幂函数与指数函数的区别.pdf

实用文档. 幂函数与指数函数的区别 1.指数函数：自变量 x 在指数的位置上，y=a^x〔a>0，a 不等于 1〕 性质比拟单一，当 a>1 时，函数是递增函数，且 y>0; 当 00. 2.幂函数：自变量 x 在底数的位置上，y=x^a〔a 不等于 1〕. a 不等于 1，但可正可负，取不同的值，图像及性质是不一样的 高中数学里面，主要要掌握 a=-1、2、3、1/2 时的图像即可其中当 a=2 时，函数是过原点的二次函数 其他 a 值的图像可自己通过描点法画下并了解下根本图像的走向即可 3.y=8^(-0.7)是一个具体数值，并不是函数，如果要和指数函数或者幂函数联系起来也是可以的首先你可以将其看成：指数函数 y=8^x〔a=8〕，当 x=-0.7 时，y 的值；或者将其看成：幂函数 y=x^(-0.7)〔a=-0.7〕，当 x=8 时，y 的值 . 实用文档. 幂函数的性质： 根据图象,幂函数性质归纳如下： 〔1〕所有的幂函数在〔0，+∞〕都有定义，并且图象都过点 〔1,1〕； 〔2〕当 a>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,+ ∞)上是增函数． 特别地，当 a>1 时，幂函数的图象下凸；当 0

指出：此时 y＝x0＝1；定义域为〔－∞，0〕∪〔0，＋∞〕，特别强调， 当 x 为任何非零实数时，函数的值均为 1，图像是从点〔0，1〕出发，平行于 x轴的两条射线，但点〔0，1〕要除外 思考讨论： 〔1〕在幂函数 y＝xa 中，当 a 是正偶数时，这一类函数有哪种重要性质？ 〔2〕在幂函数 y＝xa 中，当 a 是正奇数时，这一类函数有哪种重要性质？ 讲评：〔1〕在幂函数 y＝xa 中，当 a 是正偶数时，函数都是偶函数，在第一象限内是增函数 . 实用文档. 对数函数的性质 (1)当 a＞1 时， ①x ＞0，即 0 和负数无对数； ②当 x=1 时，y=0； ③当 x ＞1 时，y＞0；当 0＜ x ＜1 时，y ＜0； ④在〔0，+∞〕上是增函数． (2)当 0＜a＜1 时， ①x ＞0，即 0 和负数没有对数； ②当 x=1 时，y=0； ③当 x ＞1 时，y ＜ 0；当 0＜ x ＜1 时，y ＞0； ④在〔0，+∞〕上是减函数． 函数叫做幂函数，其中 x 是自变量，a 是常数〔这里我们只讨论 a 是有理数 n 的情况〕． 对数与对数函数 学习目标 1、理解对数概念； 2、能进行对数式与指数式的互化； 3、掌握对数的运算性质； 4、培养应用意识、化归意识。

5、掌握对数函数的概念； 6、掌握对数函数的图像的性质； 7、掌握比拟对数大小的方法，培养应用意识； 8、培养图形结合、化归等思想 知识要点: 我们在学习过程遇到 2x=4 的问题时，可凭经验得到x=2 的解，而一旦出现2x=3 时，我们就无法用已学过的知识来解决，从而引入出一种新的运算——对数运算 1．对数的定义: 如果 ab=N(a>0， 且 a≠1)， 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数， 记作:logaN=b其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数 . 实用文档. 注意:由于 a>0，故 N>0，即 N 为正数，可见零和负数没有对数 上面的问题: 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数，以 e 为底的对数叫做自然对数， 2．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化它们的关系可由以下图表示 由此可见 a，b，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化 3．三个对数恒等式 由于对数式与指数式可以互化， 因此指数的恒等转化为对数恒等式。

在 〔a>0，a≠1〕前提下有: 4. 三个运算法那么: 指数的运算法那么通过转化可变为对数的运算法那么 在 a>0，a≠1 的前提下有: (1) 令 am=M，an=N，那么有 m=logaM，n=logaN， ∵ ，∴ m+n=loga(MN)，即 (2) ， 令 am=M，an=N，那么有 m=logaM，n=logaN， . 实用文档. ∵ ，∴ ，即 (3) ，令 am=M，那么有 m=logaM，∴mn=n ∵ Mn=amn，∴ mn= (n∈R)，∴ n = 5．两个换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0，a≠1，M>0 的前提下有: (1) 令 logaM=b，那么有 ab=M，(ab)n=Mn，即 ，即 ，即: (2) ，令 logaM=b，那么有 ab=M，那么有 即，即 ，即 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性而且由(2)还可以得到一个重要的结论: 例题选讲: 第一阶梯 [例 1]将以下对数式化为指数式，指数式化为对数式： (1)log216=4； (3)54=625； 解： . 实用文档. (1)24=16 (3)∵54=625，∴log5625=4. [例 2]解以下各式中的 x： (3)2x=3； (4)log3(x-1)=log9(x+5). 解： (3)x=log23. (4)将方程变形为 [例 3]求以下函数的定义域： . 实用文档. 思路分析： 求定义域即求使解析式有意义的 x 的范围，真数大于 0、底大于 0 且不等于 1 是对数运算有意义的前提条件。

