常微分方程3.4.ppt

§3.4 奇 解,/Singularly solution/,3.4 奇解,包络和奇解,克莱罗方程（Clairant Equation）,本节要求：1 了解奇解的意义；2 掌握求奇解的方法主要内容,一 包络和奇解的定义,曲线族的包络：是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切奇解：在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解 注：奇解上每一点都有方程的另一解存在例 单参数曲线族,R是常数，c是参数x,y,o,,,,,,,,显然，,是曲线族 的包络一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的二 求奇解（包络线）的方法,C-判别曲线法 P-判别曲线法,设一阶方程,的通积分为,1 C-判别曲线法,结论：通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组,消去 C 而得到的曲线中。

设由,能确定出曲线为,则,对参数 C 求导数,从而得到恒等式,当,至少有一个不为零时,有,或,这表明曲线 L 在其上每一点 (x(C), y(C) ) 处均与曲线族中对应于C的曲线 相切注意： C-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验例1 求直线族,的包络，这里 是参数，p 是常数解：,对参数 求导数,联立,,相加，得,，经检验，其是所求包络线例2 求直线族,的包络，这里 c 是参数解：,对参数 c 求导数,联立,,得,从 得到,从 得到,因此， C-判别曲线中包括了两条曲线，易检验， 是所求包络线2 p-判别曲线,结论：方程 的奇解包含在下列方程组,消去 p 而得到的曲线中注意： p-判别曲线中除了包络外，还有其他曲线，尚需检验例3 求方程,的奇解解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验，它们是方程的奇解。

因为易求得原方程的通解为,而 是方程的解，且正好是通解的包络例4 求方程,的奇解解：,从,消去 p，得到 p-判别曲线,经检验， 不是方程的解，故此方程没有奇解注意： 以上两种方法，只提供求奇解的途径，所得p-判别曲线和C-判别曲线是不是奇解，必需进行检验3 克莱罗方程,形式,其中,是 p 的连续函数解法,通解,奇解,例5 求解方程,解：,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,例6 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积都等于2解 设要求的曲线为,过曲线任上一点 的切线方程为,其与坐标轴的交点为,切线截割坐标轴而成的直角三角形的面积为,这是克莱罗方程，因而其通解为,消去 c，得到奇解,从,这是等腰双曲线，显然它就是满足要求的曲线课堂练习：,1 求一曲线，使在其上每一点的切线截割坐标轴的两截距之和等于常数 a 2 求解方程，并划出积分曲线图作业： （一）1，2，7，8 ， （二）1，3 ，（四）,。