大学数学(高数微积分)第一章多项式第九节(课堂讲义).ppt

主要内容 引入引入本原多项式本原多项式第九节 有理系数多项式整系数多项式的分解定理整系数多项式的分解定理整系数多项式的有理根的求法整系数多项式的有理根的求法举例举例整系数多项式不可约的条件整系数多项式不可约的条件二、本原多项式1. 定义设f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 是一有理系数多项式.选取适当的整数 c 乘 f (x) ，总可以使 c f (x) 是一整系数多项式.如果 c f (x) 的各项系数有公因子，就可以提出来，得到c f (x) = d g(x) ，也就是其中 g(x) 是整系数多项式，且各项系数没有异于1 的公因子.例如定义10 如果一个非零的整系数多项式如果一个非零的整系数多项式g g ( (x x) = ) = b bn nx xn n + + b bn n-1-1x xn n-1-1 + … + + … + b b0 0 的系数的系数 b bn n , , b bn n-1-1 , … , , … , b b0 0 没有异于没有异于  1 1 的公因子，也的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式.上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式 f (x) 都可以表示成一个有理数 r 与一个本原多项式 g (x) 的乘积，即f (x) = r g(x) .可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的.亦即，如果f (x) = r g(x) = r1 g1(x) ,其中 g(x) , g1(x) 都是本原多项式，r =  r1 , g(x) =  g1(x) .因为 f (x) 与 g(x) 只差一个常数倍，所以 f (x)的因式分解问题，可以归结为本原多项式 g(x) 的因那么必有式分解问题.下面我们进一步指出，一个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘乘积的问题是一致的.积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的作为准备，我们先证2. 性质定理 10 (高斯(Gauss)引理) 两个本原多两个本原多项式的乘积还是本原多项式项式的乘积还是本原多项式. .证明设g (x) = bmxm + bm-1xm-1 + … + b0 f (x) = anxn + an-1xn-1 + … + a0 ,是两个本原多项式，h (x) = f (x) g (x) =dn+mxn+m + dn+m-1xn+m-1 + … + d0 是它们的乘积.我们用反证法.如果 h (x) 不是本原的，也就是说 h (x) 的系数 dn+m , dn+m-1 , …, d0 有而一异于  1 的公因子，那么就有一个素数 p 能整除h (x) 的每一个系数.因为 f (x) 是本原的，所以 p 不能同时整除 f (x) 的每一个系数.令 ai 是第一个不能被 p 整除的系数，即p | a0 , … , p | ai-1 , p | ai .同样地， g (x) 也是本原的，令 bj是第一个不能被p 整除的系数，即p | b0 , … , p | bj-1 , p | bj .我们来看 h (x) 的系数 di+j , 由乘积的定义di+j = aibj + ai+1bj-1 + ai+2bj-2 + ...+ ai-1bj+1 + ai-2bj+2 + … .由上面的假设，p 整除等式左端的 di+j ，p 整除右端 aibj 以外的每一项，但是 p 不能整除 aibj .这是不可能的.这就证明了， h (x) 一定也是本原多项式.证毕三、整系数多项式的分解定理定理 11 如果一非零的整系数多项式能够分如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积, , 那么它那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积. .证明设整系数多项式 f (x) 有分解式f (x) = g (x) h (x) ， 其中 g (x) , h (x) 是有理系数多项式，且 ( g (x) ) < ( f (x) ) ，  ( h (x) ) < ( f (x) ) .令 f (x) = a f1(x) ，g (x) = r g1(x) ， h (x) = s h1(x) ，这里 f1(x) ，g1(x) ， h1(x) 都是本原多项式， a 是整数，r , s 是有理数.