解： (1)令 x2-4x-5>0，得(x-5)(x+1)>0，故定义域为{x|x<-1，或 x>5} ∴0<4x-3≤1 所以所求定义域为{x|-1<0，或 0 第二阶梯 [例 4]比拟以下各组数中两个值的大小 (1)log23.4， log28.5； (2)log， log0.32.7； (3)loga5.1， loga5.9(a>0，a≠1) 思路分析： . 实用文档. 题中各组数可分别看作对数函数 y=log2x、y=log0.3x、y=logax 的两函数值，可由对数函数的单调性确定 解： (1)因为底数 2>1，所以对数函数 y=log2x 在(0，+∞)上是增函数，于是log23.4log0.32.7； (3)当 a>1 时，函数 y=logax 在(0，+∞)上是增函数，所以loga5.1loga5.9。

说明：此题是利用对数函数的单调性比拟两对数的大小问题，对底数与1 的大小关系未明确指定时，要分情况对底数进行讨论来比拟两个对数的大小，利用函数单调性比拟对数的大小，是重要的根本方法 [例 5]假设 a>0， a≠1， x＞0， y＞0， x＞y， 以下式子中正确的个数是 〔 〕 (1)logax·logay=loga(x+y)； (2)logax-logay=loga(x-y)； (4)logaxy=logax·logay； A、0 B、1 C、2 D、3 思路分析： 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算如logax≠loga·x，logax 是不可分开的一个整体4 个选项都把对数符号当作字母参与运算，因此都是错误的 答案：A [例 6]lg2=0.3010，lg3=0.4771，求 思路分析：解此题的关键是设法将 的常用对数分解为 2，3 的常用对数代入计算 解： . 实用文档. 第三阶梯 [例 7]假设方程 lg(ax)· lg(ax2)=4 的所有解都大于 1， 求 a 的取值范围。

思路分析：由对数的性质，方程可变形为关于 lgx 的一元二次方程，化归为一元二次方程解的讨论问题 解：原方程化为 (lgx+lga)(lga+2lgx)=4 2lg2x+3lga·lgx+lg2a-4=0， 令 t=lgx，那么原方程等价于 2t2+3tlga+lg2a-4=0，(*) 假设原方程的所有解都大于 1，那么方程〔*〕的所有解均大于 0，那么 说明：换元要确保新变量与所替换的量取值范围的一致性 [例 8]将 y=2x 的图像〔 〕 A、先向左平行移动 1 个单位 B、先向右平行移动 1 个单位 C、先向上平行移动 1 个单位 D、先向下平行移动 1 个单位 再作关于直线 y=x 对称的图像，可得函数 y=log2(x+1)的图像 思路分析：由于第二步的变换结果是的，故此题可逆向分析 解法 1：在同一坐标系内分别作为 y=2x 与 y=log2(x+1)的图像，直接观察，即可得 D . 实用文档. 解法 2： 与函数 y=log2(x+1)的图像关于直线 y=x 以对称的曲线是它的反函数 y=2x-1 的图像，为了得到它，只需将 y=2x 的图像向下平移 1 个单位。

解法 3： 本身函数 y=2x 的图像向左或向右或向上平行移动都不会过(0，0)点，因此排除 A、B、C，即得 D 说明：此题从多角度分析问题、解决问题，注意培养思维的灵活性 [例 9]log189=a，18b=5，求 log3645 的值；〔用含有 a、b 的式子表示〕 思路分析： 当指数的取值范围扩展到有理数后， 对数运算就是指数运算的逆运算 〔扩展之前开方运算是乘方运算的逆运算〕因此，当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般要把问题转化，即统一到一种表达形式上 解：由 18b=5，得 b=log185， 又 log189=a，∴log189+log185=log3645=a+b，那么 说明：在解题过程中，根据问题的需要指数式转化为对数式，或者对数式转化为指数式运算， 这正是数学转化思想的具体表达， 转化思想是中学重要的教学思想，要注意学习、体会，逐步到达灵活应用 详细题解 1．求值:(1) (2) (3) 解: (1) (2) (3) . 实用文档. 注意:lg2=log102，此为常用对数，lg22=(lg2)2，区别于。

2．求值:(1) (2) (3) 解: (1) (2) (3) 法一： 法二： 注意:运用换底公式时，理论上换成以大于 0 不为 1 任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以 10 为底的常用对数也可3) 的第二种方法直接运用的第一个换底公式，很方便 3．:log23=a，log37=b，求:log4256=? 解:∵ ，∴ ， 4．:a2+b2=7ab，a>0，b>0 求证: . 实用文档. 证明:∵ a2+b2=7ab，∴ a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴ lg(a+b)2=lg(9ab)， ∵ a>0，b>0，∴ 2lg(a+b)=lg9+lga+lgb，∴ 2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb 即 5. : 求证:3ab-bc-2ac=0 证明:设 ，那么: ， ， ∵ ，∴ 3ab=bc+2ac， 即 3ab-bc-2ac=0 6．求值: 解: 另解:设 =m (m>0)，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ lg2=lgm，∴ 2=m，即。

