空间向量应用总复习.ppt

用空间向量解决立体用空间向量解决立体几何中的平行、垂直几何中的平行、垂直和夹角、距离问题和夹角、距离问题一知识再现 空间向量：(1)空间直角坐标系(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式(1)空间直角坐标系zxyoA(x,y,z)(2)向量的直角坐标运算(3)夹角和距离公式OjikXYZAB二二. .两个重要的空间向量两个重要的空间向量1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量都称为直线的方向向量.如图如图,在空间直角坐在空间直角坐标系中标系中,由由A(x1,y1,z1)与与B(x2,y2,z2)确定的直确定的直线线AB的方向向量是的方向向量是zxyAB2.平面的法向量•如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥ ⊥α,这时向量n叫做平面平面α的法向量的法向量. αnabnα求平面的法向量的坐标的步骤•第一步第一步(设设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).•第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0列出方程组•第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.•第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标.  2 2、在棱长为、在棱长为2 2的正方体的正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,O,O是面是面ACAC的中心的中心, ,求面求面OAOA1 1D D1 1的法向量的法向量. . ABCDOA1B1C1D1zxy1 1、已知、已知 =(2,2,1), =(4,5,3),=(2,2,1), =(4,5,3),则平面则平面ABCABC的一个法向量是的一个法向量是______ .______ .练习练习1三、建立空间坐标系p利用现有三条两两垂直的直线p注意已有的正、直条件p相关几何知识的综合运用xABC1CA1B1正三棱柱zyxyPBCDA正四棱锥zABCD正三棱锥xyz长方体四、常用公式：四、常用公式：1、求、求线段的段的长度：度：2、平行、平行3、垂直、垂直4、求、求P点到平面点到平面的距离：的距离：，（，（N为垂足，垂足，M为斜足，斜足，为平面平面的法向量）的法向量）5、求直、求直线l与平面与平面所成的角所成的角： ，，(为的法向量的法向量)6、求两异面直线、求两异面直线AB与与CD的夹角：的夹角： 7、求二面角的平面角、求二面角的平面角 :( 为二面角的两个面的法向量）二面角的两个面的法向量）8、求二面角的平面角、求二面角的平面角 : （射影面积法）（射影面积法）9、求法向量：、求法向量：①①找；找；②②求：求：设 为平面平面内的任意两个向量，内的任意两个向量， 为αα的法向量的法向量 则由方程组则由方程组 可求得法向量可求得法向量．垂直与平行的证明♣直线与直线的平行直线与直线的平行♣直线与直线的垂直直线与直线的垂直♣直线与平面的平行直线与平面的平行♥共面向量的充要条件♥与平面的法向量垂直♣直线与平面的垂直直线与平面的垂直♥垂直于平面内不共线的两个向量♣平面与平面的平行平面与平面的平行♥两个平面的法向量平行♣平面与平面的垂直平面与平面的垂直♥两个平面的法向量垂直设直线设直线l，，m的方向向量分别为的方向向量分别为 ，， ，，根据下列条件判断根据下列条件判断l，，m的位置关系：的位置关系：练习练习2♣直线与直线的平行与垂直直线与直线的平行与垂直♥平行：共线向量的充要条件 ♥垂直：向量垂直的充要条件 lmlm 例例1.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证: C C1⊥ ⊥BDA1B1C1D1CBAD 证明：设 依题意有 ， 于是 ∵∵ ∴∴C C1⊥ ⊥BD 题型一：线线垂直题型一：线线垂直例例2.2.已知正三棱柱　　　　　　的各棱长都为已知正三棱柱　　　　　　的各棱长都为1，　是底，　是底面上　　边的中点，　是侧棱　　上的点，且面上　　边的中点，　是侧棱　　上的点，且 　　　　，　　　　，求证：　　　　。

求证：　　　　解解1：：向量解法向量解法 设　　　　　　　　　　　设　　　　　　　　　　　，则由已知条件和正三棱柱的性质，则由已知条件和正三棱柱的性质 ，得，得你能建立直角坐标系解答本题吗？你能建立直角坐标系解答本题吗？题型一：线线垂直题型一：线线垂直解解2：直角坐标法：直角坐标法 取取 由由已知条件和正三棱柱的性质，得已知条件和正三棱柱的性质，得 AM BC,如图建立坐标系如图建立坐标系m-xyz则 XYZG例例2 2　　已知正三棱柱　　　　　　的各棱长都为已知正三棱柱　　　　　　的各棱长都为1，　是底，　是底面上　　边的中点，　是侧棱　　上的点，且　　　　，面上　　边的中点，　是侧棱　　上的点，且　　　　，求证：　　　　求证：　　　　题型一：线线垂直题型一：线线垂直♣直线与平面的平行与垂直直线与平面的平行与垂直 设直线设直线l的方向向量分别为的方向向量分别为 ，平面，平面αα的法的法向量为向量为 ，平面，平面αα内两不共线向量内两不共线向量 ，，且且l α♥平行：①共面向量的充要条件 ②♥垂直：①垂直于平面内不共线的两个向量 ②llABDCA1B1D1C1例例3 3. .在正方体在正方体ACAC1 1中，中，E E为为DDDD1 1的中点，求证：的中点，求证：DBDB1 1////面面A A1 1C C1 1E EEFxyz即即题型二：线面平行题型二：线面平行FEXYZ评注：本题若用一般法评注：本题若用一般法证明，容易证证明，容易证A’FA’F垂直垂直于于BDBD，再证，再证A’FA’F垂直于垂直于DEDE，或证，或证A’FA’F垂直于垂直于EFEF则较难，用建立空间坐则较难，用建立空间坐标系的方法能使问题化标系的方法能使问题化难为易。