于是a f1(x) = rs g1(x) h1(x) .由g1(x) h1(x) 是本原多项式，从而rs =  a .这就是说， rs 是一整数 .因此，我们有f(x) = (rs g1(x)) h1(x) .这里 rs g1(x) 与 h1(x) 都是整系数多项式，且次数都低于 f(x) 的次数.证毕由定理的证明容易得出推论 设设 f f ( (x x) ) ，，g g ( (x x) ) 是整系数多项式，且是整系数多项式，且g g ( (x x) ) 是本原的是本原的. .如果如果 f f ( (x x) = ) = g g ( (x x) ) h h ( (x x) ) ，其中，其中 h h ( (x x) ) 是有理系数多项式，那么是有理系数多项式，那么 h h ( (x x) ) 一定是整系数的一定是整系数的. .四、整系数多项式的有理根的求法定理 12 设设f f ( (x x) = ) = a an nx xn n + + a an n-1-1x xn n-1-1 + … + + … + a a0 0是一个整系数多项式，而是一个整系数多项式，而是它的一个有理根，是它的一个有理根，其中其中 r r , , s s 互素，那么必有互素，那么必有 s s | | a an n , , r r | | a a0 0 . .特别地，如特别地，如果果 f f ( (x x) ) 的首项系数的首项系数 a an n = 1 = 1，那么，那么 f f ( (x x) ) 的有理根都是的有理根都是整数，而且是整数，而且是 a a0 0 的因子的因子. .证明因为是 f (x) 的一个有理根.因此在有理数域上从而(sx - r) | f (x) .因为 r , s 互素，所以 sx - r 是一个本原多项式.根据上述f (x) =(sx - r) (bn-1xn-1 + …+ b0) ,式中 bn-1 , … , b0 都是整数.比较两边系数，即得an = sbn-1 , a0 = - rb0 .因此s | an , r | a0 .证毕五、举例例 1 求方程2x4 - x3 + 2x - 3 = 0的有理根.解这个方程的有理根只可能是用剩余除法可以得出，除去 1 以外全不是它的根，因之这个方程的有理根只有 x = 1 .例 2 证明f (x) = x3 - 5x + 1在有理数域上不可约.证明如果 f (x) 可约，那么它至少有一个一次因子，也就是有一个有理根.但是 f (x) 的有理根只可能是  1 .直接验算可知  1 全不是根，因而f (x) 在有理数域上不可约.六、整系数多项式不可约的条件定理 13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设设 f f ( (x x) = ) = a an nx xn n + + a an n-1-1x xn n-1-1 + … + + … + a a0 0是一个整系数多项式是一个整系数多项式. .如果有一个素数如果有一个素数 p p , , 使得使得1.1. p p | a an n ; ;2.2. p p | a an n-1-1 , , a an n-2-2 , … , , … , a a0 0 ; ;3.3. p p2 2 | a a0 0 ; ;那么那么 f f ( (x x) ) 在有理数域上是不可约的在有理数域上是不可约的. .证明如果 f (x) 在有理数域上可约，那么由f (x) 可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：f (x) = (blxl + bl-1xl-1 + … + b0) (cmxm + cm-1xm-1+ … + c0) (l , m < n , l + m = n) .因此an = blcm , a0 = b0c0 .因为 p | a0 , 所以 p 能整除 b0 或 c0 .但 p2 | a0 , 所以 p 不能同时整除 b0 及 c0 .因此不妨假设 p | b0 但 p | c0 .另一方面，因为 p | an , 所以 p | bl .假设b0 , b1 , … , bl 中第一个不能被 p 整除的是 bk .比较f (x) 中 xk 的系数，得等式ak = bkc0 + bk-1c1 + … + b0ck .式中 ak , bk-1 , … , b0 都能被 p 整除，所以 bkc0 也必须能被 p 整除.但是 p 是一个素数，所以 bk与 c0中至少有一个被 p 整除.这是一个矛盾.证毕根据可知对于任意的 n ，多项式xn + 2在有理数域上是不可约的.由此可见，在有理数域上，存在任意次数的不可约多项式.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.本节内容已结束 !若想结束本堂课, 请单击返回按钮.。