. 实用文档. 课后练习: 1． 2． 3． 4．:x·log34=1，求:的值 5．:lg2=a，lg3=b，求:log512 的值 参考答案: 1. - 2. - 3. 4. 5. 对数函数的性质及应用 概念与规律: 1．对数函数 y=logax 是指数函数 y=ax 的反函数，在学习对数函数的概念，图象与性质时，要处处与指数函数相对照 2．在同一坐标系内，当 a>1 时，随 a 的增大，对数函数的图像愈靠近 x 轴；当 0时，对数函数的图象随 a 的增大而远离 x 轴〔见图 1〕 例 1．求以下函数的定义域 (1) y= (2) y=ln(ax-k·2x) (a>0 且 a≠1，k∈R) 解:(1)因为，所以 ， 所以函数的定义域为(1， ) (，2) . 实用文档. (2) 因为 ax-k·2x>0，所以()x>k 10，当 k≤0 时，定义域为 R； 20，当 k>0 时，(i)假设 a>2，那么函数定义域为(k，+∞)； (ii)假设 0，且 a≠1，那么函数定义域为(-∞，k)； (iii)假设 a=2，那么当 0时，函数定义域为 R；当 k≥1 时，此时不能构成函数，否那么定义域为。

例 2．假设 logm3.5>logn3.5(m，n>0，且 m≠1，n≠1)，试比拟 m ，n 的大小 解: (1)当 m>1，n>1 时，∵＞1，由对数函数性质:当底数和真数都大于 1 时，对同一真数，底数大的对数值小，∴n>m>1 (2)当 m>1， 0时， ∵logm3.5>0， logn3.5<0， ∴ 0也是符合题意的解 (3)当 0，0时，∵3.5＞1，由对数函数性质，此时底数大的对数值小，故 0 综上所述，m，n 的大小关系有三种:1或 0或0 例 3．作出以下函数的图象: (1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx (2) y=lg|x| (3) y=-1+lgx 解:(1)如图 2； (2)如图 3； (3)如图 4 例 4．函数 y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求 y=f(log2x)的定义域 提示:由-1≤x≤1，可得 y=f(x)的定义域为[，2]，再由 ≤log2x≤2得 y=f(log2x)的定义域为[，4]。

. 实用文档. 例 5．求函数 y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间 解:设 t=-x2+2x+3，那么 t=-(x-1)2+4，∵ y=t 为减函数，且 0≤4， ∴ y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞) 再由:函数 y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1 ∴ t=-x2+2x+3 在(-1，1〕上递增而在[1，3)上递减，而 y=t 为减函数 ∴ 函数 y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3) 例 6．f(x)=ax-a-x(其中 0 (1)求函数 f(x)的反函数 f-1(x)； (2)试判断函数 f-1(x)的奇偶性，并证明你的结论 解:(1)设 y=ax-a-x，那么 a2x-yax-1=0，∵ ax>0，解得 ax=，∴ x=loga ， ∴ 所求函数的反函数 f-1(x)=loga (x∈R) (2)∵x∈R 且 f-1(-x)=loga=loga =loga( )-1=-f-1(x) ∴函数 f-1(x)是奇函数。

例 7．f(logax)= (a>0 且 a≠1)，试判断函数 f(x)的单调性 解:设 t=logax(x∈R+，t∈R)当 a>1 时，t=logax 为增函数，假设 t11，∴ f(t1)时， 同理可得 f(t)在 R 上为增函数 ∴ 不管 a>1 或 0，f(x)在 R 上总是增函数 例 8．函数 f(x)=lg(ax2+2x+1) (1)假设函数 f(x)的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；(2)假设函数 f(x)的值域为 R，求实数 a 的取值范围 分析:与求函数定义域、值域的常规问题相比，此题属非常规问题，关键在于转化成常规问题f(x)的定义域为 R，即关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0的解集为 R，这是不等式中的常规问题 f(x)的值域为 R 与 ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数， 考察此函数的图象的各种情况，如图 5，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是。

解:(1)f(x)的定义域为 R，即:关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R， 当 a=0 时，此不等式变为 2x+1>0，其解集不是 R； 当 a≠0 时，有 a>1∴ a 的取值范围为 a>1 (2)f(x)的值域为 R，即 u=ax2+2x+1 能取遍一切正数a=0 或 0≤a≤1， ∴ a 的取值范围为 0≤a≤1 例 9． 函数 h(x)=2x(x∈R)， 它的反函数记作 g(x)， A、 B、 C 三点在函数 g(x)的图象上，它们的横坐标分别为 a，a+4，a+8(a>1)，记 ΔABC 的面积为 S (1)求 S=f(a)的表达式； (2)求函数 f(a)的值域； . 实用文档. (3) 判断函数 S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)假设 S>2，求 a 的取值范围 解:(1)依题意有 g(x)=log2x(x>0)，并且 A、B、C 三点的坐标分别为 A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图 6 ∴ A，C 中点 D 的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕 ∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8)。

(2)把 S=f(a)变形得:S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+ ) 由于 a>1 时，a2+8a>9，∴1<1+ <，又函数 y=log2x 在(0，+∞)上是增函数， ∴ 0<2log2(1+ )<2log2，即 01， a2>1， 且 a2>a1， ∴ a1+a2+8>0， +8a2>0， +8a1>0， a1-a2<0， ∴ 1<1+ <1+ ， 再由函数 y=log2x 在(0， +∞)上是增函数，于是可得 f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1，+∞)上是减函数 (4)由 S>2， 即得 ， 解之可得:10 且 a≠1，b<0)。

