第二章纵向流速和横向流速沿弯道宽度和长度的分布(三度流).docx

第二章纵向流速和横向流速沿弯道宽度和长度的分布（三度流）§1.横向流速沿河宽的分布前而讨论了没有考虑制约水流的边璧的影响时，确定宽阔河流弯道处横向流速的各种方 法在这•-节内，我们打算阐明以下两个问题:河宽对横向流速的影响如何？以及横向流速沿 河宽是如何分布的？这时，和从前一样，我们局限于河宽3及曲率半径f都比水深h大很多的 情况A. K阿纳扬（A. K. A.iaiMi,.）解决了流速在有限河宽上的分布问题”这些论文的基本论 述可以灯结如下：以紊流运动方程（1.10）为基础，分析极平顺弯道处水流的二度稳定流，对于 二度流来说，所有对坐标0的导数项都等于0认为,对于平顺弯道，横向流速vr和u,要比纵向 流速出小作者象在前面的所有论证一样（布辛涅斯克和其它学者也这样），忽略了二阶和更高 阶微量的乘积夺箫此外，在大半径『的平顺弯道情况下，作者认为可以忽略含有因子 §的那些项，因为它们与没有包含这个因子的项比较起来是一些微量其次，作者假定紊动粘滞性系数V7沿断面的变化很小因此，"的所有导数项都可以取为零 经过上述简化并略去微量以后,方程组（1.10）的第一个和第三个方程式变为：Vt2 1 3P ,-g + y+苗）；1 3P I ，知,［如,、(2. 1)(2. 1)万云++程（亏+诙）；•为了从这里消去压力项,A・K.阿纳扬求出第一个方程式对z的微分和第二个方程式对「的微 分，然后，经过相应的变换得到：(2.2)。

次J、 z勤，,〃叫如,、_※：）=（每+耘_ _海）根据二度流的连续方程式（1.110,可以推论出，存在着如下式所确定的横向环流的流函 数F：+参 (2.3)把（2.3）式的s和、值代入方程式（2.2）,进行微分，再略去含有多余的因子$的所有项,得：-胡―于冬+ 2蒜式中：,△"=厅+ 2若眼+阳 （2.4）1） 横向水流的强度，在河流的中心部分实际上与河宽无关.2） 横向环流的径向分速，在边壁影响下的衰减发生在靠近边壁的比较窄小的区域内，这 个区域的宽度可以取为等于1〜2倍水深在河流的其余部分，边壁对"，值的影响实际上不存 在根据这个观点，不能认为/I- K.阿纳扬公式（2.12）是正确的.3） 横向环流的垂向分速p.在边壁附近和水流中部的径向分速有着同样的数量级在河流 的其余部分.垂向分速很小正如第三章中将要指出的那样，这些情况已由试验资料所证实.§2.弯道横向环流的衰减与发展 横向环流速度与弯曲角度的关系前面几节研究了弯道发生的二度流，这时，横向水流的流速在所有过水断面内都保持不 弯，且与纵坐标这种水流，正象试验所指出的那样，只能在离开弯道金口段的若干距离 内成立它总是发生在出现环流逐渐增强的河段之后.在河流弯道出口以后的直线河段上，显然发生横向环流的逐渐衰减,并且转为平行射束型 的直线运动b关于横向环流的发展与衰减的问题有极大的实际意义，并且引起了许多学者的注 意新波述波夫［戚，妇利用其《纵向螺旋流〉的假定，解决了横向环流的衰减问题。

