微分方程的基本概念.ppt

第一节微分方程的基本概念 第十二章第十二章 二二 、基本概念、基本概念 一、问题的提出一、问题的提出 一、问题的提出一、问题的提出例例1解解例例2解解PQ得得曲线积分曲线积分例例3x解解tyo1.微分方程微分方程:二、基本概念二、基本概念含有未知函数的导数或微分的方程叫含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.未知函数是一元函数的微未知函数是一元函数的微分方程称为分方程称为常微分方程；常微分方程；未知函数是未知函数是多元函数的微分方程称为多元函数的微分方程称为偏微分方程偏微分方程. 常微分方程的一般形式：常微分方程的一般形式：如：如：实质实质: : 联系自变量联系自变量,未知函数以及未知函数未知函数以及未知函数的某些导数的某些导数(或微分或微分)之间的关系式之间的关系式.常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程2. 微分方程的阶微分方程的阶:一阶微分方程一阶微分方程高阶高阶(n≥2)微分方程微分方程显式方程显式方程隐式方程隐式方程微分方程中出现的未知函数微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之的最高阶导数的阶数称之.3. 线性与非线性微分方程线性与非线性微分方程:(关于关于 y 线性线性)(非线性非线性)(关于关于 y 非线性非线性)(关于关于x 线性线性)4. 微分方程的解微分方程的解的的解；解；5. 微分方程的解的分类微分方程的解的分类(1) 通解通解:n 个个相互独立相互独立的任意常数的任意常数c1,通俗地说，通俗地说， 微分方程的微分方程的通解通解中含有任意常数中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这些常数之间没有任阶数相同，这些常数之间没有任何关系何关系.(2) 特解特解: : 不含有任意常数的解不含有任意常数的解.思考思考 通解是否一定包含了此方程的所有解？通解是否一定包含了此方程的所有解？不一定不一定.解的图象解的图象: : 微分方程的积分曲线微分方程的积分曲线. .通解的图象通解的图象: : 积分曲线族积分曲线族. .初始条件初始条件: : 用来确定用来确定n阶微分方程阶微分方程特解的条件：特解的条件：Oxy过定点的积分曲线过定点的积分曲线;一阶一阶:二阶二阶:过定点且在定点过定点且在定点的切线的斜率为的切线的斜率为定值的积分曲线定值的积分曲线.6. 初值问题初值问题:求微分方程满足初始条件的求微分方程满足初始条件的解的问题解的问题.例例8求求以双参数函数族以双参数函数族为通解的微分方程为通解的微分方程(C1, C2为任意常数为任意常数).解解(1) 两个任意常数两个任意常数C1, C2 相互独立相互独立故所求方程必是一个二阶微分方程故所求方程必是一个二阶微分方程由由解得解得代入代入(1)式式, 整理得整理得的初等解法的初等解法: 初等积分法初等积分法.求解微分方程求解微分方程求积分求积分(通解可用初等函数或积分表示出来通解可用初等函数或积分表示出来)在在§2 — §4中中, 将讨论方程将讨论方程微分方程微分方程; 微分方程的阶微分方程的阶; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始条件初始条件;特解特解; 初值问题初值问题; 积分曲线积分曲线.内容小结内容小结。