二维随机变量分布函数练习题.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑二维随机变量分布函数练习题 篇一：二维随机变量函数的分布 第三节 二维随机变量函数的分布 在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式 Z?g(X,Y), 现梦想通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要议论的两个随机向量函数的分布问题. 在本节中，我们重点议论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y; (ii) Z?max{X,Y}和Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立. 注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异. 内容分布图示 ★ 引言 ★ 离散型随机向量的函数的分布 ★ 例1★ 例2 ★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度★ 和的分布 ★ 例6★ 正态随机变量的线性组合 ★ 例8★ 例9★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 最大、最小分布★ 例13★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例12 ★ 例14 内容要点： 一、 离散型随机变量的函数的分布 设(X,Y)是二维离散型随机变量, g(x,y)是一个二元函数, 那么g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随机变量, 假设(X,Y)的概率分布为 P{X?xi,Y?yj}?pij (i,j?1,2,?) 设Z?g(X,Y)的全体可能取值为zk,k?1,2,?, 那么Z的概率分布为 P{Z?zk}?P{g(X,Y)?zk}? g(xi,yj)?zk ?P{X?x,Y?y}, k?1,2,?, i j 二、 连续型随机变量的函数的分布 设(X,Y)是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为f(x,y), 令g(x,y)为一个二元函数, 那么g(X,Y)是(X,Y)的函数. 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z?g(X,Y)的分布. a) 求分布函数FZ(z), FZ(z)?P{Z?z}?P{g(X,Y)?z}?P{(X,Y)?DZ}???f(x,y)dxdy. DZ 其中, DZ?{(x,y)|g(x,y)?z}. b) 求其概率密度函数fZ(z), 对几乎全体的z, 有 ?(z). fZ(z)?FZ 定理1 设(X1,X2)是具有密度函数f(x1,x2)的连续型随机向量. (1) 设y1?g1(x1,x2),y2?g2(x1,x2)是R2到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换: x1?h1(y1,y2),x2?h2(y1,y2); (2) 假设变换和它的逆都是连续的; ?h (3) 假设偏导数i(i?1,2,j?1,2)存在且连续; ?yi(4) 假设逆变换的雅可比行列式 ?h1?y J(y1,y2)?1 ?h2?y1 ?h1?y2 ?0, ?h2?y2 即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的. 那么Y1,Y2具有联合密度 w(y1,y2)?|J|f(h1(y1,y2),h2(y1,y2)). 22 定理2 设X,Y相互独立，且X~N(?1,?1). 那么Z?X?Y依旧按照正态), Y~N(?2,?2 分布，且 22 Z~N(?1??2,?1??2). 更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合依旧按照正态分布, 即有 定理3 若Xi~N(?i,?i2)(i?1,2,?,n),且它们相互独立，那么对任意不全为零的常数a1,a2,?,an，有 n?n2???aiXi~N?a?,a???ii?ii?. i?1i?1?i?1? n 三、 M?max(X,Y)及N?min(X,Y)的分布 设随机变量X,Y相互独立,其分布函数分别为FX(x)和FY(y), 由于M?max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z, 故有 FM(z)?P{M?z}?P{X?z,Y?z} ?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z); 类似地, 可得N?min(X,Y)的分布函数 FN(z)?P{N?z}?1?P{N?z}?1?P{X?z,Y?z} ?1?P{X?z}P{Y?z}?1?[1?FX(z)][1?FY(z)]. 