(1)求函数 f(x)的定义域；(2)判断函数 f(x)的奇偶性，并予以证明； (3)指出 f(x)的单调区间；(4)求函数 f(x)的反函数 3．函数 f(x)=lg(x+ )-lg2，证明:(1) f(x)的图象关于原点对称；(2)f(x)为单调函数 4．关于 x 的方程 log2(x+3)-log4x2=a 的解在区间(3，4)内，求实数 a 的取值范围 参考答案: 1．(1，2) 2. (1) (-∞， ) (- ，+∞) (2) 奇函数 (3) a>1 时，f(x)在(-∞， )，(- ，+∞)上都是增函数， 0时，f(x)在(-∞， )，(- ，+∞)上都是减函数 (4) f-1(x)= (x≠0，x∈R) 3. (1)证明 f(x)为奇函数；(2)证明 f(x)为 R 上的增函数 4．log2 专题 对数与对数函数 1．本单元重、难点分析 1〕重点：对数的定义；对数的性质与运算法那么；在理解对数函数的定义的根底上，掌握对数函数的图象和性质 2〕难点：对数定义中涉及的名称较多，易混难记；对数的运算法那么的指导和应用；对数函数的图象与性质及其运用。

2．典型例题选讲 . 实用文档. 例 1．log23=a，3b=7，求 log1256 的值 讲解：先将 3b=7 转化为 log37=b，然后设法将 log1256 化成关于 log23 和log37 的表达式，即可求值 [解法 1] ∵ log23=a，∴ 2a=3 又 3b=7，∴ 7=(2a)b=2ab，故 56=23+ab 又 12=3·4=2a·4=2a+2 从而 56=，故 log1256=log12 [解法 2]∵ log23=a， ∴ log32=， 又 3b=7， ∴ log37=b，从而 log1256= [解法 3]∵ log23==a， ∴ lg3=alg2， 又 3b=7， ∴ lg7=blg3， ∴lg7=ablg2 从而 log1256= 说明：解法 1 借助指数变形来解；解法 2 与解法 3 是利用换底公式来解，显得较简明，应用对数换底公式解这类题的关键是适中选取新的底数，从而把对数和所求对数都换成新的对数，再代入求值即可 例 2．loga3>logb3>0，那么 a，b，1 的大小关系是_______。

讲解：由对数函数的性质可知，a>1，b>1，关键是判断 a 与 b 的大小，这可以利用对数函数的单调性来解决 [解法 1] 由 loga3>logb3>0 >0 log3b>log3a>0 log3b>log3a>log31 ∵ y=log3x 是增函数，故 b>a>1 [解法 2] 由 loga3>logb3>0 >0 . 实用文档. ∵ lg3>0，∴ lga>0，lgb>0， ∴ 上式等价于>0 lgb>lga>0 lgb>lga>lg1 ∵ y=lgx 是增函数，故 b>a>1 [解法 3]分别作出 y=logax 与 y=logbx 的图象， 然后根据图象特征进行推断 ∵ loga3>logb3>0，∴ a>1，b>1，故 y=logax 与 y=logbx 均为增函数 又∵ loga3>logb3>0，∴ 当 x>1 时，y=logax 的图象应在 y=logbx 图象的上方，如下图 根据对数函数的图象分布规律，可知：b>a>1 说明：解法 1 利用了 logab 与 logba 互为倒数，转化为同底的对数，再利用单调性判断。

解法 2 利用了换底公式解法 3 利用了图象的特征 3．容易产生的错误 1〕 对数式 logaN=b 中各字母的取值范围(a>0 且 a≠1， N>0， b∈R)容易记错 2〕关于对数的运算法那么，要注意以下两点： 一是利用对数的运算法那么时， 要注意各个字母的取值范围， 即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立 如： log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的 二是不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： loga(M±N)=logaM±logaN， loga(M·N)=logaM·logaN， loga 3〕解决对数函数 y=logax (a>0 且 a≠1)的单调性问题时，无视对底数 a 的讨论 4〕关于对数式 logaN 的符号问题，既受 a 的制约又受 N 的制约，两种因素交织在一起，学生应用时经常出错下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考 以 1 为分界点，当 a，N 同侧时，logaN>0；当 a，N 异侧时，logaN<0。

反应练习 一、选择题 1．设 a,b,c 为正数，且 3a=4b=6c，那么有〔 〕 A、 B、 C、 D、 . 实用文档. 2．，那么 a 的取值范围是〔 〕 A、 B、 C、 D、 或 a>1 3．图 2 中曲线是对数函数y=logax的图象， a 值取 ，那么相应于 C1，C2，C3，C4 的 a 值依 次为〔 〕 A、 B、 C、 D、 4．函数的单调递增区间为〔 〕 A、(-∞,3] B、(-∞,1)或[3，5) C、[3,+∞) D、(1,3)或(5, +∞) 5．设偶函数 f(x)=loga|x-b| 在(-∞,0)上是增函数，那么 f(a+1)与 f(b+2)的大小关系是〔 〕 A、f(a+1)=f(b+2) B、f(a+1)>f(b+2) C、f(a+1) D、不能确定 6．设方程 2x+x-3=0 的根为 α，方程 log2x+x-3=0 的根为 β，那么 α+β的值是〔 〕 A、1 B、2 C、3 D、6 二、填空题： 7．函数 y=loga(kx2+4kx+3)，假设函数的定义域为 R，那么 k 的取值范围是__________； 假设函数的值域为 R，那么 k 的取值范围是________。

