等腰三角形中的数学思想.doc

等腰三角形中的数学思想等腰三角形中的数学思想数学思想是解数学题的金钥匙，在等腰三角形中，根据题目的特征，巧妙灵活地运用 数学思想解题，可化繁为简，起到事半功倍之效，同时也可有效地防止某些错误发生，现 举例说明. 一一. . 方程思想方程思想 例例 1:等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成 12cm 和 21cm 两部分,求这个 等腰三角形的底边长. 分析分析:这是几何中的代数问题,不妨考虑通过设未知数,利用方程(组)思想来解决. 解解:设这个等腰三角形的腰长分别为 2xcm,底边长为 ycm,则或或  21,123yxx 12,213yxx 舍   174 yx . 5, 7yx答:这个等腰三角形底边长是 5cm 评注评注:方程(组)思想是数学学习中的一个重要思想,它是通过设未知数,利用题意来设法建 立方程(组),在求解,求出三角形的边必须用三角形边与边不等关系来检验,决定取舍. 二二. . 分类讨论思想分类讨论思想 例例 2 已知等腰三角形的一个角为 400，则其顶角为（）. A.400 B.800 C. 400或 800 D. 1000 分析：分析：因为并未说明等腰三角形中 400的角是顶角还是底角，所以需要对角进行分类 讨论。

例例 3 已知等腰三角形的一边长为 4，另一边长为 5，则它的周长是__________. 周长是 13 或 14. 三三. . 整体思想整体思想 例例 3：如图 2，在△BAC 中，AB=AC,AB+BC=13,AB 边的垂 直平分线 MN 交 AC 于 D,求△BCD 的周长. 解解:∵MN 垂直平分 AB 交 AC 于 D,∴BD=AD.又∵AB=AC, ∴△BCD 的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB=13. 评注评注:本题若分别求三边长,则不易求解,而巧妙地应用整体思想求解严防等腰三角形中的严防等腰三角形中的““陷阱陷阱””一、利用顶角与底角不分设陷一、利用顶角与底角不分设陷 对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如 果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论分类时要注意：三角形内角和等于 180 ；等腰三角形中至少有两个角相等．0例 1．等腰三角形 ABC 中，∠Ａ＝70 ，求∠Ｂ，∠Ｃ的度数．0剖析：∠Ａ可以是顶角，也可以是底角，因此本题有两解，当∠Ａ是顶角时，∠Ｂ＝∠Ｃ＝５５ ；当∠Ａ是底角时，若∠Ｂ是顶角时，∠Ｂ＝40 ，∠Ｃ＝70 ；000若∠Ｂ是底角时，∠Ｂ＝70 ，∠Ｃ＝40 ．00二、利用腰与底不分设陷二、利用腰与底不分设陷 例 2．等腰三角形一腰上的中线将其周长分为 12㎝和 15㎝两部分，求三边长． 即三边长为 8㎝，8㎝，11㎝，或 10㎝，10㎝，7㎝． 例 3．等腰三角形中，一边与另一边之比为 3：2，该三角形周长为 56， 求腰长是多少？CNMDBA图 2错解：设腰长为 3ｘ，则底为 2ｘ，则 3ｘ＋2ｘ＋3ｘ＝56， ∴ｘ＝7，∴腰长为 21， 剖析：当腰为 2ｘ时，底为 3ｘ，则有 2ｘ＋2ｘ＋3ｘ＝56， ∴ｘ＝8，∴腰长为 16．变一变变一变 思路宽思路宽例例 如图，点分别在正三角形的边上，且，MN，ABCBCCA，BMCN交于点．求证：．AMBN，Q60BQM o∠一、变结论若将题中“”与“”的位置交换，得到的结论是否仍是正确？BMCN60BQM o∠二、变位置若将题中的点分别移动到的延长MN，BCCA，线上，是否仍能得到？60BQM o∠所以。

ACMBAN△≌△（SAS）所以．60BQMo三、变图形若将题中的条件“点分别在正三角形的边上”改为“点分别MN，ABCBCCA，MN，在正方形的边上”，是否仍能得到？ABCDBCCD，60BQM o∠析解：原来是等边三角形变成了正方形， 往往有的同学们在 做了上面习题后，会猜想下面的结论也是成立的，但要经过推理、 验证 如图，所以RtRtABMBCN△≌△（SAS） 所以．AMBBNC  四、等腰三角形的证明题 例 5 如图 3，已知△ ABC 中，AB = AC ， D 、E 分别是 AB 和 BC 上的点，连结 DE 并 延长与 AC 的延长线交于点 F ，若 DE =EF ，求证：BD = CF 证明：过 D 作 DG∥AF 交 BC 于 G 则∠F=∠GDE，DE=EF，∠DEG=∠FEC ∴△DGE≌△FCE ∴GD=CF 又∵AB=AC ∴∠B=∠ACB 又∵∠ACB=∠BGD ∴∠B=∠BGD ∴BD=GD 又∵GD=CF ∴BD=CF 巧构等腰三角形妙解题巧构等腰三角形妙解题ACNQMBACQMBNADNCBQMABCFD图 3一、 “角平分线平行线”构造等腰三角形 例 1、如图，在△ABC 中，已知∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 F，过 F 作 DE//BC，交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，若 BDCE=10，则线段 DE 的长为_______FEDCBA二、 “角平分线垂线”构造等腰三角形 例 2、如图所示，在△ABC 中，BM 是∠ABC 的平分线，AD⊥BM 于点 D，求证：∠BAD=∠DAC∠CMEDCBA三、用“垂直平分线” 构造等腰三角形 例 3、如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，∠B=15°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 M，BD=8，求 AC 的长MDCBA四、用“三角形中 2 倍角的关系” 构造等腰三角形 例 4、如图所示，在△ABC 中，AD⊥BC 于点 D，∠B=2∠C，求证： ABBDCD 分析：由已知 AD⊥BC，∠B=2∠C，如果我们在 CD 上截取 DE=DB，连接 AE，就可 以构造出两个等腰三角形△ABE 和△AECEDCBA证明：在上截取 DE=DB，连接 AE，∵AD⊥BC，DE=DB，∴AE=AB，∴∠B=∠AEB，又∵∠AEB=∠C∠CAE=2∠C，∴∠CAE=∠C，∴AE=EC， ABBDAEEDECEDCD。