2022年高等数学竞赛题库.不定积分与定积分.pdf

1 高等数学竞赛不定积分不定积分的概念与性质1、设)10(tan2cos)(sin22xxxxf，求)(xf2、设xxf1)(ln，求)(xf3、已知]1)([)(xfxxf，试求函数)(xf利用基本积分法求不定积分一、利用凑微分法求不定积分1、 求以下不定分 ; (1)dxxxxcossin12cos〔2〕dxxx5212〔3〕xxdx22cos2sin〔4〕dxxxxx5)sin(coscossin2、求以下不定积分〔1〕dxexxexxxx) 13()(22〔2〕dxxxx) 1(ln)ln(23〔3〕dxxx211arctan〔4〕dxxexxxx)cos1 (cossincossin2〔 5〕dxxxxxx)ln1 (ln2ln2二、利用第二换元积分法求不定积分1、三角代换求以下积分〔1〕221) 1(xxxdx〔2〕2323)1 (xdxx〔3〕dxxx229〔4〕211xdx2、倒代换〔即令tx1〕求以下积分〔1〕)0(222axaxdx〔2〕)2(7xxdx3、指数代换〔令, tax则tdtadxln1〕〔1〕xxxdx4212〔2〕6321xxxeeedx4、利用分部积分法求不定积分〔1〕dxexx22) 1(〔2〕xdxxx2cos)52(3〔3〕xdxx arccos2〔4〕dxxx23)(ln〔5〕xdxexcos精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 5、建立以下不定积分的递推公式〔1〕dxaxInn)(122〔2〕xdxInntan有理函数的积分1、求以下不定积分〔1〕dxxxx3422〔2〕2) 1(xxdx〔3〕)1)(21(2xxdx2、求以下不定积分〔1〕)2(10xxdx〔2〕dxxxnn112〔3〕dxxx1003)1(12〔4〕xxdxx3811简单无理函数积分1、dxxx312、dxxxxx1) 1(三角有理式积分1、dxxsin12、dxx3sin13、dxxxsin1sin4、dxxxxcos1sin5、xdxxx3cos2cos4sin6、xdxx65cossin含有反三角函数的不定积分1、xdxxxarctan1222、dxxx32)1 (arccos抽象函数的不定积分1、dxxfxfxfxfxf32)]([)()()()(2、dxxfxxf)(ln)(ln分段函数的不定积分例如：设1,2; 10,1;0,1)(xxxxxxf求dxxf)(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 高等数学竞赛定积分比较定积分大小1、 比较定积分21ln xdx和212)(lndxx的大小2、 比较定积分10)1ln(dxx和101arctandxxx的大小利用积分估值定理解题一、估值问题1、试估计定积分4542)sin1(dxx的值2、试估计定积分333arctan xdxx的值二、不等式证明1、证明不等式：edxex10212、证明不等式：1143812dxx三、求极限1、21021limdxxxnn2、dxeexxxnn101lim关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题1、求以下导数：〔1〕3241)(xxtdtxF；〔2〕由方程yxtdtttdte00221sin确定的隐函数)(xfy的导数dxdy2、设)(xf在), 0[上连续且满足)1(02)(xxxdttf，求)2(f3、设)(xf为关于x的连续函数，且满足方程118162098)()(xxCxxdttftdttf，求)(xf及常数C. 4、求以下极限：〔1〕xxtxextdtte6002sinlim〔2〕25020)cos1(limxdttxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 5、设)(xf是连续函数，且10)(2)(dttfxxf，求)(xf. 6、已知8)()(80dxxfxf且0)0(f，求20)(dxxf及)(xf定积分的计算一、分段函数的定积分1、设;,2,20,)(lxlclxkxxf求xdttfx0)()(2、求定积分222),max (dxxx二、被积函数带有绝对值符号的积分1、求以下定积分：〔1〕eedxx1ln〔2〕10dtxtt2、求定积分223coscosdxxx的值三、对称区间上的积分1、设)(xf在],[aa上连续，计算1132)cos1sin(dxxxxx2 、 设)(xf在),(上 连 续 ， 且 对 任 何yx,有)()()(yfxfyxf， 计 算112)()1(dxxfx3、计算积分4421sindxexIx4、 设)(),(xgxf在 区 间)0](,[aaa上 连 续 ，)(xg为 偶 函 数 ， 且)(xf满 足 条 件Axfxf)()(〔A为常数〕 . 〔1〕证明：aaadxxgAdxxgxf0)()()((2) 利用〔 1〕的结论计算定积分22arctansindxexx四、换元积分法1、求以下定积分：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 〔1〕2141)1(arcsindxxxx〔 2〕2ln021dxex〔 3〕dxxxxx201010cossin4cossin五、分部积分1、设)(xf有一个原函数为xxsin，求2)(dxxfx2、301arcsindxxxx3、102)2()1ln(dxxx积分等式的证明一、换元法〔适用于被积函数或其主要部分仅给出连续条件〕1、假设函数)(xf连续，证明：〔1〕20023)(21)(aadxxxfdxxfx〔2〕dxxabafabdxxfba10])([)()(〔3〕xxdxxdxx1121211112、设)(xf连续，求证dxxfdxxxf00)(sin2)(sin，并计算023cos1sindxxxx3、设)(xf连续，且关于Tx对称，bTa，z 证明：babTbTadxxfdxxfdxxf2)()(2)(〔提示：)(xf关于T对称，即)()(xTfxTf〕二、分部积分法〔适用于被积函数中含有)(xf或变上限积分的命题〕例：设)(xf连续，xdttaftfxF0)2()()(，证明：)2()0()()(2)2(2affafaFaF三、构造辅助函数法〔适用于证明在积分限中至少存在一点或0x使等式成立的命题〕解题思路： 〔1〕 将或0x改成x， 移项使等式一端为零，则另一端即为所作的辅助函数)(xF或)(xF。

