第2章_向量与矩阵习题解.doc

习题22-1．设，，，求：（1）；（2）．解（1） .解（2） .2-2．设，,（1）将化为单位向量；（2）向量是否正交.解（1） ,.解（2） 由于,所以向量正交.2-3．计算：（1）；（2）.解（1） .解（2） .2-4．计算下列乘积：（1）.解 .（2）.解 .（3）.解 .（4）.解 .（5）.解 2-5．已知，,求和．解 ..2-6．如果，证明当且仅当时成立．证 必要性. 已知,且,有 ,即 ,化简得 .充分性. 由得,又 ,代入得,化简得 .证毕.2-7．设，其中是阶单位矩阵，是维单位列向量．证明对任意一个维列向量，都有．证 因,故对任意一个维列向量有,,从而有 故有，证毕.2-8．对于任意的方阵，证明：（1）是对称矩阵，是反对称矩阵；（2）可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和．证（1） 由,所以是对称矩阵；,所以是反对称矩阵.证（2） .2-9．证明：如果都是阶对称矩阵，则是对称矩阵的充分必要条件是与是可交换的．证 必要性. 因，且,有,所以与是可交换的.充分性. 由，及，得，所以是对称矩阵.2-10．设是一个阶对称矩阵，是一个反对称矩阵，证明是一个反对称矩阵．证 由，得，所以是一个反对称矩阵．2-11．设是个线性无关的向量，，其中全不为零．证明中任意个向量线性无关．证 从向量组中任取个向量，设有一组常数使得 （*）当时，线性无关，结论成立；当时，将代入（*）式得整理得,由于是个线性无关的向量，所以，由于全不为零，所以，则向量组线性无关，故中任意个向量线性无关． 2-12．设向量组线性相关，向量组线性无关，（1）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．（2）能否由线性表示？证明你的结论或举出反例．解（1） 能由线性表示. 因线性相关，必有一组不全为零的常数，使得，下面只要证明即可. 若，则不全为0，于是有，即线性相关；又由线性无关，所以其部分组必线性无关，得出矛盾，从而各，即能由线性表示.解（2） 不能由线性表示. 如，， ，，显然，线性相关，线性无关，但是不能由线性表示.2-13．求下列矩阵的秩：（1）.解 ，所以矩阵的轶为2.（2）解 ，所以矩阵的轶为4.2-14．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：（1）；解 用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩3，所以向量组线性无关.（2）解 用所给的3个向量作为列构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩2，所以向量组线性相关，其中是其极大无关组，.2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：（1）.解 ,因此 .（2）解 ,因此 .2-16．求解矩阵方程：（1）解 记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.构造,所以 .（2）.解 记矩阵方程为,其中,由于，所以可逆，故.,因此 ，从而有.2-17．已知，,试用初等行变换求．解 依据可得所以 .2-18．用分块法求： （1）.解 ；（2）解 .2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵：（1）. 解 ,因则.（2）.解 ,因 ，，所以.2-20．把下列向量组正交化：（1），，.解 用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．（2），，．解 用施密特正交化方法得，，，则是正交向量组．2-21．已知，，，（1）求与的夹角；（2）求；（3）求一个与等价的标准正交向量组．解 （1）因为，，，所以.（2）因，所以 .（3）先将向量组正交化，，，，，则是正交向量组.再将单位化，，，，则即为所求．2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？(1)次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算；(2)阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；(4)主对角线上各元素之和为零的阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算．解 （1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性.（2）是.（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性.（4）否，加法运算不满足封闭性.2-23*．在维线性空间中，分量满足下列条件的全体向量能否构成的子空间？(1)；(2)．解（1） 设，且满足；又，满足，，而满足故此条件下能构成的子空间.解（2） 设，且满足，而 ，有，，故此条件下不能构成的子空间.2-24*．假设是线性空间中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成的子空间．这个子空间叫做由生成的子空间，记做．