流体力学第6章流体运动微分方程综述.ppt

6 流体流动微分方程 基本内容： l掌握连续性方程及其推导※ l熟悉Navier-Stokes方程 l了解Euler方程 1 控制体分析控制体分析 最大优点在于对定常流动，当已知控制面 上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和 平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详 细情况，给一些工程问题的求解带来方便 缺点不能得到控制体内各处流动的细节， 而这对深入研究流体运动是非常重要的 这一章中我们将推导微分形式的守恒方程 2 流体流动微分方程包括: l连续性方程 l运动方程 连续性方程是流体质量守恒的数学描述 运动方程是流体动量守恒的数学描述 二者都是基于流场中的点建立的微分方程 3 6.1 连续性方程 z y x ρvz ρvy ρvx 连续性方程反映流动过程遵循质量守恒 现取微元体如图 4 输出微元体的质量流量为： 输入微元体的质量流量： z y x ρvz ρvy ρvx 5 则输出与输入之差为： 微元体内质量变化率为： 6 根据质量守恒原理有： 或 该式即为直角坐标系下的连续性方程。

由于 未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体 7 对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为 不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理密度流动处理 8 在直角坐标系中可表示为 对平面流动 (柱坐标和球坐标下的连续性方程自学) 9 例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向 的速度分量为 试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0 10 解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程 由已知条件得 积分得 vy=y2-y-x 11 根据边界条件x=0时vx=0代入上式得 故有 所以 12 例题：不可压缩流体的速度分布为 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求 A，B，C，D所满足的条件不计重力影响 13 解：由连续方程可知 则有 又由于流动无旋，则有 则有 u=Ax+By, v=Cx+Dy, w=0 14 练习： 有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分 速度为 求其z向的分速度的表达式。

当x=0，z=0时， vz=2y 15 6.2不可压缩粘性流体运动微分方程 在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平 行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法 向应力和切向应力如图所示 16 z y x σxx xy xz σyy yx yz zy σzz zx fx fz fy әxy xy+ әx dx әxz xz+ әx dx әσxx σxx+ әx dx әzy zy+ әz dz әzx zx+ әz dz әσzz σzz+ әz dz dz dy dx әyx yx+ әy dy әyz yz+ әy dy әσyy σyy+ әy dy 17 对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴 方向的运动微分方程为 18 化简后得 同理得 ——以应力表示的运动方程 19 将切应力和法向应力的关系式 代入上式的第一式并整理得： 20 同 理 得 ——不可压缩粘性流体的运动微分方程，也 叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程 21 法国工程师和物理学家特别对力学 理论有很大贡献。

流体力学中的纳维尔.斯 托克斯（Navier-Stokes）方程就用他和斯托克斯 的名字命名的他首次建立了可以于工程实际的 弹性理论的数学表达式1826年，他提出弹性模 量概念纳维尔通常被认为是现代结构分析的奠 基人纳维尔的最大贡献当然还是N-S方程，流 体力学的基本方程 克劳德克劳德. .路易路易. .纳维尔纳维尔 Claude Louis Claude Louis NavierNavier 1785~18361785~1836 22 乔治乔治. .斯托克斯斯托克斯 George Gabriel stokesGeorge Gabriel stokes 1819~19031819~1903 英国力学家、数学家1845年斯托克斯在 《论运动中流体的内摩擦理论和弹性体平衡和 运动的理论》中给出粘性流体运动的基本方程 组，后称纳维-斯托克斯方程，流体力学中最 基本的方程组 斯托克斯在数学方面以场论中关于线积分和面积分之 间的一个转换公式（斯托克斯公式）而闻名 纳维从分子假设出发，将欧拉流体运动方程推广，1821年获得粘 性流体运动方程1845年斯托克斯从连续系统的力学模型和牛顿关于 粘性流体的规律出发，给出粘性流体运动的基本方程组，后称纳维- 斯托克斯方程。

23 N-S方程 理想流体γ=0 理想流体 欧拉运动 微分方程 定常流动 欧拉平衡 微分方程 24 莱昂哈德欧拉 （Leonhard Euler） 1707～1783 瑞士数学家和物理学家他被称为历史上最伟大的 两位数学家之一（另一位是卡尔（另一位是卡尔 弗里德里克弗里德里克 高斯）高斯） 欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的 表达式的人，例如：y = F(x) (函数的定义由莱布尼兹在 1694年给出)他是把微积分应用于物理学的先驱者之 一欧拉在微积分、微分方程、几何、数论、变分学 等领域均做出了巨大贡献 25 ①②③④⑤ 各项意义为：①非定常项； ②对流项； ③单位质量流体的体积力； ④单位质量流体的压力差； ⑤扩散项或粘性力项 N-S方程的矢量形式为 26 由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方 程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题 时可用以应力表示的运动方程 Navier-Stokes方程是不可压流体理论中 最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可 压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流 体力学的主干方程 。

27 6.3基本微分方程组的定解条件 N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解 28 1.初始条件 对非定常流动，要求给定变量初始时刻t=t0 的空间分布 显然，对于定 常流动，不需 要初始条件 29 2.边界条件 所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场 数值不同种类的流动，边界条件也不相同流体流 动分析中最常遇到的三类边界条件如下： （1）固体壁面 粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度 若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温 度连续 30 （2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的 分布通常也是需要知道的，如管流 （3）液体-气体交界面 液体-气体交界面的边界条件主要有两个： 运动学条件，即通过交界面的法向速度应相等 压强平衡条件，即液体的压强必须与大气压和表 面张力相平衡。

31 根据这些初始条件和边界条件，我们可对 基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到 符合实际流动的求解结果 但实际上，只有极少数的问题可求出理论 解，通常采用数值解法 32 例题：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水 平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向 的压强降已知，求: （1）两板固定不动; （2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动； 两板间流体运动的速度分布 流向 y x b 33 解：由于流体水平运动，则有 由于流动是一维的，有vy=vz=0； 由于流动是定常的，有 34 35 所以N-S方程可简化为 由连续方程可得 36 将式(3)代入式(1)得 思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？ 对上式进行两次积分可得 37 下面根据两种情况下的不同边界条件来 确定常数C1，C2 （1）两板固定不动 这时的边界条件为 代入式(5)可得 38 于是得速度分布 (2)上板以匀速U沿x方向运动 这时的边界条件为 39 代入式(5)可得 于是得速度分布 40 。