8．函数，那么 f(log23)的值为_______ . 实用文档. 9．a=0.33,b=30.3, c=log30.3, d=log0.33，那么 a,b,c,d 的大小关系是______ 三、解答题： 10．设 logac, logbc 是方程 x2-3x+1=0 的两根，求的值 11．设 1〕判断 f(x)的单调性，并给出证明； 2〕 假设 f(x)的反函数为 f-1(x)， 证明 f-1(x)=0 有唯一解； 3〕解关于 x 的不等式 12．光线通过一块玻璃板，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为 a，通过 x 块玻璃板以后强度值为 y 1〕试写出 y 关于 x 的函数关系式； 2〕通过多少块玻璃板以后，光线强度减弱到原来的以下 答案： 一、选择题 1、B 2、D 3、A 4、B 5、B 6、C 1．设 3a=4b=6c=k, 那么 a=log3k, b=log4k, c=log6k, ∴, 同理 ， ， 而， ∴ ，即 2．当 a>1 时，由 知，故 a>1； 当 0时，由知 0

. 实用文档. 综上知：a 的取值范围是 或 a>1 4．因为，所以只求出 y=|x2-6x+5| 的递减区间即可f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,5)∪(5,+∞)作出 y=|x2-6x+5|=|(x-3)2-4|的图象如图 3所示，由图象即可知 5．由 f(x)是偶函数，得 b=0； 又因为 f(x)在(-∞,0)上是增函数，得 0 所以 0，由 f(x)在(0,+∞)上是减函数，得 f(a+1)>f(b+2) 6．将方程整理得 2x=-x+3，log2x=-x+3，如图4所示， 可知a是指数函数y=2x的图象与直线y=-x+3的交点 A 的横坐标；β 是对数函数 y=log2x 的图象与直线 y=-x+3 的交点 B 的横坐标由于函数 y=2x 与函数 y=log2x 互为反函数，它们的图象关于直线 y=x 对称， 所以A， B两点也关于直线y=x对称， 所以A(α,β), B(β,α) 注意到A(α,β)在直线 y=-x+3 上，所以有 β=-α+3，即 α+β=3 二、填空题： 7． 要使函数的定义域为 R，只需对一切实数 x, kx2+4kx+3>0 恒成立，其充要条件是 k=0 或 解得 k=0 或 ，故 k 的取值范围是。

要使函数的值域为 R，只需 kx2+4kx+3 能取遍一切正数，那么，解得 故 k 的取值范围是 8． ∵14, ∴. . 实用文档. 又∵当 x<4 时，f(x+1)=f(x), ∴f(log23)=f(1+log23)=f(2+log23)=f(3+log23)=. 9．b>a>d>c, ∵0.3>0，3>0, ∴a=0.33>0, b=30.3>0. ∵3>1, 0<0.3<1, ∴c=log30.3<0, d=log0.33<0 又∵b=30.3>1, a=0.33<1, ∴ b>a 而, , ∴d>c. 三、解答题： 10．依题意得：即 ， 即 ∴ ∴ 故 11． 1〕由得-1所以 f(x)的定义域为(-1,1). 设-10, (1-x1)(1+x2)>0, (1+x1)(1-x2)>0, . 实用文档. 所以 所以，又易知 ， ∴ f(x1)-f(x2)>0 ， 即 f(x1)>f(x2). 故 f(x)在(-1,1)上是减函数。

2〕 因为， 所以 ， 即 f-1(x)=0 有一个根 假设 f-1(x)=0 还有一个根，那么 f-1(x0)=0， 即，这与 f(x)在(-1,1)内单调递减相矛盾 故是方程 f-1(x)=0 的唯一解 3〕因为，所以 又 f(x)在(-1,1)上单调递减，所以 解得 12． 1]经过 1 块玻璃板后光线强度为：(1-10%)a=； 经过 2 块玻璃板后光线强度为：(1-10%)·=； 经过 3 块玻璃板后光线强度为：(1-10%)·=； …… 经过 x 块玻璃板后光线强度为：0.9xa. 所以，y=0.9xa (x∈N+). 2]由题意可知：， ∴ ， 两边取常用对数得：xlg0.9 ，又 lg0.9<>∴ . . 实用文档. 故 xmin=11. 答：需要 11 块以上玻璃板重叠起来，光线强度减弱到原来的以下 检测题 1、在 b=log(a-2)(5-a)中，实数 a 的范围是〔 〕 A、a>5 或 a<2 B、2 B、1 D、2 3、假设 logab=logba(a≠b)，那么 ab=〔 〕 A、1 B、2 D、4 4、假设 lg2=a，lg3=b，那么 log512 等于〔 〕 6、 〔 〕 . 实用文档. 7、y=(0.2)-x+1 的反函数是〔 〕 A、 y=log5x+1(x>0) B、 y=log5x+1(x>0 且 x≠1) C、y=log5(x+1)(x>-1) D、y=log5(x-1)(x>1) 8、y=loga(2-ax)在[0，1]上是 x 的减函数，那么 a 的取值范围是〔 〕 A、〔0，1〕 B、〔1，2〕 C、〔0，2〕 D、[2，+∞〕 9、假设 0

12、计算 答案： 1—5 C A A C A 6—10 C D B D A 12、 〔1〕原式=1； 〔2〕原式=1 指数函数 指数函数的一般形式为 y=a^x(a>0 且不=1) ， 从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整个实数集合为定义域，那么只有使得 如下图为 a 的不同大小影响函数图形的情况 . 实用文档. 在函数 y=a^x 中可以看到： 〔1〕 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a 大于 0 且不等于 1，对于 a 不大于 0 的情况，那么必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时 a 等于０一般也不考虑 〔2〕 指数函数的值域为大于 0 的实数集合 〔3〕 函数图形都是下凹的 〔4〕 a 大于 1，那么指数函数单调递增；a 小于 1 大于 0，那么为单调递减的 〔5〕 可以看到一个显然的规律，就是当 a 从 0 趋向于无穷大的过程中〔当然不能等于 0〕，函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。

