极坐标与参数方程例题示范(分题型).docx

极坐标与参数方程例题示范（分题型）极坐标与参数方程是选修内容的必考题型，这里按照课本及高 考考试说明，归纳总结为四类题型极坐标与直角坐标的互化互化原理（三角函数定义）、数形结合1.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x 3 t （t为参数），以为极点，x y 1 t轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为 2 cos 0 .（1）把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）求直线l与曲线C的交点的极坐标（0,02 ）.试题解析：（1）由 2cos 0得 2cos ,两边同乘以，得x2 y2 2x ；（2）由直线l的参数方程为 x 3 t （t为参数），得直线的普通方程为x y 2 0 , y 1 t八x 1 x 25联立曲线C与直线l的方程得，或，化为极坐标为（J2,J）或（2,）.y 1y 04考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程与普通方程的互化^考点： cos x, sin y,2 x2 y2.2.在极坐标系中，设圆 C经过点J3,1 , 圆心是直线sin -当与极轴的交点，求圆 C的极坐标方程.试题解析：法一：J3,一转化为直角坐标为：—62 2直线 sin ―— 的直角坐标方程为： J3x y J3 032它与x轴的交点也就是圆心为 1,010所以r 2所以圆的方程为 x 1 2 y2 1,得x2 y2 2x 0所以，圆的极坐标方程为：2cos, 一，一 一，2法二：因为圆心为直线sin —sin — 与极轴的交点，所以令0,得 1,33即圆心是1,0又圆C经过点 &一 , 圆的半径r13 1 2v/3cos- 1, 6.6圆过原点， 圆C的极坐标方程是2cos .考点：(1)转化为直角坐标，求出所求方程，再转化为极坐标；(2)先求圆心坐标，再运用余弦定理求半径，最后借助过原点写出圆的极坐标方程题型二。

曲线(圆与椭圆)的参数方程1)普通方程互化和最值问题1”的代换(cos2sin21 )、三角解决x 2cos 3.已知曲线C的参数方程是,(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴y sin4为极轴建立极坐标系，A,B的极坐标分别为 A(2 ) B(2 —).'''3(I)求直线 AB的直角坐标方程；(n)设M为曲线C上的点，求点 M到直线AB距离的最大值.试题解析:44(I)将 A、B 化为直角坐标为 A(2cos ,2sin ), B(2cos ——,2sin ——), 33即 A( 2,0), B( 1, 73), kAB -^3_0氐,1 2，直线AB的方程为y 073(x 2),即 >/3x y 273 0 .(n )设 M (2cos ,sin）,它到直线AB的距离为2、 3cossin2（其中tan2石）,dmax13 2 3考点：1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值.4.已知曲线C的极坐标方程是 2sin ，直线l的参数方程是x 3t 2,5 （t为参数）.设4t直线l与x轴的交点是M , N是曲线C上一动点，求 MN的最大值.试题解析：曲线 c 的极坐标方程可化为 2 2 sin . 又222—_x y , x cos , y sin22所以曲线C的直角坐标方程为x y 2y 0..y-4（ x 2）将直线l的参数方程化为直角坐标方程，得3,令y 0 ,得x 2 ,即M点的坐标为（2,0）.又曲线C的圆心坐标为（1,0）,半径r 1,则MC 弱,所以|MN|w|MC| r而1.法二：设N的坐标为cos ,1 sin所以 MN | cocos2 2 (1 sin )24cos 2sin 62 <5 sin6,2.5 6,51曲线C的极坐标方程为考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系x5.已知在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数方程是y以原点。

为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，2cos 一 .(1)判断直线l与曲线C的位置关系；(2)设M为曲线C上任意一点，求 x y的取值范围试题解析：(1)直线l的普通方程为x y 472 0曲线C的直角坐标系下的方程为因为圆心—,—至附线x y 4应0的距离为d22所以直线l与曲线C的的位置关系为相离.(2)设点M互cos22 sin2则 x y cos sin 2 sin 2, 2 .4考点：直线与圆的参数方程和圆的极坐标方程 ^6 .已知平面直角坐标系 xOy,以为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， P点的极坐标为(2 J3, —)，曲线C的参数方程为6x 2cosy . 3 2sin(为参数)(1)写出点P的直角坐标及曲线 C的直角坐标方程;(2)若Q为曲线C上的动点，求 PQ中点M到直线l : cos2 sin 1 0的距离的最小值.试题解析：(1)点P的直角坐标(3, J3),由yx 2cos3 2sin得 x2 (y .3)2 4所以曲线C的直角坐标方程为x2 (y .3)2(2)曲线C的参数方程为x 2cosy 3 2sin( 为参数)，直线l的普通方程为x 2y 1 0 ,3设Q(2cos ,屈2sin )，则m(— cos ,sin )，那么点M到直线l的距离2| 一 cos 2sin 1|2| 石 sin( ) 5|5所以点M到直线l的最小距离为5 1.2J2 22考点：1、极坐标和直角坐标的互化；2、参数方程和普通方程的互化；3、点到直线的距离.(2)公共点问题。

