工程数学：线性代数第三版习题三答案分享.pdf

1把下列矩阵化为行最简形矩阵(1)340313021201解340313021201(下一步r2( 2)r1r3( 3)r1 )020031001201(下一步r2( 1) r3( 2) ) 010031001201(下一步r3r2 ) 300031001201(下一步r33 )100031001201(下一步r23r3 )100001001201(下一步r1( 2)r2r1r3 )100001000001(2)174034301320解174034301320(下一步r22 ( 3)r1r3( 2)r1 )310031001320(下一步r3r2r13r2 )0000310010020(下一步r12 )000031005010(3)12433023221453334311解12433023221453334311(下一步r23r1r32r1r43r1 )1010500663008840034311(下一步r2( 4) r3( 3) r4( 5) )22100221002210034311(下一步r13r2r3r2r4r2 )00000000002210032011(4)34732038234202173132解34732038234202173132(下一步r12r2r33r2r42r2 )1187701298804202111110(下一步r22r1r38r1r47r1 )41000410002020111110(下一步r1r2r2( 1) r4r3 )00000410001111020201(下一步r2r3 )000004100030110202012设987654321100010101100001010A求 A解100001010是初等矩阵 E(1 2)其逆矩阵就是其本身100010101是初等矩阵 E(1 2(1)其逆矩阵是E(1 2( 1) 100010101100010101987654321100001010A2872212541000101019873216543试利用矩阵的初等变换求下列方阵的逆矩阵(1)323513123解1000100013235131231010110012004101231012002110102/102/30232/ 102/11002110102/922/70032/ 102/ 11002110102/33/26/7001故逆矩阵为21021211233267(2)1210232112201023解10000100001000011210232112201023001003011000010012205940121023212010430110000100120011001210232110612430110000100100011001210232110612631110 1022111000010000100021106126311101042111000010000100001故逆矩阵为106126311101042114 (1)设113122214A132231B求 X 使 AX B解因为132231113122214),(BA412315210100010001r所以4123152101BAX(2)设433312120A132321B求 X 使 XA B解考虑 ATXTBT因为134313231221320),(TTBA411007101042001r所以417142)(1TTTBAX从而4741121BAX5设101110011AAX2X A求 X解原方程化为 (A 2E)XA 因为101101110110011011),2(AEA011100101010110001所以011101110)2(1AEAX6在秩是 r 的矩阵中 ,有没有等于 0的 r 1 阶子式 ? 有没有等于0 的 r 阶子式 ? 解在秩是 r 的矩阵中可能存在等于0 的 r 1 阶子式也可能存在等于0 的 r 阶子式例如010000100001AR(A) 30000是等于 0 的 2 阶子式010001000是等于 0 的 3 阶子式7从矩阵 A 中划去一行得到矩阵B问 A B 的秩的关系怎样 ? 解R(A) R(B)这是因为 B 的非零子式必是A 的非零子式故 A 的秩不会小于 B 的秩8求作一个秩是4 的方阵它的两个行向量是 (1 0 1 0 0) (11 0 0 0)解用已知向量容易构成一个有4 个非零行的 5 阶下三角矩阵0000001000001010001100001此矩阵的秩为4其第 2 行和第 3 行是已知向量9求下列矩阵的秩并求一个最高阶非零子式(1)443112112013; 解443112112013(下一步r1r2 )443120131211(下一步r23r1r3r1 )564056401211(下一步r3r2 )000056401211矩阵的2秩为41113是一个最高阶非零子式(2)815073131213123解815073131223123(下一步r1r2r22r1r37r1 )15273321059117014431(下一步r33r2 )0000059117014431矩阵的秩是 271223是一个最高阶非零子式(3)02301085235703273812解02301085235703273812(下一步r12r4r22r4r33r4 )02301024205363071210(下一步r23r1r32r1 )0230114000016000071210(下一步r216r4r316r2 ) 0230100000100007121000000100007121002301矩阵的秩为 3070023085570是一个最高阶非零子式10设 A、B 都是m n 矩阵证明AB 的充分必要条件是R(A) R(B)证明根据定理 3必要性是成立的充分性设 R(A) R(B)则 A 与 B 的标准形是相同的设 A与 B 的标准形为 D则有AD DB由等价关系的传递性有 AB11 设32321321kkkA问 k 为何值可使(1)R(A) 1(2)R(A) 2(3)R(A) 3解32321321kkkA) 