数本二班陈光明110641004.pdf

班级： 11 级数本 2 班 学号： 110641004 姓名：陈光明6 第一章实数集与函数 若数集 S 既有上界又有下界，则称S 为有界集 若 S 不是有 界集，则称 S为无界集 ． 例 1证明数集N={n︱n 为正整数 }有下界而无上界证显然，任何一个不大于 1 的实数是N的下界，故为N有下界的数集 为证N无上界，按照定义只需证明： 对无论多大的数 M，总存在某个正数no（∈N） ，使得no>M.事实上，对于任何的正整数 M（无论多大），取[M]+1①，则n0∈N,且no＞M，这就证明了N无上界读者还可以自行明： 任何有限区间都是有界集， 无限区间都是 无界集；由有限个数组成的数集是有界集 若数集 S 有上界，显然它有无穷多个上界， 而其中最小的一个 上界常常具有重要的作用，称它为数集S 的上确界同样，有下 界数集的最大下界，称为该数集的下确界．下面给出数集的上确 界和下确界的精确定义． 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集 .若数满足: i 对一切 xS，有 x≤，即是 S的上界ii 对任何＜，存在xoS，使得xo＞，即又是 S 的最小上界，则称数为数集 S的上确界 ，记作=supS②定义 3 设 S 是 R 中的一个数集 .若数满足:i 对一切 xS，有 x≥，即是 S的下界；ii 对任何＞，存在xoS，使得xo＜，即又是 S 的最大下界，则称数为数集 S的下确界 ，记作inf S 上确界与下确界统称为 确界。

例 2 设 S={x|x 为区间（ 0，1）内的有理数 }. 试按上、下确 界的定义验证： sup S＝1，inf S ＝0. 解：先验证 supS=1 ①x表示不超过数x的最大整数，例如9 ,2=51 ,4. ②sup 是拉丁文 suprermum（上确界）一词的简写；下面的inf 是拉丁文 infimum （下确界）一词的简写. 班级： 11 级数本 2 班 学号： 110641004 姓名：陈光明§2 数集确界原理7 i 对一切 xS,显然有 x ≤1，即 1 是 S的上界ii 对任何﹤１，若≤0，则任取x0S都有x0＞；若＞0，则由有理数集在实数集中的稠密性，在（，1）内必有 有理数x0，即存在x0S，使得x0＞. 类似地可验证 inf S=0. 读者还可以自行验证 : 闭区间 [0,1] 的上下确界分别为1 和 0；对于数集 E={ nn) 1(|n=1 ，2, ,}有 sup E= 21,inf E=-1;正整数集N有上界 infN=1, 注 1 有上(下)确界的定义可见 , 若数集 S 存在上 (下)确界, 则一定是唯一的 . 又若数集 S存在上下确界 , 则有 inf S ≤sup S. 注 2 从上面一些例子可见 , 数集 S 的确界可能属于S，也可 能不属于 S. 例 3 设数集 S有上确界 . 证明=sup S S=max s①. 证）设=sup S S,则对一切 xS有 x≤, 而S,故是数集 S中最大的数 , 即=max S ）设=max S, 则S; 下面验证=sup S; i对一切 xS，有 x≤，即是 S的上界； 。

ii对任何＜，只须取x0=S，则x0＞从而满足=sup S 的定义 . 关于数集确界存在性 , 我们给出如下确界原理 . 定理 1.1( 确界原理 ) 设 S为非空数集 . 若 S有上界 , 则 S必有 上确界 ; 若 S有下界 , 则 S必有下确界 . 证我们只证明关于上确界的结论, 后一结论可类似证明 . 为叙述的方便起见 , 不妨设 S含有非负数 . 由于 S有上界 , 故可 找到非负整数 n, 使得 1) 对于任何 xS有 x＜n+1; 2) 存在a0S使a0≥n．对半开区间［ｎ，ｎ＋１﹚作１０等分， 分点为1. n，2.n， ． ． ． ，9 .n， 则存在9,...,2, 1 ,0中的一个数n1，使得①记号 max 是 maximum（最大）一词的简写，Smax表示数是数集 S中最大的数 .一下出现的记号min 是 minimum （最小）一词的简写，minS 表示数集 S 中最下 的数 . 班级： 11 级数本 2 班 学号： 110641004 姓名：陈光明8 第一章实数集与函数１）对于任何xS有 x＜101.1nn；２）存在a1Ｓ，使a1≥nn1.．再对半开区间［nn1.，101.1nn﹚作１０等分， 存在9,...,2, 1 ,0中的一个数n2，使得１）对于任何xS有x＜ 102211.nnn；2）存在a2S，使得a2≥nnn21.. 继续不断地 10 等分在前一步棸中所得到的半开区间, 可知对 任何 k=,...2, 1, 存在9,...,2, 1 ,0中的一个数nk，使得1 ） 对 于 任 何xS有x＜ 101....21kknnnn；（1） 2）存在akS，使ak≥nnnkn....21. 将上述步骤无限地进行下去, 得到实数=nnnkn....21,. 以下证明=sup S. 为此只须证明 : i 对一切xS 有x≤; ii 对于任何＜, 存在'S 使＜'. 倘若结论 i 不成立 , 即存在xS 使x＞, 则可以找到x的 k位不足近似xk使xk＞ 101....21kkknnnn, 从而得 x＞ 101....21kknnnn, 但这与不等式 (1) 相矛盾 . 于是 i 得证. 现设＜, 则存在 k 使的 k 位不足近似k＞k, 即nnnkn....21＞ k. 根据数的狗构造 , 存在a'S使a'≥k, 从而有班级： 11 级数本 2 班 学号： 110641004 姓名：陈光明§2 数集确界原理9 a'≥k＞k≥, 即得到＜'说明 ii 成立. 在本书中确界原理是极限理论的基础, 读者应给予充分的重 视. 例 4 设 A、 B为非空数集，满足：对一切xA和yB有 x≤y 证明：数集 A有上界，数集 B有下界，且 Sup A≤inf B （2） 证由假设，数集 B中任意一数 y 都是数集 A的上界，A中的 任一数 x都是 B的下界，故由确界原理推知数集B有下界。

