《理论力学》武清玺第五章_点的运动_习题全解.doc

第五章 点的运动 习题全解[习题5-1] 一点按的规律沿直线动动(其中要计,以计).试求:(1)最初内的位移;(2)改变动动方向的时刻和所在位置;(3)最初内经过的路程;(4)时的速度和加速度;(5)点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动.解:(1)求最初内的位移. (动点的位移为9m,位移的方向为负x方向).(2)求改变动动方向的时刻和所在位置. 改变方向时,动点的速度为零.即: ,亦即:当时,动点改变运动方向.此时动点所在的位置为: (3)求最初内经过的路程. (4)求时的速度和加速度 (5)求动点在哪段时间作加速度,哪段时间作减速运动. 若与同号,则动点作加速运动; 若与异号,则动点作减速运动.即: 同号时有:.即当时,动点作加速动动.异号时有:即当时,动点作减速运动.[习题5-2] 已知图示机构中,,,求出时,点的动动方程和轨迹方程解:设动点的坐标为,则由图中的几何关系可知,运动方程为: 把上式两边分别平方后相加,得到轨迹方程: [习题5-3] 跨过滑轮C的绳子一端挂有重物B,另一端A被人拉着沿水平方向运动,其速度为,A点到地面的距离保持常量.滑轮离地面的高度,其半径忽略不计.当运动开始时,重物在地面上处,绳AC段在铅直位置处.求重物B上升的运动方程和速度方程,以及重物B到达滑轮处所需的时间.解:从图中可知,绳子的原长约为16m.在任一瞬时,绳子的长度为:.即:B点的y坐标,即重物B上升的运动方程为:重物B上升的速度方程为:重物到达滑轮时,所走过的路程为8m,即:当时,,,故:,依题意:,解得:[习题5-4] 偏心轮半径为,转动轴到轮心的偏心距,坐标轴如图所示.求杆AB的运动方程,已知,为常量.解:AB杆作竖向平动.A点的运动代表AB杆的运动.由图中的几何关系可知,A点的坐标,即AB杆的运动方程为:[习题5-5] 半圆形凸轮以匀速沿水平方向向左运动,活塞杆AB长沿铅直方向运动.挡运动开始时,活塞杆A端在凸轮的最高点上.如凸轮的半径,求活塞B的运动方程和速度方程.解:活塞杆AB作竖向平动.以凸轮圆心为坐标原点,铅垂向上方向为轴的正向,则由图中的几何关系可知,任一时刻,B点的坐标,即活塞B的运动方程为: 活塞B的速度方程为:[习题5-6] 已知杆与铅直线夹角(以rad计,以计),小环套在杆OA,CD上,如图所示.铰O至水平杆CD的距离.求小环的速度方程与加速度方程,并求时小环的速度及加速度.解:以OA铅垂时小环的位置为坐标原点,水平向右方向为x轴的正向.任一瞬时, 的坐标,即运动方程为: 小环的速度方程为:小环加速度方程为: [习题5-7] 滑道连杆机构如图所示,曲柄OA长,按规律转动(以rad计,以计),为一常量.求滑道上B点的运动方程,速度方程及加速度方程.解:以O为坐标原点,OB方向为x轴的正向,则B点的坐标,即运动方程为: B点的速度方程为: B点的加速度方程为: [习题5-8] 动点A和B在同一直角坐标系中的运动方程分别为, 其中,以计, 以计.试求:(1)两点的运动轨迹;(2)两点相遇的时刻;(3)两点相遇时刻它们各自的速度;(4)两点相遇时刻它们各自的加速度.解: (1)求两点的运动轨迹 A点的运动轨迹: B点的运动轨迹:(2)求两点相遇的时刻 两点相遇时,它们的坐标相同. , , .即当时,两点相遇.(3)求两点相遇时刻它们各自的速度 , , 两点相遇时,A点的速度为: 大小:.方向:, , 两点相遇时,B点的速度为: 大小:.方向:(4)求两点相遇时刻它们各自的加速度 , 两点相遇时,A点的加速度为:大小:,方向:沿y轴正向., 两点相遇时,B点的加速度为:大小:方向:[习题5-9] 点以匀速率在直管OA内运动,直管OA又按规律绕O转动.当时, 在O点,求其在任一瞬时的速度及加速度的大小.解: ,, 设任一瞬时,点的坐标为,则点的运动方程为:, 速度方程为: 任一瞬时,速度的大小为:加速度方程为: 任一瞬时,速度的大小为:[习题5-10] 一圆板在Oxy平面内运动.已知圆板中心C的运动方程为,(其中以m计, 以计).板上一点M与C的距离,直线段CM与x轴的夹角(以rad计, 以计),试求时M点的速度及加速度.解: 设M点的坐标为M(x,y),则M点的坐标,即运动方程为:速度方程: 时M点的速度为: ()加速度方程:时M点的加速度为:[习题5-11] 一段凹凸不平的路面可近似地用下列正弦曲线表示:,其中x,y均以m计.设有一汽车沿x方向的运动规律为(x以m计,t以s 计).问汽车经过该段路面时,在什么位置加速度的绝对值最大?最大的加速度值是多少?解: 当,即时, 加速度的绝对值最大, .此时汽车的位置在: ,[习题5-12] 一点作平面曲线运动,其速度方程为,,其中以计,t以s计.已知在初瞬时该点在坐标原点,求该点的运动方程和轨迹方程。