其中水平直线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置 〔6〕 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,永不相交 〔7〕 函数总是通过〔0，1〕这点 〔8〕 显然指数函数无界 〔9〕 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 〔10〕当两个指数函数中的 a 互为倒数是，此函数图像是偶函数 例 1：以下函数在 R 上是增函数还是减函数？说明理由. ⑴y=4^x 因为 4>1，所以 y=4^x 在 R 上是增函数； ⑵y=(1/4)^x 因为 0<1/4<1,所以 y=(1/4)^x 在 R 上是减函数 对数的概念 如果 a(a>0，且 a≠1)的 b 次幂等于 N，即 ab=N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作：logaN=b,其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0 且 a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以 10 为底的对数叫常用对数，记作 log10N,简记为 lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. . 实用文档. 2 对数式与指数式的互化 式子名称 abN 指数式 ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式 logaN=b(底数)(对数)(真数) 3 对数的运算性质 如果 a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 自然对数到底有什么用？ 自然对数 当 x 趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x 的极限就等于 e，实际上 e 就是通过这个极限而发现的。

它是个无限不循环小数其值约等于 2.718281828... 它用 e 表示 以 e 为底数的对数通常用于㏑ 而且 e 还是一个超越数 e 在科学技术中用得非常多，一般不使用以 10 为底数的对数以 e 为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然〞的，所以叫“自然对数〞 涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比方：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星…… 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： φkρ=αe 其中，α 和 k 为常数，φ 是极角，ρ 是极径，e 是自然对数的底为了讨论方便，我们把 e或由 e 经过一定变换和复合的形式定义为“自然律〞因此，“自然律〞的核心是 e，其值为2.71828……，是一个无限循环数 、“自然律〞之美 . 实用文档. “自然律〞是 e 及由 e 经过一定变换和复合的形式e 是“自然律〞的精髓，在数学上它是函数： (1+1/x)^x 当 X 趋近无穷时的极限 人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 (1+1/x)^x X 的 X 次方，当 X 趋近无穷时的极限。

正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向开展〔当 X 趋向正无穷大的时，上式的极限等于 e=2.71828……，当 X 趋向负无穷大时候，上式的结果也等于 e=2.71828……〕得来的共同形式，充分表达了宇宙的形成、开展及衰亡的最本质的东西 现代宇宙学说明，宇宙起源于“大爆炸〞，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解 如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程 生命体的进化却与之有相反的特点， 它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同， 它使生命物质能防止趋向与环境衰退 任何生命都是耗散结构系统， 它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。

新陈代谢中本质的东西， 乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵 “自然律〞一方面表达了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程〔如元素的衰变〕，另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的开展〔如细胞繁殖〕的本质正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律〞才在美学上有重要价值 如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律〞无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律〞有序而欣欣向荣的动态稳定结构因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原那么使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福 e=2.71828……是“自然律〞的一种量的表达自然律〞的形象表达是螺线螺线的数学表达式通常有下面五种：〔1〕对数螺线；〔2〕阿基米德螺线；〔3〕连锁螺线；〔4〕双曲. 实用文档. 螺线；〔5〕盘旋螺线对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式对数螺线是 1638 年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。

伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上 英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到： 旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心， 都是美的形状 事实上， 我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线 为什么我们的感觉、我们的“精神的〞眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在〞世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 我们知道，作为生命现象的根底物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷， 是同其结构紧密相关的 化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的 古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应〞让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状 这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、 发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在〞与“外在〞和谐的自然根底 有人说数学美是“一〞的光芒，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多〞与“一〞的统一，那么“自然律〞也同样闪烁着“一〞的光芒。

谁能说清 e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚毅、 明朗和坦率， 欣赏曲线的优美、 变化与含蓄， 殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的局部来组成有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律〞也同样有这种统一人类的认识是按否认之否认规律开展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证开展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！ 有人说美在于事物的节奏，“自然律〞也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律〞也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律〞也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等 “自然律〞是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一这就是“自然律〞揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律〞永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。

〔原载?科学之春?杂志 1984 年第 4 期，原题为：?自然律——美学家和艺术家的瑰宝?〕 . 实用文档. 附： 这是小数点后面两千位： e=:2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 78623 20900 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51930 33224 74501 58539 04730 41995 77770 93503 66041 69973 29725 08868 76966 40355 57071 62268 44716 25607 98826 51787 13419 51246 65201 03059 21236 67719 43252 78675 39855 89448 96970 96409 75459 18569 56380 23637 01621 12047 74272 28364 89613 42251 64450 78182 44235 29486 36372 14174 02388 93441 24796 35743 70263 75529 44483 37998 01612 54922 78509 25778 25620 92622 64832 62779 33386 56648 16277 25164 01910 59004 91644 99828 93150 56604 72580 27786 31864 15519 56532 44258 69829 46959 30801 91529 87211 72556 34754 63964 47910 14590 40905 86298 49679 12874 06870 50489 58586 71747 98546 67757 57320 56812 88459 20541 33405 39220 00113 78630 09455 60688 16674 00169 84205 58040 33637 95376 45203 04024 32256 61352 78369 51177 88386 38744 39662 53224 98506 54995 88623 42818 99707 73327 61717 83928 03494 65014 34558 89707 19425 86398 77275 47109 62953 74152 11151 36835 06275 26023 26484 72870 39207 64310 05958 41166 12054 52970 30236 47254 92966 69381 15137 32275 36450 98889 03136 02057 24817 65851 18063 03644 28123 14965 50704 75102 54465 01172 72115 55194 86685 08003 68532 28183 15219 60037 35625 27944 95158 28418 82947 87610 85263 98139 参考资料： 1.?自然律——美学家和艺术家的瑰宝? 旋涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比方：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星…… 螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达： . 实用文档. φkρ=αe 其中，α 和 k 为常数，φ 是极角，ρ 是极径，e 是自然对数的底。

