控制工程基础-时间特性分析法课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,第三章时间特性分析法,控制系统都是在时间域内进行工作的因此，时间特性分析法是这些方法中最常用、又是比较精确的方法，它是通过拉普拉斯反变换求出系统输出量的表达式，从而提供了时间响应的全部信息；,,主要分析一阶和二阶系统的时间响应，最后介绍高阶系统的时间响应；,,主要是分析系统的,稳定性、稳态精度和瞬态响应,的性能指标这三个方面 时间特性法是,分析系统的方法之一，而分析的基础，是确定系统的数学模型分析系统的方法，还有,频率特性法,和根轨迹法第一节 时间响应与典型输入信号,1 .时间响应的概念,,,控制系统在典型输入信号的作用下，输出量随时间变化的函数关系称为系统的时间响应描述系统的微分方程的解就是该系统时间响应的数学表达式时间响应可分为,瞬态响应,与,稳态响应,1）瞬态响应,,系统在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过程称为瞬态响应2）稳态响应,,,在某一输入信号的作用后，时间趋于无穷大时系统的输出状态称为稳态响应图3-1表示某一系统在单位阶跃信号作用下的时间响应的形式。

系统的输出量在,t,s,（调整时间）时刻达到稳定状态，在,t,从0→,t,s,时间内的响应过程称为,瞬态响应,；当,t,→∞时，系统的输出即为,稳态响应,当,t,→∞时，,y,(,t,)收敛于某一稳定值，则系统是稳定的；若,y,(,t,)呈等幅振荡或发散，则系统不稳定瞬态响应直接反应了系统的动态特性，稳态响应偏离希望输出值的程度可以衡量系统的精确程度二、典型输入信号,控制系统的动态特性可以通过在输入信号作用下，系统的瞬态响应来评价的系统的瞬态响应不仅取决于系统本身的特性，还与外加输入信号的形式有关选取输入信号应当考虑以下几个方面,,输入信号应当具有典型性，能够反映系统工作的大部分实际情况,,输入信号的形式，应当尽可能简单，便于分析处理,,输入信号能使系统在最恶劣的情况下工作,,,,1. 阶跃信号,阶跃信号如图3-2所示，其函数表达式为,当,R,=1时，叫做单位阶跃函数，记为1(,t,)单位阶跃函数的拉氏变换为,在,t,=0处的阶跃信号，相当于一个数值为常值的信号，在,t,≥0突然加到系统上图3-2 阶跃信号,,,,2.斜坡信号（或速度信号）,,斜坡信号如图3-3所示，其函数表达式,,斜坡函数的拉氏变换为,当,R,=1时，叫做单位斜坡函数。

这种信号相当于控制系统中加一个按恒速变化的信号，其速度为,R,图3-3 斜坡信号,,,,3．抛物线信号（加速度信号）,抛物线信号如图3-4所示，其数学表达式为,抛物线信号的拉氏变换为,该输入信号相当于控制系统中加入一恒加速度变化的信号，加速度为,R,，当,R,=1时，叫做单位,抛物线信号,图3-4 抛物线信号,,,,4.脉冲信号,脉冲信号如图3-5所示，其数学表达式为,单位脉冲函数的拉氏变换为,,其中，脉冲宽度为,h,,脉冲面积为1若对实际脉冲的宽度取趋于零的极限，则为理想单位脉冲函数，记为,,(,t,),,,图3-5 脉冲信号,,,,5.正弦信号,正弦信号如图3-6所示，其数学表达式为,,正弦信号的拉氏变换为,图3-6 正弦信号,,,,三、瞬态响应的性能指标,用以衡量系统瞬态响应的几项参数，称为性能指标一般以输入端加入单位阶跃函数时的输出响应加以规定线性系统的性能指标取决于系统本身的特性而与输入信号的大小无关同一个线性系统对不同幅值阶跃输入的瞬态响应的区别，仅在于幅值成比例地变化，响应时间完全相同,，因此，对以单位阶跃输入瞬态响应形式给出的性能指标具有普遍意义图3-7 控制系统的性能指标,,,,1.延迟时间,t,d,,,响应曲线第一次达到稳态值的50%所需的时间，叫,延迟时间,。