解：（１）求运动方程　　　　　　　　　　　　由边界条件，代入上式得：，故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　由边界条件，代入上式得：　　　　　　，故　　　，因此，该动点的运动方程为：　　　；２）求动点的轨迹　　　由得代入得：　　　，这就是动点的轨迹方程[习题5-13] 一动点之加速度在直角坐标轴上的投影为：，已知当时，，，，（长度以计，时间以计），试求其运动方程和轨迹方程解：（１）求运动方程　　　　　　　　　　　　把当时，的边界条件代入上式得：，故　　　　　　　　　　　　　　　把当时，的边界条件代入上式得：，，故　　　　　　　　　　　　　　　把当时，的边界条件代入上式得：，故　　　　　　　　　　　　　　　把当时，的边界条件代入上式得：，故　　　因此，该动点的运动方程为：　　　；２）求动点的轨迹方程　　　由得：……(a) 由得：……(b) (a)+(b)得：　　　　这就是动点的轨迹方程[习题5-14] 定向爆破开山筑坝爆破物从爆处Ａ至散落处Ｂ的运动可以近似地作为抛射运动，设Ａ、Ｂ两处高差为Ｈ，水平距离为Ｌ，初速与水平线夹角为，试推证的大小　应为　证：……(a)　（Ａ点高于Ｂ点，故Ｈ前有个负号）……(b)(a)代入(b)得：故，本题得证。

[习题5-1５] 重力坝溢流段和鼻坎挑流鼻坎与下游水位高差为Ｈ，设挑流角为，水流射出鼻坎的速度为，试求射程Ｌ解：　　，取　 [习题5-16] 喷水枪的仰角，水流以的速度射至倾角为的斜坡上，欲使水流射到斜坡上的速度与斜面垂直，试求水流喷射在斜坡上的高度及水枪放置的位置Ｏ与坡脚Ａ的距离解：　　到达Ｂ点时，　　[习题5-17] 点沿曲线ＡＯＢ动动曲线由ＡＯ、ＯＢ两段圆弧组成，ＡＯ段曲率半径，ＯＢ段曲率半径，取圆弧交接处Ｏ为原点，规定正方向如图所示已知点的运动方程：，以计，以计求：（１）点由至所经过的路程；（２）时的加速度解：（１）求点由至所经过的路程令得；当时，动点改变运动方向点由至所经过的路程点由至所经过的路程点由至所经过的路程（２）求时的加速度[习题5-18]　摇杆滑道机构如题5-1８附图所示，滑块Ｍ同时在固定圆弧槽中和在摇杆的滑道中滑动BC弧的半径为，摇杆OA的转轴在BC弧所在的圆周上摇杆绕O轴以匀角速转动，当运动开始时，摇杆在水平位置试分别用直角坐标法和自然法求滑块的运动方程，并求其速度及加速度 解:(1) 直角坐标法设滑块Ｍ的坐标为，则动点Ｍ的运动方程为：（2）自然坐标法建立如图所示的自然坐标。

Ｍ点的运动方程（即弧坐标）为：２[习题5-19] 某点的运动方程为：，及的单位为，的单位为求它的速度、切向加速度与法向加速度解：（１）求动点的速度（２）求动点的切向加速度（３）求动点的法向加速度　　　[习题5-20] 已知动点的运动方程为：，及的单位为，的单位为求其轨迹及时的速度、加速度并分别求切向加速度、法向加速度与曲率半径解：（１）求动点的轨迹及时的速度、加速度由得：，即该动点的轨迹为抛物线时的速度时的加速度（２）求切向加速度、法向加速度与曲率半径时的切向加速度[习题5-21] 点Ｍ沿给定的抛物线运动（其中均以计）在处时，速度，切向加速度求点在该位置时的加速度解：　　　　把在处时，速度，的边界条件代入以上二式得： [习题5-22] 已知一点的加速度方程为，，当时，，，，求点的运动轨迹，并用简捷的方法求时点所在处轨迹的曲率半径解：（１）求运动轨迹方程把时，代入上式得：故把时，代入上式得：故 (把时，)把时，代入上式得：故动点的运动方程为：，消去得动点的运动轨迹：（抛物线）（２）求曲率半径高等数学法：当时，，故运动学法：切向加速度：法向加速度：曲率半径：当时，，故： [习题5-23] 已知某动点用极坐标表示的运动方程为　。

求时点的速度与加速度的单位为，的单位为，的单位解：　　　　　　　　　　，即时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[习题5-24] 试用极坐标表示法求题５－１８的运动方程以及速度和加速度解：（１）求运动方程　　　　　　　　　（２）求速度，（３）求加速度　[习题5-25] 杆ＯＡ绕Ｏ轴以匀角速转动，带动滑块Ｍ在半径为Ｒ的固定圆弧形槽内滑动已知，，试用极坐标法求时，Ｍ的速度和加速度解：，取：[习题5-26] 杆ＯＡ按规律（以计，以计）绕Ｏ轴逆时针转动，同时套筒Ｍ按规律（以计，以计）沿杆运动当时，Ｍ的速度，切向加速度试确定常数。