为了讨论方便，我们把 e或由 e 经过一定变换和复合的形式定义为“自然律〞因此，“自然律〞的核心是 e，其值为2.71828……，是一个无限循环数 数，美吗？ 1、数之美 人们很早就对数的美有深刻的认识 其中， 公元前六世纪盛行于古希腊的毕达哥斯学派见解较为深刻他们首先从数学和声学的观点去研究音乐节奏的和谐，发现声音的质的差异〔如长短、上下、轻重等〕都是由发音体数量方面的差异决定的例如发音体〔如琴弦〕长，声音就长；振动速度快，声音就高；振动速度慢，声音就低因此，音乐的根本原那么在于数量关系 毕达哥斯学派把音乐中的和谐原理推广到建筑、 雕刻等其它艺术， 探求什么样的比例才会产生美的效果，得出了一些经验性的标准例如，在欧洲有长久影响的“黄金律〞据说是他们发现的〔有人说，是蔡泌于一八五四年提出了所谓的“黄金分割律〞所谓黄金分割律“就是取一根线分为两局部，使长的那局部的平方等于短的那局部乘全线段〞“如果某物的长与宽是按照这个比例所组成的，那么它就比由其它比例所组成的长方形‘要美’ 这派学者还把数学与和谐的原那么应用于天文学的研究，因而形成所谓“诸天音乐〞或“宇宙和谐〞的概念，认为天上诸星体在遵照一定的轨道运动中，也产生一种和谐的音乐。

他们还认为，人体的机能也是和谐的，就象一个“小宇宙〞人体之所以美，是由于它各局部——头、手、脚、五官等比例适当，动作协调；宇宙之所以美，是由于各个物质单位以及各个星体之间运行的速度、距离、周转时间等等配合协调这些都是数的和谐 中国古代思想家们也有类似的观点道家的老子和周易?系辞传?，都曾尝试以数学解释宇宙生成，后来又衍为周易象数派周易?中贲卦的表示朴素之美，离卦的表示华美之美，以及所谓“极其数，遂定天下之象〞，都是类似数学推理的结论儒家的荀卿也说过：“万物同宇宙而异体无宜而有用为人， 数也〞庄子把“小我〞与“大我〞一视同仁，“小年〞与“大年〞等量齐观， 也略同于毕达哥拉斯学派之把“小宇宙〞和“大宇宙〞互相印证 所谓“得之于手而应用于心，口不能言，有数存在焉与其间〞这种从数的和谐看出美的思想，深深地影响了后世的中国美学 2、黄金律之美 黄金律历来被染上瑰丽诡秘的色彩，被人们称为“天然合理〞的最美妙的形式比例我们知道，黄金律不仅是构图原那么，也是自然事物的最正确状态中世纪意大利数学家费勃奈舍发现，许多植物叶片、花瓣以及松果壳瓣，从小到大的序列是以 0.618：1 的近似值排列的，. 实用文档. 这即是著名的“费勃奈舍数列〞：1、2、3、5、8、13、21、34……动物身上的色彩图案也大体符合黄金比。

舞蹈教练、体操专家选择人材制定的比列尺寸，例如肩宽和腰的比例、腰部以上与腰部以下的比列也都大体符合黄金比 现代科学家还发现，当大脑呈现的“倍塔〞脑电波的高频与低频之比是 1：0.618 的近似值(12.9 赫兹与 8 赫兹之比)时，人的心身最具快感甚至，当大自然的气温〔23 摄氏度〕与人的体温 37 摄氏度之比为 0.618:1 时,最适宜于人的身心健康,最使人感到舒适 另外， 数学家们为工农业生产制度的优选法，所提出的配料最正确比例、组织结构的最正确比例等等，也都大体符合黄金律 然而，这并不意味着黄金律比“自然律〞更具有美学意义我们可以证明，当对数螺线： φkρ=αe 的等比取黄金律，即 k=0.0765872，等比 P1/P2=0.618 时，那么螺线中同一半径线上相邻极半径之比都有黄金分割关系事实上，当函数 f〔X〕等于 e 的 X 次方时，取 X 为 0.4812,那么，f〔X〕=0.618…… 因此，黄金律被“自然律〞逻辑所蕴含换言之，“自然律〞囊括了黄金律 黄金律表现了事物的相对静止状态，而“自然律〞那么表现了事物运动开展的普遍状态因此，从某种意义上说，黄金律是凝固的“自然律〞，“自然律〞是运动着的黄金律。