对于过阻尼系统（,,>,1,）,,,理论上到达稳态值时间需要无穷大，通常采用响应曲线从稳态值的,10%,上升到稳态值的,90%,所需的时间；,2.上升时间,t,r,,,响应曲线从零时刻首次到达稳态值的时间，即响应曲线从零上升到稳态值所需的时间3.峰值时间,t,p,,响应曲线超过其稳态值而达到第一个峰值所需的时间叫做峰值时间4.,最大超调量,M,p,和最大百分比超调量,M,p,%,,从1开始计算的响应曲线的最大超调量值叫做最大超调量,M,p,通常采用百分比表示最大超调量,M,p,%，定义为：单位阶跃响应曲线偏离稳态值的最大差值与稳态值之比的百分值，即,其中，,y,(∞)代表阶跃响应的终值，即稳态值最大超调量,M,p,的数值，直接说明了系统的相对稳定性5.,调整时间,t,s,,,在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数作一个允许误差范围，响应曲线第一次达到并永远保持在这一允许误差范围内所需要的时间，叫做调整时间调整时间与控制系统的时间常数有关允许误差的百分比选多大，取决于设计要求，通常取±5%或±2%调整时间是评价一个系统响应速度快慢的指标6.,振荡次数,N,,,在调整时间,t,s,内响应曲线振荡的次数。

第二节 一阶系统的瞬态响应,,惯性环节的传递函数为,,(3-1),一、一阶系统的数学模型,,能用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统一阶系统的典型环节是惯性环节这种系统可看作积分环节被反馈通道包围而成，见图3-8给一阶系统输入阶跃信号，根据式（3-1）进行拉氏反变换，求出微分方程的解,y,(,t,)即为一阶系统的单位阶跃响应单位阶跃信号的拉氏变换为,二.一阶系统的单位阶跃响应,此式代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为,(3-2),将（3-2）式展开成部分分式，可得,(3-3),,,对上式进行拉氏反变换得,(3-4),上式中的第一项为稳态响应，第二项为瞬态响应阶跃响应曲线如图3-9T,称为时间常数，它影响到响应的快慢，因而是一阶系统的重要参数1.,在响应曲线上，找到稳态值的63.2%的,A,点，并向时间轴,t,作垂线，与其交点值，即为时间常数,T,2.,由,t=,0那一点,O,（即原点）作响应曲线的切线，与稳态值交于,A,´点由,A,´点向时间轴,t,作垂线，与其交点值即为时间常数,T,此种方法可由下式得到证明3-5）,,当,t,=3,T,时间时，响应已达到稳态值的95%，当,t,=4,T,时，达到98.2%。

因而一阶系统的调整时间,t,s,=(3~4),T,，以此来评定响应时间的长短时间常数,T,可通过响应曲线求得，可由下述两种方法确定：,(3-5)式即为斜率值，由,O,A,´,T,即可知上述求时间常数的求法是正确的三、一阶系统的单位斜坡响应,单位斜坡函数的拉氏变换为,代入（3-1）式，可得输出信号拉氏变换为,（3-6）,展开成部分分式,（3-7）,取（3-7）式的拉氏反变换，可得,（3-8）,,,一阶系统在单位斜坡输入时的误差为,（3-9）,当,t,→∞时， ， 因而,e,(∞)=,T,系统对单位斜坡输入的时间响应,y,(,t,)和输入信号,x,(,t,)表示于图3-10中从图中也可以看出，当,t,足够大时，一阶系统跟踪单位斜坡信号输入的误差等于时间常数,T,图3-10　一阶系统单位斜坡响应,,,,四、 一阶系统的单位脉冲响应,单位脉冲函数的拉氏变换为,这时式（3-2）为,（3-10）,取其拉氏反变换得,（3-11）,图3-11　一阶系统单位脉冲响应,,,,除前面分析之外，还有两点值得提出：,1.当输入信号不为单位值时，输入信号的拉氏变换分别为：,阶跃输入,,斜坡输入,,脉冲输入,,对应于不同输入时的响应分别如下列各式,阶跃输入,,斜坡输入,,脉冲输入,,,,2.当输入信号为单位值时，但如果一阶系统的传递函数的形式为,,(3-12),此时，对应于单位输入信号时，其输出响应分别如下式各式所示：,,阶跃输入,斜坡输入,,斜坡输入,,,,例3-1 已知某一单位反馈系统的开环传递函数为,,,,试求系统的单位阶跃响应。