精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 〔2〕验证)(xF满足介值定理或微分中值定理的条件〔3〕由介值定理或微分中值定理，即可证得命题1、设)(),(xgxf在],[ba上连续，证明：至少存在一点),(ba，使得：abdxxfgdxxgf)()()()(2、设)(xf在],[ba上连续，在),(ba内可导，)(21)(,)(22abdxxfaafba.求证： 在),(ba内至少存在一点使1)()(ff四、积分不等式的证明常用的证明积分不等式的定理有：定积分的比较定理，估值定理，函数的单调性，积分与微分中值定理1、设)(xf在],[ba上连续，且严格递增，证明：babadxxxfdxxfba)(2)()(2、设)(xf在), 0[上连续且单调减少，ba0，求证：badxxfbdxxfa00)()(3、设)(xf在],[ba上可导，且0)(,)(afMxf.证明：baabMdxxf2)(2)(广义积分1、求以下广义积分〔1〕02dxxex〔2〕942xxdx〔3〕edxxx12)(ln11〔4〕202)1(xdx2、证明：无穷积分)0(1pxdxp当1p时收敛，当10p时发散 . 3、当0p时，10pxdx是以0x为瑕点的瑕积分，证明它在10p时收敛，在1p时发散 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 高等数学竞赛导数与微分练习利用导数定义解题1、 设 函 数.2,0; 2,21sin)2()(2xxxxxg又)(tf在0t处 可 导 ， 求 复 合 函 数))((xgfy在2x处的导数。

2、 已知)(xf在0x处可导，求)]()2([lim00xfxxfxx3、 设, 1, 1,32)(23xxxxxf求)(xf在点1x处的导数)1 (f4、 设函数)(xf在ax处可导，且,0)(af试求nnafnaf])()1([lim5、 设,)1 (,0)1(aff求极限xxfefxxcosln)sin1(1)(21lim2026、 设)(xf在R上有定义，且,1)0(f又xyeyfexfyxf)()()(，求)(xf导数在几何上的应用1、 设函数)(xfy由方程1)cos(2exyeyx确定，求曲线)(xfy在) 1 ,0(处的法线方程2、 已知)(xf是周期为 5 的连续函数，它在0x的某个领域内有关系式),(8)sin1 (3)sin1(xxxfxf其中)(x是当0x时比x高阶的无穷小，且)(xf在1x处可导，求曲线)(xfy在点))6(,6(f处的切线方程 . 利用导数公式及求导法则求导1、已知xxxy)1(，求y2、假设txxxttf2)11(lim)(，求)(tf3、假设dxdyxxfxxfy求,ln)(),112(31精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 4、设函数)(xyy由方程xyxyxsin)ln(32确定。

求0xdxdy5、设函数)(xyy由52arctan2tetyytx所确定，求dxdy6、设函数)(yxfy，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求22dxyd求高阶导数常用方法：〔1〕将函数变形利用已知函数的n阶导数公式；〔 2〕利用莱布尼兹公式求某些积的n阶导数1、设函数)1)(21(1)(xxxf，求)0()(nf2、设函数)23ln(2xxy，求)50(y3、设函数,arctan)(xxf求)0()( nf4、设函数xexy22，求)20(y5、设函数xeyxsin可导、连续与极限存在的关系1、 设.00;0,)()(xxxexgxfx其中)(xg具有二阶连续导数，且,1)0(g.1)0(g求),(xf并讨论),(xf在),(内的连续性2、设.00; 0,1sin)(xxxxxf其中,0讨论在什么条件下)(xf在0x处连续精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页。