证 设有两组系数构成的两个线性组合，分别为，，且,其中是线性空间的非空子集；（i）；（ii）是任意数，有，故构成的子空间.2-25*．设和是线性空间的两组向量，证明生成子空间和相等的充分必要条件是和等价．证 必要性.已知，则必有是的子空间，可由线性表示，同时是的子空间，从而可由线性表示，故和等价.充分性.已知和等价，则可由线性表示，有是的子空间，同时可由线性表示，从而是的子空间， 故和相等.2-26*．试证在中，由，生成的子空间与由，生成的子空间相等．证 记，，，的两个生成子空间和,由于且，所以向量组和等价，故生成子空间和相等.2-27*．在中，求向量在基下的坐标．解 构造矩阵，故向量在基下的坐标为．2-28*．设是线性空间的子空间，证明，若的维数等于的维数，则=．证明 由是线性空间的子空间且的维数等于，则存在个线性无关的向量是的一组基，故；又由是线性空间的子空间，则是的一组基，故，所以=．2-29*．设、是线性空间的两个子空间，证明的非空子集=构成的子空间．这个子空间叫做与的和子空间，记做+．证 由的构成可知，它是线性空间的非空子集，下证构成的子空间:设有，满足，则，其中，，所以；又任取数，有故构成的子空间．2-30．判断下列向量组的线性相关性：（1）；（2）；（3）．解（1） 设有一组常数使得 ，即 ，得方程组 ，据克莱姆法则知该方程组只有零解 ，故线性无关．解（2） 法一（依内容进度）：显然，即有一组不全为零的常数，使成立，所以线性相关．解（2） 法二：设有一组常数使得 ，即 ，得方程组 ， 因 ，故方程组有非零解，所以线性相关．解（3） 法一（依内容进度）：显然它们各自前3个分量构成的向量组线性无关（本题的（1）），由本章定理7知（线性无关的向量组，相应地增加分量后仍线性无关），线性无关.解（3） 法二：设有一组常数使得，得方程组 ，该方程组只有零解 ，故线性无关．2-31．求下列向量组的秩，并判断其线性相关性：（1）；（2）；（3）解（1） 用所给向量组构造矩阵 ，对矩阵A施行行初等变换：，矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩是2，所以向量组线性相关.解（2） 用所给向量组构造矩阵,对矩阵A施行行初等变换：,矩阵B的秩是2，故矩阵A的秩是2，向量组线性相关.解（3） 用所给向量组构造矩阵，对矩阵A施行行初等变换：， 矩阵B的秩是3，故矩阵A的秩是3，向量组线性无关.2-32．利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵：（1）. 解 因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以．（2）．解 因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以．（3）. 解 因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以（4）.解 因,故存在，计算代数余子式得，，从而得,所以．2-33．（1）若，证明可逆，并求；（2）若，证明可逆，并求.证（1） 由，即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为.证（2） 由，即存在矩阵,使得，故矩阵可逆，其逆矩阵为.2-34．设矩阵满足关系式，且，求矩阵.解 由关系式，整理得，再由矩阵的分配律得，即 ，又由，则有,求其逆矩阵得，故矩阵.2-35．将下列矩阵化为行最简形矩阵：（1）. 解 .（2）.解 .补充题B2-1．如果，则称阶矩阵为幂等阵．设是幂等阵，证明：（1）如果也是幂等阵，则；（2）如果是可交换的，则是幂等阵．证（1） 若是幂等阵，则必满足,展开得，又由是幂等阵，即，则上式简化得，证毕.证（2） 已知，且是可交换的，即，则有,故是幂等阵.B2-2．证明：主对角线元素全为1的上三角形矩阵的乘积，仍是主对角线元素为1的上三角形矩阵．证 把主对角线元素全为1的上三角形矩阵一般形式展开得其中，矩阵为主对角线元素全为0的上三角形矩阵.任取两个主对角线元素全为1的上三角形矩阵，分别记作，，其中为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，则，由矩阵乘法定义，可知为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，再由矩阵加法定义，得仍为主对角线元素全为0的上三角形矩阵，故有是主对角线元素全为1的上三角形矩阵，证毕.B2-3．设是可逆矩阵．证明：如果是可交换的，则也是可交换的．证 已知是可交换的，即满足；又由是可逆矩阵，则有,所以是可交换的.B2-4．设为阶矩阵，且可逆．证明：对矩阵施行初等行变换，当把矩阵变为单位矩阵时，即变为．证 由初等变换的性质，对矩阵施行初等行变换，相当于在矩阵的左边乘上相应的初等矩阵，即存在初等矩阵，使得题目叙述 的运算过程即为：,则有,即，从而,即对矩阵施行初等行变换把矩阵变为单位矩阵时，即变为． B2-5．设维向量组线性无关，和均正交，证明线性相关．证 设有一组数使得 ①则由 ，得，因与均正交，上式简化为，从而有．（1）若时，则必线性相关；（2）若时，由①可得，即线性无关，由定理8推论3知n+1个n维向量和线性相关，再由定理4知，可由唯一线性表示，记 ②任取，由正交性，代入②式展开化简得即，所以②式化简为，得线性相关，证毕.B2-6．（1）设，求的逆矩阵．解 设，则有，即，由条件，有可逆，从而，又， 所以 .（2）设，求的逆矩阵．解 。