尽管假定有 •很大的人为性，作者得到对于横向环流衰减的指数关系，正如我们看到的那样，基本上正确地 反映了实际水流情况•为了求解环流发展的问J®,作者设想，当水流进入弯道时，由于惯性离心 力而出现横向环流，但是这种水流同时在粘滞力作用下开始衰减•由于这两种力的作用，流速 在弯道上的分布成为稳定的.实际上作用于液体上的不仅有离心力，而且还有作者没有考虑的 压力差.机械叠加环流衰减与发展过程,不考虑它们之间的相互作用，也是一种非常粗略的方 法.爪K.阿纳扬［也大致按照相同的方式，求解环流的衰减与发展问题.B・M.马卡维也夫【⑹提出的比较正确的途径，适用于导流系统引起的环流衰减问题与以 前的研究者不同,马卡维也夫从水流运动的基本方程式出发，得到了比较有根•据的计算 •方法.但是，在求解问题的过程中，他取纵向流速队沿垂线不变.在我们看来，是过于抽象的.除 此之外，作者没有专门求解河流弯道的问题 这里是我们得到的解，虽说是与前面提到的B.M马卡维也夫的著作无关,其实是他的观念的发展为了求解问题，我们着手分析方程式（1.22）,当比值业足够小时必穿和”，祟这些项，象t cfr dg小的数量级（；）'一样可以忽略，则方程式（1.22）有形式,. 灯 孙， Vt , I 。

/ 皿、7■•勿_；=_〃’ +云「云）方程式（2. 16）将作为分析横向环流发展与衰减现象的基础我们从后一种情况开始在 .弯道后的顺直河段消失了离心力.因为总流束再也不会弯曲了［严格地说，这种情况是近似的，而且当忽略具有数量级（§）'向水流的惯性力时才是正确的」但是，没有离心力，必然会 引起水而横比降的消失［仍然精确到（y）2］.在这种情况下，如果以横坐标x代替坐标『并以 叭代替坐怵『•,则方程式（2.16）具有如下的形式:(2.169按照其结构，所得到的关系式很象热传导微分方程式.但系数么和在微分方程式中是 变数,在这种情况中，难以应用数学物理中所研究出的求解热传导方程式的积分方法我们首先求方程式（2.160的粗略地近似积分,我们采取在环流衰减过程中，流速u,的断 面是彼此相似的写出，，，的一般表达式：Vr =式中吼为水面处的径向流速分量根据前面所述，函数六杉的形式已与纵坐标X无关• 我们把横向流速队的公式（1. 79）作为今后讨论的基础按照图7,对于表面流速将有(1.790由此，得:(2. 18)我们的假定归结为浊和吼之间的这种关系在环流衰减时也保持着用如表示环流衰减 河段起点的径向流速，用队表示衰减河段任意断面的径向流速。

现在转向（2.160式对于稳定环流河段，这个公式的右边可以根据（1.71）和（1.789来 确定：务S（粉=-,牛［1 + （I + 豪）如 + 彩5 〈2.19） 在环流衰减的河段上，取纵向流速”,和系数盼沿流向始终保持不变，那末，备3霜）的数 值将与吼成比例的变化「因此可写成；3 加, vr, 3 . &、茏3至）=贰,无卜应）d f 如、我（F）=- ... _将由（1.79-）式求得的卜值代入到这里，简化之后得：根据对数定律（1.59）,取纵向流速& = ”,的表达式，把这个表达式代入（2.16）式，简单变换以 后有:Mr但方 口 +（】+诲）如+忍邳T[1 + -^^-(1 + 况於][E(v) —(2. 21)[1 + (1 + )1叫 + 肩见函数图:火形= j- j—［1 + 云*"（1 + 1 叫）］［，1（可） 尸 2（〃）］(2. 22)对于50和fc = 0.5时,示于图23.从图中看到，这个函数与［有着相当好的关系，特别是靠 近底部.但是，为了求得问题的一次近似解，对尸⑴）,在〃=0〜1的距离内取平均值，正是按照 图23取其平均值F5）= 1 .那么，方程式（2.21）取形式：在求其积分时，予先分离变量，得；lnvn = — 2. 0lnvn = — 2. 0. T + "Vn =如果对于起始断面（位于弯道出口处），取 j = 3,则得:V, = VroC c T02 Q3 Q4 05图23函数F(n)图X 2或者:取k^0.5,得更简单的式子V, = Vroe~：L2v^*T （2. 23'） 公式（2.23，）,给出了弯道后直河段横向环流逐. 渐衰减的规律。