现证不等式（ 2）. 对任何 yB，y 是数集 A的一个上界，而由 上确界的定义知， sup A 是数集 A的最小上界，故 supA≤y而此 时又表明 sup A 是数集 B的一个下界，故由下界的定义证得supA ≤inf B. 例 5 设 A、B为非空有界数集， S=AB证明： i sup S=max﹛sup A,sup B ﹜；ii inf S=min ﹛inf A,inf B﹜. 证由于 S=AB显然也是非空有界集，因此S的上、下确界 都存在 i 对于任何 xS，有 xA或 xBx ≤sup A 或 x≤sup B，从而有 x≤max ﹛sup A,sup B ﹜，故得 sup S ≤Smax ﹛sup A,sup B﹜ 另一方面对任何 xA，有 xSx≤sup Ssup A≤sup S； 同理又有 sup B≤sup S所以 sup S≥max ﹛sup A,sup B ﹜. 综上，即证得 sup S= max﹛sup A,sup B ﹜. ii 可类似证明 . 若把和补充到实数集中，并规定任一实数 a 与、 的大小关系为： a＜，a＞，＜，则确界概念可 扩充为：若数集S无上界，则定义为 S的非正常上界 ，记作 sup S=；若 S无下界，则定义为 S的非正常下界， 记作 inf S=，相应的，前面的定义 2 和定义 3 中所定义的确界分别称为 正常上、下确界 . 推广的确界原理非空数集必有上、下确界（正常的非正常 的）. 例如，对于正整数集N有 infN=1，supN=；对于数集班级： 11 级数本 2 班 学号： 110641004 姓名：陈光明10 第一章实数集与函数S=﹛y|y=2-x2， xR ﹜（3）有 inf S=，sup S=2. 习题1. 用区间表示下列不等式的解：（1）xx1≥0； （2） xx1≤6；（3）))()((cxbxax＞0（a，b，c 为常数，且 a＜b＜c） ；（4）xsin≥22；2. 设 S为非空数集。

试对下列概念给出定义： （1）S无上界；（2）S无界. 3. 试证明由（ 3）所决定的数集 S有上界而无下界 . 4. 求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S=﹛x︱x2＜2﹜； （2）S=﹛ x︱Nnnx, !﹜；（3）S=﹛ x︱x为（0，1）内的无理数﹜；（4）S=﹛ x︱Nnxn,11 2﹜. 5. 设 S为非空有下界数集 . 证明： inf S =.min SS6. 设 S为非空数集，定义s﹛Sxx﹜. 证明：（1）inf;supSS（2）supSinf S. 7. 设 A、B皆为非空有界数集，定义数集A+B= ﹛ z︱ByAxyxz,,﹜. 证明： （1）sup（A+B ）=supA+supB; (2)inf（A+B ）=inf A+inf B. 8. 设 a＞0，a≠1， x为有理数 . 证明班级： 11 级数本 2 班 学号： 110641004 姓名：陈光明§2 数集确界原理11 axinfsup,1axr1axrr，当，为有理数，，当为有理数，rraar§3 函 数 概 念关于函数概念，在中学数学中我们已经有了初步了解，本节 将进一步的讨论 . 一函数的定义定义 1 给定的实数集 D 合 M， 若对 D 内的每一个数x都有唯一的一个数yM 与它对应，则称f是定义在数集上的 函数 ，记作f：DM，xy. 数集 D 称为函数f的定义域，x所对应的数 y 称为f在点 x的函数值，常记为)(xf躯体函数值的集合f（D）=﹛y︱y=)(xf， xD﹜(M) 称为函数f的值域 . （1）中的第一试 “DM”表示按照法则f建立数集 D 到 M的函数关系；第二试“xy”表示这两个数集中的元素之间的对应关系，也可记为“x)(xf”.习惯上，我们称此函数关系中的x为自变量 ，y 为因变量 . 关于函数的定义，我们做以下几点说明：班级： 11 级数本 2 班 学号： 110641004 姓名：陈光明12 第一章实数集与函数1.定义 1 中的实数集 M 常以 R 来代替，于是定义域 D 和对应法则f就成为确定函数的两个主要因素.所以，我们也常用y=)(xfxD 表示一个函数。

由此，我们说某两个函数相同，是指它们有相同 的定义域和对应法则如果两个函数对应法则相同而定义域不同，那么这两个函数仍是不同的 例如)(xf=1，xR 和)(xg=1，x﹛0﹜是不相同的两个函数 .另一方面， 两个相同的函数， 其对应法 则的表达式可能不同，例如)(x= x ， xR 和xx2)(， xR.2.我们在中学数学中已经知道，表示函数的主要方法是公式， 即用数学运算式子来表示函数这时，函数的定义域常取使该运 算式子有意义的自变量值的全体，通常称为 存在域 .在这种情况下，函数的定义域 （即存在域） D 可省略不写， 而只用对应法则f来表示一个函数，此时可简单地说“函数y=)(xf”或“函数f”.。