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1第五章多速率信号处理与小波变换*2第五章 多速率信号处理与小波变换 多采（抽）样率信号处理 多分辨率信号处理3多分辨率信号处理基础多分辨率信号处理基础v FourierFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v 小波变换 FourierFourier分析局限性 不相容原理（测不准原理） 短时Fourier变换FourierFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v不相容原理（测不准原理） 为研究信号的局部特性,即对信号加窗后再进行变换，如短时傅立叶变换(STFT) 、小波变换、Gabor变换 定义： Gx(f, t) = Fx()g(-t) 作用: 将一维信号x(t)映射为时-频平面(t,f)的二维函数 不相容原理： 对于有限能量的任意信号s(t)或窗函数h(t)，其时宽和频宽的乘积总是满足下面的不等式： 时宽-带宽乘积= 或 不相容原理也称测不准原理式中的 和 分别称为时间分辨率和频率分辨率时间分辨率和频率分辨率分别是信号在两个时间点和两个频率点之间的区分能力不相容原理表明，时宽和带宽（即时间分辨率和频率分辨率）是一对矛盾的量，我们不可能同时得到任意高的时间分辨率和频率分辨率。

6FourierFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v不相容原理（测不准原理） 窗函数在非平稳信号处理中起着重要的作用：窗函数是否具有高的时间分辨率和频率分辨率与待分析的信号的非平稳特性相关如果我们使用冲激信号作窗函数，则相当于只取非平稳信号在t时刻的值进行分析，时间分辨率最高，但却完全丧失了频率分辨率相反，如果取单位直流信号作窗函数，即像Fourier变换那样取无穷长的信号进行分析，则其频率分辨率最高，但却完全没有了时间分辨率这预示着，对于非平稳信号，局部变换的窗函数必须在信号的时间分辨率和频率分辨率之间作适当的折中选择值得强调指出的是，对非平稳信号作加窗的局域处理，窗函数内的信号必须是基本平稳的，即窗宽必须与非平稳信号的局部平稳性相适应因此，非平稳信号分析所能获得的频率分辨率与信号的“局域平稳长度”有关该长度很短的非平稳信号是不可能直接得到高的频率分辨率的 7FourierFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v不相容原理（测不准原理） 窗函数与局域平稳长度间的关系告诉我们，时频分析适合局域平稳长度比较大的非平稳信号；如局域平稳长度很小，则时频分析的效果较差。

这一点在进行时频信号分析时是必须注意的 8FourierFourier分析局限性及解决办法分析局限性及解决办法v短时Fourier变换 为了获得各分量的瞬时频率，一种直观的方法是引入“局部频谱”的概念：使用一个很窄的窗函数取出信号，并求其Fourier变换由于这一频谱是信号在窗函数一个窄区间内的频谱，剔除了窗函数以外的信号频谱，故称其为信号的局部频谱是合适的使用窄窗函数的Fourier变换习惯称为短时Fourier变换 含义 - 把STFT看作是加窗付氏变换;在时刻t, 计算其“所有频率”分量 - 将STFT看作频率为f的BPF;在频率f, 在“所有时间” 对信号滤波 优缺点 - 优点：研究信号的局部特性 - 缺点：局部分辨率都一样;时间频率分辨率相矛盾(测不准) - 原因：使用单一的窗口(基函数)，即基函数不变9小波变换小波变换v 小波变换的相关概念 小波变换的引入 为了为克服STFT的缺点，我们希望构造“可变”基函数, 即 构造: - 持续时间很短的高频基函数 - 持续时间很长的低频基函数 做到： - 在高频区，频率窗口很宽，而时间窗口很窄； - 在低频区，频率窗口很窄，而时间窗口很宽。

这时，在时频平面不同位置应该具有不同的分辨率，即它应该是一种多分辨率分析方法小波变换就是这样一种多分辨率分析方法 10小波变换小波变换v 小波变换的相关概念 小波基函数 在小波变换中，小波基函数由某函数伸缩平移得到： 式中 a为标度因子(scaling factor) h(t) 小波母函数，简称母函数 ha,b(t) 小波基函数，简称基函数易见，基函数与标度因子有着密切关系：- 对于大的a, 基函数是母函数的展宽型，是一低频函数- 对于小的a, 基函数是母函数的缩小型，是一高频函数11小波变换小波变换v 小波变换的相关概念 小波变换(WT)的定义 用小波基ha,b(t)取代富氏变换中的复指数基，即构成WT 如图所示由图看见，WT的时-频分辨率是变化的，即 在高频区，WT的持续时间较短 在低频区，WT的频率宽度较窄 在中频区，WT与STFT具有相同的时-频分辨率1213小波变换小波变换n 波变换 傅立叶变换（正弦波）、沃尔什变换（方波）n 窗口变换 短时傅立叶变换 波变换和窗口变换都是固定基的变换n 小波变换（任意） 具有可变化的时间分辨率和频率分辨率v 如何理解小波变换14小波变换小波变换v 预备知识 小波变换定义的进一步讨论 为便于后面讨论，将小波变换定义式写为 其中小波基函数为其母函数的伸缩平移：式中标度因子a的大小直接关系母波的展宽和缩小15小波变换小波变换v 预备知识（续）如令 则上式变为 或式中 - 2m 是t的标度因子 - 2-mn是t的平移 - 2m/2 是归一化因子，以保证16小波变换v消失矩 一般要求小波具有消失矩性质：当k=0时, 有（容许条件式）这表明 是一个迅速衰减的波, 由此将Wavelets译为小波, 以强调其波幅小的一面; 其实具有消失矩性质的波不一定 是幅值很小的波, 而是持续时间很短的波, 因此, 有人认为， 子波比小波更符合“Wavelets”一词的含义。

17小波变换小波变换v STFT与WT的比较 共同点：STFT 与WT都可解释为：对每一分析频率f，用 中心频率为f 的带通滤波器(组)对信号x(t)滤波的结果 不同点 - 在STFT中,带宽f 与中心频率f 无关,f =c (带宽恒定) - 在WT中,带宽f 与中心频率f 有关,f/f =c (相对带宽恒定)。