难为易题型三：线面垂直题型三：线面垂直A1C1B1ACBEDzxy题型：线面平行、垂直题型：线面平行、垂直♣平面与平面的平行与垂直平面与平面的平行与垂直 设平面设平面αα、、ββ 的法向量分别为的法向量分别为♥平行： ♥垂直： 练习练习2：： 设平面设平面 ，， 的法向量分别为的法向量分别为 ，， ，根据下列条件判断，根据下列条件判断 ，， 的位置关系：的位置关系：XYZ题型四：面面平行题型四：面面平行•例例7.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点,求证：面AED⊥面A1FD1zxy证明:以A为原点建立如图所示的的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则E(2,0,1),D(0,2,0), A1(0,0,2), D1(0,2,2),F(1,2,0),设平面AED的法向量为n1=(x，y，z)得取z=2，得 n1=(-1，0，2)同理可得平面A1FD1的法向量为n2=(2，0，1)∵ ∵n1 ·n2 = -2+0+2=0 ∴ ∴面AED⊥面A1FD题型五：面面垂直题型五：面面垂直ABCDFEA1B1C1D1三种角的计算•异面直线所成的角•直线和平面所成的角•二面角数量积： 夹角公式： •线线角线线角•复习复习•线面角线面角•二面角二面角•小结小结•引入引入求下列两个向量夹角的余弦值求下列两个向量夹角的余弦值（1） ， （2） . . 异面直线所成角的计算异面直线所成角的范围： 思考：思考：结论：结论：题型一：线线角题型一：线线角•线线角线线角•复习复习•线面角线面角•二面角二面角•小结小结•引入引入例一：题型一：线线角题型一：线线角•线线角线线角•复习复习•线面角线面角•二面角二面角•小结小结•引入引入解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则： 所以：所以 与 所成角的余弦值为题型一：线线角题型一：线线角 问题：问题：利用向量坐标法求两条异面直线夹角利用向量坐标法求两条异面直线夹角 的一般步骤是什么？的一般步骤是什么？(1) 恰当的构建空间直角坐标系；恰当的构建空间直角坐标系；(2) 正确求得对应点的坐标，空间向量正确求得对应点的坐标，空间向量 的坐标表示及其数量积和模；的坐标表示及其数量积和模；(3) 代入空间向量的夹角公式，求得其代入空间向量的夹角公式，求得其余余 弦值；弦值；(4) 根据题意，转化为几何结论根据题意，转化为几何结论.PADGFEzx ByC题型一：线线角题型一：线线角解：如图，建立空间直角坐标系。

PADGFEzx ByC2004年福州市第一次统测试题题型一：线线角题型一：线线角•练习：练习：如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. BC A MxzyB1C1D1A1CD题型一：线线角题型一：线线角•解: 以A为原点建立如图所示的直角坐标系A- xyz, 设正方体的棱长为2,则•M(1,0, 0),C(2,2,0), B1(2, 0, 2),D(0,2 ,0),•于是, •∴ ∴cos< ， >=.xPABDCEyz题型一：线线角题型一：线线角练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体 中，斜线与平面所成角的计算anPAO题型二：线面角题型二：线面角直线与平面所成角的范围： 思考：思考：结论：结论：题型二：线面角题型二：线面角•线线角线线角•复习复习•线面角线面角•二面角二面角•小结小结•引入引入练习：练习： 如果平面的一条斜线与它在这个平面上如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是的射影的方向向量分别是a=a=（（1 1，，0 0，，1 1），），b=b=（（0 0，，1 1，，1 1），那么这条斜线与平面所成的），那么这条斜线与平面所成的角是角是_____ ._____ .题型二：线面角题型二：线面角600例四：题型二：线面角题型二：线面角在长方体 中，•线线角线线角•复习复习•线面角线面角•二面角二面角•小结小结•引入引入在长方体在长方体 中，中，N解：如图建立坐标系A-xyz,则即练习练习1：：题型二：线面角题型二：线面角练习练习1：：在长方体在长方体 中，中，又题型二：线面角题型二：线面角练习2： 的棱长为1.题型二：线面角题型二：线面角正方体•线线角线线角•复习复习•线面角线面角•二面角二面角•小结小结•引入引入•练习练习3.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO题型二：线面角题型二：线面角•解:建立如图示的直角坐标系,则•A( ,0,0),B(0, ,0) A1( ,0, ). C(- ,0, 0 )•设面ABB1A1的法向量为n=(x,y,z)•由 得 • ，解得 •取y= ,得n=(3, ,0)•而•∴∴•∴∴BAOB`A`O`DPXYZ题型二：线面角题型二：线面角例例6 如如图,在四棱在四棱锥P—ABCD中，底面中，底面ABCD为矩形，矩形，侧棱棱PA⊥⊥底面底面ABCD，，PA=AB=1,AD= ，在，段段BC上是否存在一点上是否存在一点E,使使PA与平面与平面PDE所成角的大小所成角的大小为450? 若存在，确定点若存在，确定点E的位置；若不存在的位置；若不存在说明理由。