2)(1(0011011kkkkkr(1)当 k 1 时 R(A) 1(2)当 k2 且 k 1 时 R(A) 2(3)当 k 1 且 k2 时 R(A) 312求解下列齐次线性方程组: (1)02220202432143214321xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A 进行初等行变换有A2122111212113/410013100101于是4443424134334xxxxxxxx故方程组的解为1343344321kxxxx(k 为任意常数 )(2)05105036302432143214321xxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A 进行初等行变换有A5110531631121000001001021于是4432242102xxxxxxxx故方程组的解为10010012214321kkxxxx(k1k2为任意常数 )(3)07420634072305324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A 进行初等行变换有A74216314721351321000010000100001于是00004321xxxx故方程组的解为00004321xxxx(4)03270161311402332075434321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解对系数矩阵A 进行初等行变换有A3127161311423327543000000001720171910171317301于是4433432431172017191713173xxxxxxxxxx故方程组的解为1017201713011719173214321kkxxxx(k1k2为任意常数 )13求解下列非齐次线性方程组: (1)83111021322421321321xxxxxxxx解对增广矩阵B 进行初等行变换有B80311102132124600034111008331于是 R(A) 2而 R(B) 3故方程组无解(2)69413283542432zyxzyxzyxzyx解对增广矩阵B 进行初等行变换有B691413283542141320000000021101201于是zzzyzx212即021112kzyx(k 为任意常数 )(3)12222412wzyxwzyxwzyx解对增广矩阵B 进行初等行变换有B11112212241111200000010002/102/ 12/11于是0212121wzzyyzyx即00021010210012121kkwzyx(k1k2为任意常数 )(4)2534432312wzyxwzyxwzyx解对增广矩阵B 进行初等行变换有B253414312311112000007/57/97/5107/67/17/101于是wwzzwzywzx757975767171即00757610797101757121kkwzyx(k1k2为任意常数 )14写出一个以1042013221ccx为通解的齐次线性方程组解根据已知可得10420132214321ccxxxx与此等价地可以写成2413212211432cxcxccxccx或432431432xxxxxx或04302432431xxxxxx这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组15取何值时非齐次线性方程组23213213211xxxxxxxxx(1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多个解 ? 解21111111B22) 1)(1()2)(1(00)1 (11011r(1)要使方程组有唯一解必须 R(A) 3因此当1 且2时方程组有唯一解. (2)要使方程组无解必须 R(A) R(B)故(1)(2) 0 (1)(1)20因此2 时方程组无解(3)要使方程组有有无穷多个解必须 R(A) R(B) 3故(1)(2) 0 (1)(1)20因此当1 时方程组有无穷多个解. 16非齐次线性方程组23213213212222xxxxxxxxx当 取何值时有解？并求出它的解解22111212112B) 2)(1(000) 1(32110121要使方程组有解必须 (1)(2) 0即12当1 时121111212112B000001101101方程组解为32311xxxx或3332311xxxxxx即001111321kxxx(k 为任意常数 )当2 时421121212112B000021102101方程组解为223231xxxx或33323122xxxxxx即022111321kxxx(k 为任意常数 )17设1)5(4224)5(2122)2(321321321xxxxxxxxx问 为何值时此方程组有唯一解、无解或有无穷多解? 并在有无穷多解时求解解B154224521222)4)(1 ()10)(1 (0011102452要使方程组有唯一解必须 R(A) R(B) 3即必须(1)(10) 0所以当1 且10 时方程组有唯一解 . 要使方程组无解必须 R(A) R(B)即必须(1)(10) 0 且(1)(4) 0所以当10 时方程组无解 . 要使方程组有无穷多解必须 R(A) R(B) 3即必须(1)(10) 0 且(1)(4) 0所以当1 时方程组有无穷多解此时，增广矩阵为B000000001221方程组的解为33223211xxxxxxx或00110201221321kkxxx(k1k2为任意常数 )18证明 R(A) 1 的充分必要条件是存在非零列向量a 及非零行向量 bT使 A abT证明必要性由 R(A) 1 知 A 的标准形为)0, 0, 1 (001000000001即存在可逆矩阵P 和 Q使)0, 0, 1(001PAQ或11)0, 0, 1(001QPA令0011PabT(1 0 0)Q1则 a 是非零列向量bT是非零行向量且 A abT充分性因为 a 与 bT是都是非零向量所。