•根据公式（2.23，）,容易找到环流由“°到vr 的衰减河段长度：(2. 24), z = 一也%如果假定认为，环流衰减河段的长度终止于环 :流强度仅为原始的1％3 = 0. l^o）的地方,则经过相应的计算以后，得到确定环流衰减河 段长度的简单公式为；(2. 25)上列问禽的解只是粗略近似的比较精确地求原方程式（2.160的积分可以用有限差分的方法池过引进变虽x 和Z =沥，把方程式变为无量纲的形式：（2. 16"）g 1 2 ＜）l）r、少疝=飞布）流速分布采用对数公式（1.59）,而紊动粘滞性系数昕采用公式（1.60）,变换以后得到下面的方程式：tfej・如（1 - 〃）夺］c/rf drj若引入符号s・％ 咨=互，则得到更一般的形式:Ov,云=部（1一〃）却1 + + 如）（26）1-初始的”，图用有限差的形式表示这个二阶微分方程式，将有形式:（2. 26'）△让1 +今后，这个方程式的积分以下面的方式进行，弯道出口的起始断面有已知流速s的图，取 变化间距△『,和长度间距根据初始图可以求得方程式（2.26，）的右部，并计算出由6 = 0断面过渡到z2 = Ax2断面时的流速间距△/,因而求得断面的流速。

图但是，精确的 计算一直到某一常数为止事实上方程式（2.26,）是二阶的，因此，在求它的积分时，应当出现 两个任意常数，其中一个根据初始条件，也就是起始断面的流速图求出第二个常数目前还无 法确定.在这里，我们可以利用横向流量等于零的条件（1.35）,这个条件是在作图的过程中，当 Z轴的左边和右边两部分流速图的面积不相等时，调整相对于该轴所得到的流速图来实现的在求得△立断面的流速图以后，可以积向求断面2Ax,等等图24表示对C = 50的一组流速册的计算结 果图，根据图24的数据，可以作出底部和表面注 速儿沿衰减河段的变化图，如图25所示，利用它 可以进行环流衰减过程的计算在图25中同样画出了按近似公式（2.23）计 算的结果.由图可见，差别不很大，这就证明了利 用近似公式的可能性同样还画出了试验（见第 皿章）的点子这样就求解了弯道后面顺直河段上横向环流 衰减的问题现在我们来讨论进入弯道时横向环 流的发展问题可以证明，这个问题得到前述的结1.01.0图25 流速在弯道后的衰减1-近似解 2-比较精确的解 3-N?l试验4一N97试验 5—N98试验果我们再来讨论方程式（2.16）,对于具有稳定环流的水流来说，具有方程式（1. 70）的形式。

表达式（1.70）减去方程式（2.16）就得到：dvt 3 r — Vr)n勿囱=W[方—dz—]或者,考虑到翠=0,「3（叫0 — Vr）-| 3「 3（SO — Vr）-l(2. 27)M] = W” 一]比较方程式（2. 27）和（2.169,我们看到它们有着完全一样的结构方程式（2. 16,）的n值与方 程式（2.27）的差值叫一叫相对应这个事实有下面的物理意义，当水流在弯道开始段运动时, 横向环流逐渐的发展，近似于稳定的环流同时，在开始河段的已知断面上，稳定环流速度期 和实际环流速度之间的差值，按照同样的规律逐渐减小，也就是按照弯道后面直河段上环流流 速绝对值衰减的规律，逐渐减小方程式（2.160和（2.27）的招同形式证明了这一点这是说, 我们在这里甚至可以利用准备好了的解，其中包括近似公式（2.23）.如果用棺代替此处为 .「由弯道开始处量出的角度，因而如一刀=厂「土¥,并且环流流速在弯道初始河段的增加将用,下式描述：t'r = »»ro[l — e 勺 （2. 28）'用式（2.28）式可以找到最大角度0”在这个角度的情况下，环流的发展实际上已停止和 公式C2.21）相似，可以求得：(2.29)八 2. 3C h0“ =—= 一77 丁利用同样的方法，可以求解有趣的横向环流的叠加问题，假定在进入弯道时就已经存在 着某一环流，为了求出这个已知环流如何逐渐变化和和怎样向该弯道环流的自然状态过渡，可 以重新利用微分。