明理由 DBACEPxzy题型二：线面角题型二：线面角解：以解：以A为原点，为原点，AD、、AB、、AP所在的直线分所在的直线分别为别为X轴、轴、Y轴、轴、Z轴，建立空间直角坐标系，轴，建立空间直角坐标系，设设BE=m，则，则xy2003年全国高考题ABCDEGA1B1C1z题型二：线面角题型二：线面角二面角的平面角的计算PBAlabQnm题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围•线线角线线角•复习复习•线面角线面角•二面角二面角•小结小结•引入引入练习：练习： 已知两平面的法向量分别为已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),m=(0,1,0), n=(0,1,1) n=(0,1,1)，则两平面所成的钝二面角为，则两平面所成的钝二面角为______ .______ .1350题型三：二面角题型三：二面角题型三：二面角题型三：二面角设平面例例8:如图如图:直四棱柱直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中中,底面底面ABCD为菱形菱形 , AB=AA1=4, E为AB的中点的中点求求: 1) 直直线BD1与与CE所成的角的余弦所成的角的余弦值; 2) 二面角二面角A1-CE-D的余弦的余弦值.xzyOBACA1D1B1DC1E题型三：二面角题型三：二面角•练习练习1.在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.zxyABCDS题型三：二面角题型三：二面角解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）. •设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由• 得• n1=(1,1,2). •而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).•于是二面角A-SD-C的大小θ满足• •∴∴二面角A-SD-C的大小为 .xyzAA1BCDD1C1B1P题型三：二面角题型三：二面角练习练习2：：ABXYZABXYZ如图，已知：直角梯形如图，已知：直角梯形OABC中，中，OA∥∥BC,∠∠AOC=90°，，SO⊥⊥面面OABC，且，且OS=OC=BC=1，，OA=2。

求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余所成的角的余弦值弦值(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值(3)二面角二面角B－－AS－－O的余弦值的余弦值OABCSxyz【【课后作业课后作业】】 【【巩固练习巩固练习】】 1 三棱锥三棱锥P-ABC PA⊥⊥ABC,PA=AB=AC, ,E为PC中点中点 ,则PA与与BE所成角所成角的余弦的余弦值为_________ . 2 直三棱柱直三棱柱ABC-A1B1C1中中, A1A=2, AB=AC=1, 则AC1与截面与截面BB1CC1所成所成角的余弦角的余弦值为_________ . 3正方体中正方体中ABCD-A1B1C1D1中中E为A1D1的的中点中点, 则二面角二面角E-BC-A的大小是的大小是__________ABCDMXYZABCDMGXYZ小结：小结：1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角：关键：观察二面角的范围五。

距离的计算•点与点距离•点到直线的距离•点到平面的距离•直线到与它平行平面的距离•两个平行平面的距离•异面直线的距离题型一：点到直线的距离题型一：点到直线的距离说明：说明：PABMManPAOMN题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离xyzAA1BCDD1C1B1P?题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离例例1求点P到平面α距离步骤：•1.建立适当的空建立适当的空间直角坐直角坐标系系•2.写出点的坐写出点的坐标（点（点P及及αα内三点）内三点）•3.求出向量的坐求出向量的坐标（点（点P与与αα内一点内一点A A连线向量，向量，αα内两不共内两不共线向量）向量）•4 4. .求求αα的法向量的法向量n n•5.5.求求•6.6.下下结论例2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,∠ACB=90°,求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离FBACDEGXYZ题型二：点到平面的距离题型二：点到平面的距离BAaMNnab题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离zxyABCC1即即取x=1,z则y=-1,z=1,所以EA1B1题型三：异面直线的距离题型三：异面直线的距离会求了点到平面的距离,直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离来求.例例.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AB= 4, ∠ABC=60°, 侧棱PA⊥底面AC且PA= 4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离. xzyPBEADCF题型四：线面与面面的距离题型四：线面与面面的距离空间向量理论引入立体几何中，通常涉及到夹角、平行、垂直、距离等问题，其方法是不必添加繁杂的辅助线，只要建立适当的空间直角坐建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解标系，写出相关点的坐标，利用向量运算解决立体几何问题决立体几何问题 。

这样使问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理问题完全转化为代数运算，降低了思维难度，这正是在立体几何中引进空间向量的独到之处 ABCFEDXYZABCFEDXYZ。