中考二次函数面积最值问题含答案.doc

For personal use only in study and research; not for mercial use二次函数最值问题例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为*(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40 cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随*(单位：cm)的变化而变化． (1)请直接写出S与*之间的函数关系式(不要求写出自变量*的取值围)； (2)当*是多少时，这个三角形面积S最大"最大面积是多少"解：〔1〕〔2〕∵a=<0 ∴S有最大值∴∴ S的最大值为∴当*为20cm时，三角形面积最大，最大面积是200cm22.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为*秒，△PBQ的面积为y〔cm2〕.〔1〕求y关于*的函数关系式，并写出*的取值围；〔2〕求△PBQ的面积的最大值.解：〔1〕∵S△PBQ=PB·BQ,PB=AB－AP=18－2*，BQ=*，∴y=〔18－2*〕*，即y=－*2+9*〔0<*≤4〕; 〔2〕由〔1〕知：y=－*2+9*，∴y=－(*－〕2 +,∵当0<*≤时，y随*的增大而增大， 而0<*≤4，∴当*=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2.3．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停顿移动．〔1〕设运动开场后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值围．〔2〕t为何值时，S最小.最小值是多少.解：〔1〕第t秒钟时，AP=tcm，故PB=〔6﹣t〕cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•〔6﹣t〕•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72〔0＜t＜6〕；〔2〕∵S=t2﹣6t+72=〔t﹣3〕2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm．4．在*居民小区要在一块一边靠墙〔墙长15m〕的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成如图，假设设花园的BC边长为*〔m〕花园的面积为y〔m2〕〔1〕求y与*之间的函数关系式，并求自变量的*的围．〔2〕当*取何值时花园的面积最大，最大面积为多少.　解：〔1〕∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∵BC=*m，AB+BC+CD=40m，∴AB=，∴花园的面积为：y=*•=﹣*2+20*〔0＜*≤15〕；∴y与*之间的函数关系式为：y=﹣*2+20*〔0＜*≤15〕；〔2〕∵y=﹣*2+20*=﹣〔*﹣20〕2+200，∵a=﹣＜0，∴当*＜20时，y随*的增大而增大，∴当*=15时，y最大，最大值y=187.5．∴当*取15时花园的面积最大，最大面积为187.5．5.边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE〔如图〕，其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 解：设矩形PNDM的边DN=*，NP=y，则矩形PNDM的面积S=*y〔2≤*≤4〕易知=4-*，EM=4-y．过点B作BH⊥PN于点H则有△AFB∽△BHP∴，即，∴，，此二次函数的图象开口向下，对称轴为*=5，∴当*≤5时，函数值随的增大而增大，对于来说，当*=4时，．6．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为*米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m.(2)如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米.比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论. 解：(1)∵长为*米，则宽为米，设面积为平方米．∴当时，(平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有道篱笆，则宽为米，设面积为平方米．则：∴当时，(平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的值与中间有多少道隔墙无关．7．如图，矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=* cm，CQ=y cm，试以*为自变量，写出y与*的函数关系式．解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP，∠B=∠C=90°∴△ABP∽△PCQ.∴．8.小想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长*(单位：米)的变化而变化．〔1〕求S与*之间的函数关系式，并写出自变量*的取值围；〔2〕当*是多少时，矩形场地面积S最大.最大面积是多少.解：〔1〕根据题意，得自变量的取值围是〔2〕∵，∴有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．9. 较难如图，A、B两点的坐标分别是〔8，0〕、〔0，6〕，点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO〔O为坐标原点〕方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，假设设运动时间为t〔0＜t＜〕秒．解答如下问题：〔1〕当t为何值时，PQ∥BO.〔2〕设△AQP的面积为S，①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；解：〔1〕∵A、B两点的坐标分别是〔8，0〕、〔0，6〕，则OB=6，OA=8，∴AB===10．如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t．∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，∴当t=秒时，PQ∥BO．〔2〕由〔1〕知：OA=8，OB=6，AB=10．①如图②所示，过点P作PD⊥*轴于点D，则PD∥BO，∴，即，解得PD=6﹣t．S=AQ•PD=•2t•〔6﹣t〕=6t﹣t2=﹣〔t﹣〕2+5，∴S与t之间的函数关系式为：S=﹣〔t﹣〕2+5〔0＜t＜〕，当t=秒时，S取得最大值，最大值为5〔平方单位〕．. z.。