联立求解判别式，直线与圆 d与r7.在直角坐标系中曲线 M的参数方程为x 、3 cos sin数).若以直角坐标系中的原点 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为,2 sin( 4) 2 t(1)求曲线(2)若曲线M的普通方程和曲线 N的直角坐标方程；M与曲线N有公共点，求实数t的取值范围.x . 3 cos sinx2 ( 3cos sin )2 2cos2 2、3sin cos 1又由y 2 .3 sin cos 2sin22 得 2V3sin cos y 2sin 2 2所以曲线M的普通方程为x2 1为参y 2 3 sin cos 2sin22又易知x 2,2，，曲线M的普通方程为由sin(-)与得徨sin 4 2 22 cos '2t所以 sincos t ,所以曲线N的直角坐标方程为xy t-(2)当直线N过点(2,3)时，与曲线M有公共点，此时t从该位置向左下方平行移动直到与曲线M相切总有公共点，联立得x2围是考点:4(14，5t),令 1 4(1 t) 0解得t5 .，所求实数t的取值范1、参数方程与普通方程的互化;2、极坐标方程与直角坐标方程的互化； 3、直线与抛物线的位置关系.8.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x a J3t, （t为参数）.在极坐标系（以 y t原点。

为极点，以x轴非负半轴为极轴， 且与直角坐标系xOy取相同的长度单位） 中，圆C的方程为4cos（I）求圆C的直角坐标方程；（n）若直线l与圆C相切，求实数a的值.试题解析：(I)由 4cos4 cos2 2 2 2x y 4x (x 2) y 422，22・•・圆C的直角坐标方程为（x 2） y 4 （或xy 4x 0）；（n）直线l的参数方程为x a疝，x V3y a 0, y t•••圆c的圆心为C（2，0） ，半径r 2,由直线l与圆C相切，得耳旦 2 a 2或6. .1 3考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程.m m R ,以极点为原点49 .在极坐标系中，直线l的极坐标方程为J2 sin极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为 x V3cos （为参数,y sin且 0,）.（1）写出直线l的直角坐标方程和曲线 C的普通方程；（2）若直线l与曲线C有两个公共点，求 m的取值范围.试题解析：（1）由直线l的极坐标方程得:,2 sin cos cos sin4 4即直线l的直角坐标方程为：y x m,由曲线C的参数方程sin（为参数，且0,).得:y2 i,y0,1占八、、、、3 cos ,sinm sin^3 cos2sin 一 ,0,3Q直线l与曲线C有两个公共点，m 瓜2考点：极坐标系，参数方程，直角坐标方程的转换题型三。

直线参数方程（t的几何意义）定点到动点的距离定标图号联、韦达三定理bcx1x2-、 x1x2 -、 x1x2aa10.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1 32工，2t2,（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中,圆C的极坐标方程为2 J5sin .（1）求圆C的直角坐标方程；⑵ 设圆C与直线l交于点A, B ,若点P的坐标为（1,J5），求|pA |PB试题解析：（1）由 275sin ，得x2y22瓜0,即x2（y 厨5.（2）将l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程,得(1当)2亭)2 5，即 t22t 4 0.由于 0,故可设ti,t2 ,是上述方程的两实根，所以tl t2技，t1 t24又直线l过点P(1,屿,故由上式及t的几何意义得pa| |pb| |tj |t2| 1tl t2| - 342. a考点：1.曲线的极坐标方程和普通方程的转化；2.直线的参数方程的应用.ii.在直角坐标系 xoy中，过点P(1, 2)的直线i的斜率为1,以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos ，直线1和曲线C的交点为A, B .(1)求直线l的参数方程；⑵求 |PA||PB|试题解析：(I)由条件知，直线l的倾斜角45 ,-2所以 cossin —.设点M(x, y)是直线l上的任意一点，点 P到点M的有向向量为t,x 1t则2_y 22t2(n)曲线C的直角坐标方程为2x,由此得（2 gt）2 2（1 字t）,即 t2 6、2t 4 0.设tl,t2为此方程的两个根，因为l和C的交点为A, B ,所以ti,t2分别是点A, B所对应的参数，由韦达定理得PA PB = 11t2 4考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程12.在直角坐标系xOy中，以原点为 O极点，以x轴正半轴为极轴，圆 C的极坐标方程为 4.2 cos( —).(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；11(2)过点P(2,0)作斜率为1直线l与圆C交于A,B两点，试求--r的值.PA PB试题解析：(1)由4&sin(3—),可得 。