此她先从家出发5分钟后，爸爸以每分钟80米的速度去追小明，通过多少分钟可以追上？<2> A、B两地相距1800米，若甲乙两人分别从A、B两地同步出发，9分钟会相遇；如果两人同向而行，则甲30分钟可以追到乙，问：甲从A地到B地需要多少小时？<3>甲乙丙三辆车先后从A地开往B地乙比丙晚出发5分钟，出发后45分钟追上丙；甲比乙晚出发15分钟，出发后1小时追上丙甲出发后几小时追上乙？ 解法：设数法解题<4>上午8时8分，小明骑自行车从家里出发8分钟后，爸爸骑摩托车去追她在离家4千米的地方追上了小明，然后爸爸立即回家到家后，爸爸又立即回头去追小明再追上她的时候，离家正好是8千米，这时是几点几分？解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同步间小明走的路线从线段图中我们可以看出爸爸走了3个4千米的时间，小明只走了1个4千米，小明所行路程是爸爸所行路程的，相似时间内，路程与速度成正比，则小明的速度是爸爸速度的。

4千米 4千米 爸爸 小明 家 第一次追上时离家4千米 第二次追上时离家8千米我们再来看第一次爸爸追上小明时的状况，由于小明的速度是爸爸速度的，从爸爸第一次开始追小明到追上小明的这段时间内，爸爸行出4千米，小明行出4千米的（同样是根据相似时间内，路程与速度成正比），小明必须先行出4千米的=，也就是说，小明用8分钟的时间先行出4×=千米小明先用8分钟时间走出4千米的 小 明 爸 爸进而我们求出小明的速度是÷8=千米/分钟，小明8点8分从家里出发，到爸爸二次追上小明时，小明共行8千米，8÷=24分钟，从而求得第二次追上的时间是8点32分。

解题过程： ①4÷（4+8）= ②4×（1-）= （千米） ③÷8=（千米/分钟）④8÷ =24（分钟） ⑤8+24=32（分） 答：这时是8点32分2）领先问题：“两物体同向而行，在同一出发点同步出发，一快一慢，则快者必领先于慢者”图示： 慢 者 快 者 快者领先的距离 两者在同一出发点同步出发 。