解：首先求出系统的闭环传递函数,因此，闭环传递函数仍为惯性环节，由（3-12）式可知,,,因此，单位阶跃响应表达式为,响应曲线如图3-12所示图3-12,的单位阶跃响应曲线,,,,例3-2两个系统的传递函数分别为,,系统１,,,,,,系统２,,试比较两个系统响应的快慢解：系统响应的快慢主要指标是调整时间的大小，一阶系统的调整时间是由时间常数,T,决定的系统1的时间常数,系统2的时间常数,由于,T,1,<,T,2,，因此系统1的响应速度快达到稳态值的时间，如以±2％来算，系统1的调整时间,t,1,s,=4,T,1,=8(s),而系统2的调整时间为,t,2,s,=4,T,2,=24(s)，因此系统1比系统2快3倍例3-3某一系统单位阶跃响应曲线如图3-13所示，试写出其传递函数,解：在响应曲线上，找到稳态值（此值为10）的63.2％（即6.32）点，此点所对应的时间为0.1(s），即为时间常数，而传递函数的增益,k,值，可由输出的稳态值10与输入的阶跃值１的比值得到，即,（1／,s,）,因此，系统的传递函数为,图3-13某系统单位阶跃响应曲线,,,,例3-4 已知控制系统的微分方程为,,试用Laplace变换法，求该系统的单位脉冲响应,g,(,t,),,和单位阶跃响应,h,(,t,)，并讨论二者的关系。

解：由传递函数的定义和系统的微分方程，可得系统的传递函数为,系统的单位脉冲响应为,,,系统的单位阶跃响应为,比较,g,(,t,)和,h,(,t,)，有 或,,由此可以得出结论：系统对某种输入（单位阶跃）的导数（单位脉冲）的响应等于系统对该输入的响应（,h,(,t,) ）的导数（ ） ；系统对某种输入（单位脉冲）的积分（单位阶跃）的响应等于系统对该输入的响应（,g,(,t,) ）的积分（ ） 对于任意线性系统而言，若一个输入,A,是另一个输入,B,的导函数，则输入,A,所引起的输出就是输入,B,所引起输出的导函数；同样的，若一个输入,A,是另一个输入,B,的积分，则输入,A,所引起的输出就是输入,B,所引起输出的积分，但是，如果积分是不定积分，则还需要确定积分常数一个系统能用二阶微分方程描述或是系统的传递函数分母多项式,s,的最高幂次为2的系统，称为二阶系统无论哪一种物理形式的二阶系统，最后传递函数都,,可以变为下述的标准形式,第三节 二阶系统的瞬态响应,一、二阶系统的数学模型,,（3-12）,,式中,,为阻尼比、,,n,为无阻尼自然频率（rad/s）。

二阶系统的瞬态响应的性能完全由,,与,,n,确定, 因此，,,与,,n,为二阶系统的重要参量当输入为单位阶跃信号时， 代入到（3-12）式，可得到,二、二阶系统的阶跃响应,（3-13）,对上式进行拉氏反变换，可得二阶系统的单位阶跃,,响应从式（3-12）可求得二阶系统的特征方程,（3-14）,它的两个根，即为二阶系统的闭环极点：,（3-15）,,,对式（3-13）进行分解得,下面分别对二阶系统在,,=1，,,>1以及0<,,<1三种,,情况下的瞬态响应进行讨论，假设初始状态为零一)重根时，,,,=1，,s,1,2,=-,,n,临界阻尼情况,（3-16）式变为：,（3-16）,（3-17）,,,对上式进行分部分式，可得,对（3-18）式拉氏反变换，得到,（3-18）,（3-19）,响应曲线为一指数曲线形式它单调上升、无超调、无振荡，,t,时，,y,(,t,)=1，所以,无稳态误差二)两个不等的负实根时，,,,,>1， 过阻尼情况,(3-16)式可以写成部分分式为,(3-20),,,求上式的拉氏反变换，得,(3-21),系统包含两类瞬态衰减分量，响应为指数函数曲线形式。