例题选讲： 离散型随机变量的函数的分布 例1 (讲义例1) 设随机变量(X,Y)的概率分布如下表 解 由(X,Y)的概率分布可得 与一维离散型随机变量函数的分布的求法一致, 把Z值一致项对应的概率值合并可得: (1)Z?X?Y的概率分布为 (2)Z?XY例2 设X和Y相互独立, X~b(n1,p),Y~b(n2,p), 求Z?X?Y的分布. 解 这里我们利用其次章中二项分布的直观解释求之. 若X~b(n1,p), 那么X是在n1次 独立重复试验中事情A展现的次数, 每次试验中A展现的概率都为p. 同样, Y是在n2次独立重复试验中事情A展现的次数, 每次试验中A展现的概率为p,故Z?X?Y是在n1?n2次独立重复试验中事情A展现的次数, 每次试验中A展现的概率为 p, 于是Z是以(n1?n2,p)为参数的二项随机变量, 即Z~b(n1?n2,p). 例3 (讲义例2) 若X和Y相互独立, 它们分别按照参数为?1,?2的泊松分布, 证明 Z?X?Y按照参数为?1??2的泊松分布. ji e??2?2e??1?1 i?0,1,?;P{Y?j}?j?0,1,? 解 P{X?i}?i!j! 由离散型卷积公式得 P{Z?r}? ?P{X?i,Y?r?i} i?0r r ? ? i?0 e ??1 i?1 i! ?e ??2 e?(?1??2)? (r?i)!r! ?i?r2 ? i?0 r r!ir?i 1?2 i!(r?i)! e?(?1??2)?(?1??2)r,r?0,1,? r! 即Z按照参数为?1??2的泊松分布. 连续型随机变量的函数的分布 例4 (讲义例3) 设随机变量X与Y相互独立, 且同按照[0,1]上的平匀分布, 试求Z?|X?Y|的分布函数与密度函数. 解 先求Z的分布函数 FZ(x)?P{|X?Y|?z} 0,z?0? ? ??P{?z?X?Y?z},0?z?1 ?1,z?1? 0,z?0?? ??1?(1?z)2,0?z?1, ?1,z?1? 于是Z?|X?Y|的概率密度为 ?2(1?z),0?x?1 ?(z)??fZ(z)?FZ. 0,其它? 例5 设(X1,X2)的密度函数为f(x1,x2). 令 Y1?X1?X2,Y2?X1?X2 试用f表示Y1和Y2的联合密度函数. 和的分布：设X和Y的联合密度为f(x,y), 求Z?X?Y的密度. 卷积公式: 当X和Y独立时, 设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y), 那么上述两式化为 fZ(z)??fX(z?y)fY(y)dy ??? ? fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx ?? 以上两个公式称为卷积公式. 解 令y1?x1?x2,y2?x1?x2, 那么逆变换为x1? J(y1,y2)? /2 1/2 y1?y2y?y2 ,x2?1, 22??1/2?0, 1?y1?y2y1?y2?f?,?. 2?22? /2?1/2 故由定理1知, Y1和Y2的联合密度函数为w(y1,y2)? 例6 设X和Y是两个相互独立的随机变量. 它们都按照N(0,1)分布, 其概率密度为 fX(x)?fY(y)? 求Z?X?Y的概率密度. 12? 12? e?xe 2 /2 ,???x??, ?y2/2 ,???y??. 解 由卷积公式得 fZ(z)? ? ?? ?? fX(x)fY(z?x)dx x2 ??? e2?? (z?x)2??e2 ? 12? ? dx? 12? z2?e4 ? ?z?????x?? ?2? 2 ?? edx z2 1?4 t?x?z/2e 2? z2 ? ?? ?? e?t 2 1?41?4 dt?e?e, 即Z~N(0,2). 2?2z2 例7 (讲义例5) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为 ?x??xe,当x?0时, f(x)?? ?0,其它.? 假设各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数. 解 分别用X和Y表示第一、二周的需求量 那么 ?xe?x,x?0?ye?y,y?0 fX(x)??, fY(y)??, 其它其它?0,?0, 从而两周需求量Z?X?Y, 利用卷积公式计算. 当z?0时, 若x?0, 那么z?x?0,fY(z?x)?0; 若x?0, 那么fX(x)?0, 从而fZ(z)?0; 当z?0时, 若x?0, 那么fX(x)?0; 若z?x?0, 即z?x, 那么fY(z?x)?0, 故 ? ?? ?? ?z3?z3 z? fX(x)fY(z?x)dx?xe?x(z?x)e?(z?x)dx?e?z, 从而fZ(z)??6e,z?0. 06?其它?0, ? z 篇二：第3章多维随机变量及其分布习题及答案 第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点(X,Y)落在矩形域[x1?x?x2,y1?y?y2]的概率为 F(x2,y2)?F(x2,y1)?F(x1,y1)?F(x1,y2). 2、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，那么F(??,y)?3、(X,Y)的。