3、“自然律〞之美 “自然律〞是 e 及由 e 经过一定变换和复合的形式e 是“自然律〞的精髓，在数学上它是函数： 1〔1+——〕 X 的 X 次方，当 X 趋近无穷时的极限 人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究 1〔1+——〕 X 的 X 次方，当 X 趋近无穷时的极限正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向开展〔当 X 趋向正无穷大的时，上式的极限等于 e=2.71828……，当 X 趋向负无穷大时候，上式的结果也等于 e=2.71828……〕得来的共同形式，充分表达了宇宙的形成、开展及衰亡的最本质的东西 . 实用文档. 现代宇宙学说明，宇宙起源于“大爆炸〞，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解 如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点， 它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同， 它使生命物质能防止趋向与环境衰退 任何生命都是耗散结构系统， 它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵新陈代谢中本质的东西， 乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵 “自然律〞一方面表达了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程〔如元素的衰变〕，另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的开展〔如细胞繁殖〕的本质正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律〞才在美学上有重要价值 如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律〞无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律〞有序而欣欣向荣的动态稳定结构因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原那么使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福 e=2.71828……是“自然律〞的一种量的表达自然律〞的形象表达是螺线螺线的数学表达式通常有下面五种：〔1〕对数螺线；〔2〕阿基米德螺线；〔3〕连锁螺线；〔4〕双曲螺线；〔5〕盘旋螺线。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式对数螺线是 1638 年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上 英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到： 旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心， 都是美的形状 事实上， 我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线 为什么我们的感觉、我们的“精神的〞眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？这难道不意味着我们的精神，我们的“内在〞世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？ 我们知道，作为生命现象的根底物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷， 是同其结构紧密相关的 化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的 . 实用文档. 古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。

这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应〞让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状 这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？还有我们的指纹、 发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在〞与“外在〞和谐的自然根底 有人说数学美是“一〞的光芒，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多〞与“一〞的统一，那么“自然律〞也同样闪烁着“一〞的光芒谁能说清 e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？人们赞扬直线的刚毅、 明朗和坦率， 欣赏曲线的优美、 变化与含蓄， 殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的局部来组成有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律〞也同样有这种统一人类的认识是按否认之否认规律开展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证开展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？螺线！ 有人说美在于事物的节奏，“自然律〞也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律〞也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律〞也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。

“自然律〞是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一这就是“自然律〞揭示的全部美学奥秘吗？不！“自然律〞永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然正因为如此，它才吸引并且值的人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量〔原载?科学之春?杂志 1984 年第 4 期，原题为：?自然律——美学家和艺术家的瑰宝?〕 2，尤拉的自然对数底公式 〔大约等于 2.71828 的自然对数的底——e〕 尤拉被称为数字界的莎士比亚，他是历史上最多产的数学家，也是各领域〔包含数学中理论与应用的所有分支及力学、光学、音响学、水利、天文、化学、医药等〕最多著作的学者数学史上称十八世纪为“尤拉时代〞 尤拉出生于瑞士，31 岁丧失了右眼的视力，59 岁双眼失明，但他性格乐观，有惊人的记忆力及集中力，使他在 13 个小孩子吵闹的环境中仍能精确思考复杂问题 尤拉一生谦逊，从没有用自己的名字给他发现的东西命名。

只有那个大约等于 2.71828 的自然对数的底，被他命名为 e但因他对数学广泛的奉献，因此在许多数学分支中，反而经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理 我们现在习以为常的数学符号很多都是尤拉所创造介绍的，例如：函数符号 f〔x〕、π、e、∑、logx、sinx、cosx 以及虚数 i 等高中教师常用一那么自然对数的底数 e 笑话，帮助学生记忆一个很特别的微分公式：在一家精神病院里，有个病患整天对着别人说，“我微分你、. 实用文档. 我微分你〞也不知为什么，这些病患都有一点简单的微积分概念，总以为有一天自己会像一般多项式函数般，被微分到变成零而消失，因此对他避之不及，然而某天他却遇上了一个不为所动的人，他很意外，而这个人淡淡地对他说，“我是 e 的 x 次方〞 这个微分公式就是：e 不管对 x 微分几次，结果都还是 e！难怪数学系学生会用 e 比喻坚决不移的爱情！ 相对于 π 是希腊文字中圆周第一个字母，e 的由来较不为人熟知有人甚至认为：尤拉取自己名字的第一个字母作为自然对数 而尤拉选择 e 的理由较为人所接受的说法有二：一为在 a，b，c，d 等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是 e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为 e 是指数的第一个字母，虽然你或许会疑心瑞士人尤拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。

. 实用文档. 双曲余弦函数 coshx=(e^x+e^(-x))/2 判断双曲正弦函数和双曲余弦函数的奇偶性并证明 求详解！ 双曲正弦函数 sinhx=(e^x-e^(-x))/2 是奇函数 证明如下： 设 f(x)=[e^x-e^(-x)]/2 那么 f(-x)=[e^(-x)-e^x]/2=-[e^x-e^(-x)]/2=-f(x) 所以双曲正弦函数 sinhx=(e^x-e^(-x))/2 是奇函数 双曲余弦函数 coshx=[e^x+e^(-x)]/2 是偶函数 证明如下： 设 g(x)=[e^x+e^(-x)]/2 那么 g(-x)=[e^(-x)+e^x]/2=g(x) 所以双曲余弦函数 coshx=[e^x+e^(-x)]/2 是偶函数 公式表达式 乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 b2-4ac>0 注：方程有一个实根 b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga . 实用文档. cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前 n 项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角 B 是边 a 和边 c 的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：〔a,b〕是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h' 圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的外表积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积， L 是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 。