1 1第六节 数学归纳法 考点一用数学归纳法证明等式 [例1] 用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)．[自主解答] ①当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，左边＝右边，等式成立．②假设n＝k(k≥1)时，等式成立．即＋＋…＋＝，当n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＝＋＝＝＝，所以当n＝k＋1时，命题成立．由①②可得对任意n∈N*，等式成立．【方法规律】 用数学归纳法证明等式的方法(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)由n＝k时命题成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程．求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．所以当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，原等式成立．考点二用数学归纳法证明不等式 [例2] 已知数列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.求证：当n∈N*时，an0，又ak＋1>ak≥0，所以ak＋2＋ak＋1＋1>0，所以ak＋1a2成立．(2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，ak＋10，又ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1，所以ak＋2－ak＋1<0，所以ak＋20且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·>成立．解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．由于b>0且b≠1，所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，故＝b，即＝b，解得r＝－1.(2)证明：由(1)知an＝2n－1，因此bn＝2n(n∈N*)，所证不等式为··…·>.①当n＝1时，左式＝，右式＝，左式>右式，所以结论成立．②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·>，则当n＝k＋1时，··…··>·＝，要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，即证≥，由均值不等式＝≥成立，故≥成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知n∈N*时，不等式··…·>成立．考点三“归纳—猜想—证明”问题 [例3] 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝＋－1，且an>0，n∈N*.(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．[自主解答] (1)当n＝1时，由已知得a1＝＋－1，a＋2a1－2＝0.∴a1＝－1(a1>0)．当n＝2时，由已知得a1＋a2＝＋－1，将a1＝－1代入并整理得a＋2 a2－2＝0.∴a2＝－(a2>0)．同理可得a3＝－.猜想an＝－(n∈N*)．(2)①由(1)知，当n＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立，即ak＝－.由ak＋1＝Sk＋1－Sk＝＋－－，将ak＝－代入上式并整理得a＋2ak＋1－2＝0，解得：ak＋1＝－(an>0)．即当n＝k＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n∈N*，an＝－都成立．【方法规律】 归纳—猜想—证明类问题的解题步骤(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳—猜想—证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性．(2)“归纳—猜想—证明”的基本步骤是“试验—归纳—猜想—证明”．高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题．(20xx·金华模拟)已知数列{an}满足条件：a1≥1，an＋1≥(an＋1)2－1，试比较＋＋＋…＋与1的大小，并说明理由．解：∵函数g(x)＝(x＋1)2－1，在[1，＋∞)上单调递增．于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1，由此猜想：an≥2n－1.下面用数学归纳法证明这个猜想：①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立；②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即ak≥2k－1.当n＝k＋1时，由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调递增知ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1时，结论也成立．由①②知，对任意n∈N*，都有an≥2n－1.即1＋an≥2n，∴≤，∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n<1.————————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————1种方法——寻找递推关系的方法 (1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的．(2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置．(3)在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚．3个注意点——运用数学归纳法应注意的三个问题(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．(3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．。