单调上升，无振荡，过渡过程时间长，,，,t,时，,y,(,t,)=1，所以,无稳态误差三）一对共轭复根时 ，0<,,<1，欠阻尼情况,由于,,<1，（3-12）式得，,s,1,2,=-,,,,n,±,j,,d,,,式中,,，称为阻尼自然频率（rad／s）,,这时，采用部分分式法，式（3-10）变为,(3-22),,,上式的拉氏反变换为,(3-23),无稳态误差；,,呈现衰减振荡过程，振荡频率是阻尼自然频率,,d,；其振幅衰减的快慢由,,,和,,n,决定；,,振荡幅值随,,减小而加大图3-14 阻尼比不同时，二阶系统的单位阶跃响应,,,,y,(,t,)=1-cos,,n,t,（,t,≥0） (3-24),,s,1,2,=±,j,,n,，,将,,=0代入式（3-15）可得,（四）一对复根时 ，,=,0,，零阻尼情况,二阶系统在无阻尼时瞬态响应是等幅振荡，振荡频率为,,n,,稳定边界,,,（五）一对正实部虚根时 ，,<,0,，负阻尼情况,极点实部大于零，响应发散，系统不稳定,图3-15 负阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线,,,,频率,,n,和,,d,的物理意义：,,,,n,是无阻尼（,,=0,）时二阶系统等幅振荡的振荡频率，因此称为,无阻尼自然频率,；,,是欠阻尼（,0<,,<1,）时衰减振荡的振荡频率，因此称为阻尼自然频率；,,T,d,=2,,/,,d,称为阻尼振荡周期。

显然,,n,,<,,d,，且随着,,的增大，,,d,的值相应地减小1048633;几点结论：,,1、二阶系统的阻尼比,,决定了其振荡特性：,,,< 0 时，阶跃响应发散，系统不稳定；,,,= 0时，出现等幅振荡；,,0<,,,<1时，有振荡，,,愈小，振荡愈严重，但响应愈快；,,,,≥ 1 时，无振荡、无超调，过渡过程长2、,,一定时，,,n,越大，瞬态响应分量衰减越迅速，响应的快速性越好3、工程中通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡,,,三、二阶系统的单位斜坡响应,（3-25）,按前面分析单位阶跃响应的同样方法，可以得到,一个随动系统，其输入端以一个连续等速信号给定时，其响应就属斜坡响应当输入单位斜坡信号时，,（一）0<,,<1,,斜坡响应为,,（3-26）,,,（三）,,>1,,斜坡响应为,,响应曲线如图3-16所示3-28）,（二）,,,= 1,,斜坡响应为,,(3-27),,,图3-16 二阶系统的单位斜坡响应曲线,,,,四、二阶系统的单位脉冲响应,当输入单位脉冲信号时，,X,(,s,)=1,,（3-29）,（一）0<,,<1,,脉冲响应为,,（3-30）,（二）,=,1,脉冲响应为,,(3-31),,,（三）,,>1,脉冲响应为,,(3-32),图3-17 二阶系统的单位脉冲响应曲线,,,,表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式,信号形式,,输入信号形式幅值为,R,,,,阶跃信号,,,,,,,,,,,,表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式,信号形式,,,输入信号形式幅值为,R,,,,脉冲信号,,,,,,,,,,,,表3-1输入信号幅值不为单位值时，响应表达式,信号形式,,输入信号形式幅值为,R,,,,斜坡信号,,,,,,,,,,,表3-2　阻尼比与极点的关系,阻尼比,,,极点,极点特征,,,两个不同的实数极点,,,两个相同的实数极点,,,,两个共轭的复数极点,,,位于虚轴上的共轭极点,,,两个共轭的复数极点,五、二阶系统阶跃响应与极点的关系,,,表3-3　极点与阶跃响应的关系,阻尼比,,极 点,极点在s平面的位置,阶跃响应形式,,>1,,,,,=1,,,,0<,,<1,,,,,=0,,,,,<0,,,,,,若系统的所有特征根,s,i,（,i,=1，2，…，,n,）均具有,负实部,，即,Re,[,s,i,]<0，则其系统会趋于稳定，这种系统称为,稳定,系统。

Re[,si,]绝对值越大，则它所对应的自由响应项衰减得越快，系统达到稳定的时间越短虚部Im[,si,]的分布情况决定了系统的响应在规定时间内接近稳态响应的情况，这影响着系统响应的准确性若系统存在具有,正实部,的特征根,s,i,，,即,Re,[,s,i,]>0，则其系统会产生振荡，这种系统称为,不稳定,系统若系统有一个特征根的,实部为0,，而其余特征根的实部均为,负数,，系统最终会变成,一等幅振荡,，这种系统称为,临界稳定系统,往往也将,临界稳定系统看成不稳定系统,二阶系统的特征参量阻尼比,,和无阻尼自然频率,,n,对其瞬态响应具有重要的影响下面进一步分析,,和,,n,与瞬态响应指标的关系，以便指出设计和调整二阶系统的方向，除了那些不允许产生振荡的控制系统外，通常允许控制系统具有适度的振动特性，以求能有较短的调整时间因此，系统经常工作在欠阻尼状态二阶系统，,当,0<,,<1,时,，推导瞬态响应各项特征指标的计算公式六、二阶系统瞬态响应的性能指标计算,,,1.上升时间,t,r,,根据式（3-23），令,y,(,t,)=1，即可得上升时间,t,r,，即,（3-33）,由于 ，为使式（3-33）成立，必须,即,,,（3-34）,式中,在（3-34）中，,,角的意义，可见图3-13。

当,,=0时，,,,=,,/2；,,当,,=1时，,,,=0由（3-34）可知，当阻尼比一定时，若要求上升时间,t,r,较短，需要使系统具有较高的无阻尼自然频率,,n,图3-18,,角的意义,,,,令上式为零，整理可得,即,,d,,t,p,=,n,,(,n,=0，,1,，2 ，.......,k,),,因为峰值时间对应于第一次峰值超调量，所以,（3-35）,因阻尼振荡周期,T,d,=2,,/,,d,, 故峰值时间,t,p,等于阻尼振荡频率周期的一半 从式（3-35）可以看出，当,,一定时，,,n,越大，,t,p,越小，反应越快，当,,n,一定时，,,越小，,t,p,也越小2.峰值时间,t,p,,根据（3-23）式，将,y,(,t,) 对时间求导，并令其等于零，可求得峰值时间,t,p,即,,,3.,最大百分比超调量,M,p,%,最大百分比超调量发生在峰值时间,t,p,处，所以按定义,由图3-18可知,,,上式表明，最大百分比超调量,M,p,%只是阻尼比,,的函数，而与无阻尼自然频率,,n,无关，,,越小，,M,p,%越大，当,,=0时，,M,p,%=100%，而当增大到,,=1时，,M,p,%=0。

所以,因此,（3-36）,,,图,3-19,二阶系统,M,p,%,与,,的关系,,,,4.调整时间,t,s,为确定调整时间,t,s,简单起见，常用二阶系统单位阶跃响应的包络线代替响应曲线如图3-20所示图3-20 二阶系统单位阶跃响应的包络线,,,,曲线 是该阶跃响应的包络线包,,,,络线的时间常数为 瞬态响应的衰减速,,,度，取决于时间常数的 数值若响应曲线进入到稳态值的±5%的范围时，由图3-15可得,,,解出,,n,,t,s,，即为,当,,较小时，由上式得,（3-37）,如果响应曲线进入到稳态值的±2%的范围里，用同,,样方法，可导出,(3-38),由此可见，,,n,大，,t,s,就小；当,,n,一定时，,t,s,与,,成反比这与,t,p,、,t,r,和,,的关系正好相反通常,,值是根据最大百分比超调量,M,p,%来确定， 所以调整时间,t,s,可以根据无阻尼自然频率,,n,来确定这样，在不改变最大百分比超调量,M,p,%的情况下，通过调整无阻尼自然频率,,n,，可以改变瞬态响应的时间。

5.振荡周期,T,d,及振荡次数,N,或,而振荡次数为,当稳态误差为,,5%,时，即,（3-39）,,,将二阶系统的特征参量,,、,,n,与瞬态响应各项指标间的关系归纳如下：,(1) 二阶系统的瞬态响应特性由系统的阻尼比,,和无阻尼自然频率,,n,共同决定，欲使二阶系统具有满意的瞬态响应性能指标，必须综合考虑,,和,,n,的影响，选取合适的,,和,,n,当稳态误差为,,2%,时，即,影响单位阶跃响应各项性能指标的是二阶系统的,阻尼比,,和,无阻尼自然频率,,n,这两个重要参数3-40）,,,(2) 若保持,,不变而增大,,n,，对超调量,M,p,无影响，可以减小峰值时间,t,p,、延迟时间,t,d,和调整时间,t,s,，既可以提高系统的快速性所以增大系统的无阻尼自然频率,,n,对提高系统性能是有利的3) 若保持,,n,不变而增大,,值，则会使最大百分比超调量,M,p,%减小，增加相对稳定性，减弱系统的振荡性能在,,<0.7时，随着,,的增大，,M,p,%减小；而在,,>0.7时，随着,,的增大，,t,r,、,t,s,均增大系统的快速性变差。

4) 综合考虑系统的相对稳定性和快速性，通常取,,=0.4~0.8，这时系统的最大百分比超调量,M,p,%在25%到2.5%之间若,,<0.4，系统超调严重，相对稳定性差；若,,>0.8，则系统反应迟钝，灵敏性差当,,< 0.707时，,,,越小，则,t,s,越长；而当,,> 0.707,时，,,,越大，则,t,s,越长例3-4　某一位置随动系统的方块图如图3-21，当输入为单位阶跃信号时，试计算,k,=200时的性能指标，当,k,减小到13.5或增大到1500时, 对系统有什么影响图3-21 某一位置随动系统方块图,,,,解：,,当,k,=200,时，系统的闭环传递函数为：,与标准形式进行比较：,所以：,,,,,当,k,=1500,时，系统的闭环传递函数为：,与标准形式进行比较：,所以：,,,,,当,k,=13.5,时，系统的闭环传递函数为：,与标准形式进行比较：,所以：,由上可知，系统工作在过阻尼状态，此时系统的闭环传递函数为：,,,由于过阻尼二阶系统可以看成是两个时间常数不同的一阶系统串连而成，它们的时间常数分别为：,由于过阻尼二阶系统上升时间、峰值时间、最大百分比超调量均不存在，而调整时间可以使用其中时间常数大的一阶系统来评估，即：,,,当,k,值改变时，二阶位置随动系统性能指标,K,,,,n,t,r,t,p,M,p,%,t,s,13.5,-,-,-,-,-,1.443,200,0.546,31.6,0.081,0.12,13%,0.174,1500,0.199,86.6,0.021,0.037,52.7%,0.174,由表可知：,,当,K,＝,13.5,时，系统为过阻尼系统，因此具有较长的调整时间；,,当,K,＝,200,和,1500,时，系统为欠阻尼系统，由于调整时间,t,s,=3/,,ω,n,,,所以，对于这个给定的系统，,,ω,n,是不变的，即,,ω,n,=34.5,，所以，调整时间,t,s,在,K,发生变化的时候是不变的。

k,值变化时，单位阶跃响应曲线,图3-22,k,值变化时，单位阶跃响应曲线,,,,例3-5 设单位反馈闭环二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-23试确定其开环传递函数图3-23　二阶系统的单位阶跃响应曲线,,,,可得,解：由图3-23可见,由（3-35）式,,,因为，系统的闭环传递函数为,单位反馈时的开环传递函数为,,,例3-6 如图3-24(a)所示的一个机械振动系统当有2,N,的阶跃输入力作用于系统时，系统中的质量块,m,按图3-24(b)的规律运动，试根据这个响应曲线，确定质量,m,、粘性阻尼系数,f,与弹性刚度,k,值解：此系统的传递函数前面已经推导过，即为,由于,所以,由此响应曲线可得到稳态响应为：,,,因此,由图3-19的响应曲线得到,由峰值时间 得,,,所以,又因为,所以,由,得到,,,第四节 高阶系统的瞬态响应,求高阶系统的瞬态响应，意味着求解高阶微分方程，其数学运算是十分复杂的如能抓住主要矛盾，忽略次要因素，就可以使问题大大简化本节中，将通过对高阶系统瞬态响应一般形式的分析，建立闭环主导极点的概念，并利用这一概念对高阶系统作近似处理高阶系统的闭环传递函数为,n,≥,m,（,3-41）,为确定系统的零点、极点，将上式分子分母分解成因式形式，则上式变为,（3-42）,高阶系统的单位阶跃响应,,,式中,-,z,1,、-,z,2,....... -,z,m,为系统闭环传递函数的零点；,,-,p,1,、-,p,2,....... -,p,n,为系统闭环传递函数的极点 。

瞬态响应分析的前提是系统为稳定系统，全部极点都在,s,平面的左半部如果全部极点都不相同（实际系统通常是这样的），对于单位阶跃输入信号，式（3-40）可以写成,（3-43）,,,式中,a,i,是极点,s,=-,p,i,点的留数若所有极点都是不同的实数极点，则有,（3-44）,如果,Y,(,s,)的,n,个极点中除包含有实数极点外，还包含成对的共轭复数极点，且一对共轭复数极点可以形成一个,s,的二次项，这样式（3-41）可以写成,（3-45）,,,（3-46）,取上式的拉氏反变换，可以得到单位阶跃响应为,（3-47）,式中,q,+2,r,=,n,,如果闭环极点是互不相同的，可将上,,式展成下面的部分分式,a,,,a,j,为,Y,(,s,)在极点,s,= 0和,s,= -,p,j,处的留数；,,b,k,、,c,k,是与,Y,(,s,)在极点 处的留数有关的常数1、高阶系统的单位阶跃响应由一阶和二阶系统的响应函数叠加而成2、如果所有闭环极点都在s 平面的左半平面，则随着时间,t,→∞，,y,(∞)=,a,，系统是稳定的3、极点的性质决定瞬态分量的类型,,实数极点→非周期瞬态分量,,共轭复数极点→阻尼振荡瞬态分量,,,极点距虚轴的距离决定了其所对应的瞬态分量衰减的快慢，,距离虚轴越远衰减越快；,（衰减系数,p,j,、,,k,,n,k,）,,,1、系统零点影响各极点处的留数的大小（即各个瞬态分量的相对强度），如果在某一极点附近存在零点，则其对应的瞬态分量的强度将变小。

一对靠得很近的零点和极点其瞬态响应分量可以忽略,系统零点分布对时域响应的影响,2、通常如果闭环零点和极点的距离比其模值小,一个数量级,，则该极点和零点构成一对,偶极子,，可以对消闭环主导极点,在高阶系统的闭环极点中，,,1.如果距虚轴最近的闭环极点，其周围没有零点;,,2. 其他闭环极点与该极点的实部之比超过,五倍,以上;,,则这种极点称为闭环主导极点高阶系统，如果能够找到主导极点，就可以忽略其它,远离虚轴的极点和偶极子,的影响，近似为一阶或二阶系统进行处理例3-7 某系统闭环传递函数为,试求系统近似的单位阶跃响应解：对分子分母分解因式得,极点为,p,1,2,=,-10,j71.4，,p,3,=-20，,p,4,=-60,,零点为,z,1,=-20.03,,,从图3-26中可以看出，由于极点,p,3,和零点,z,1,非常接近，因此他们对系统的作用会相互抵消；另外极点,p,4,离虚轴的距离是极点,p,1,2,离虚轴距离的6倍因此极点,p,4,对系统的影响可以忽略极点,p,1,2,是主导极点，因此系统的响应主要由主导极点来决定，当考虑主导极点削去(,s,+60)时，只去掉,s,，保证静态增益不变。

图3-26 极点零点分布图,,,,四阶系统 → 二阶系统,故本系统可以近似看成具有传递函数为,,,高阶系统响应曲线的一些例子示于图3-20中这些响应曲线都是由一些振荡曲线和负指数衰减曲线叠加而成其稳态项由输入量,X,(,s,)的极点决定，而响应曲线的类型和形状，决定于闭环极点和零点闭环极点决定了响应曲线的类型和衰减速度，闭环零点则影响瞬态响应曲线幅度的大小图3-25 高阶系统的阶跃响应曲线,,,,。