塑性力学3到5章屈服条课件.ppt

第三章第三章 屈服条件屈服条件3.1 屈服条件屈服条件 屈服函数屈服函数 屈服面屈服面1 1、定义、定义屈服屈服：：屈服面屈服面：：初始屈服条件初始屈服条件→后继屈服条件后继屈服条件→破坏条件破坏条件屈服条件屈服条件：： 物体内一点开始产生塑性变形时其应力状态物体内一点开始产生塑性变形时其应力状态所应满足的条件所应满足的条件屈服条件的几何曲面屈服条件的几何曲面初始屈服面初始屈服面→加载面加载面→破坏面破坏面弹性进入塑性弹性进入塑性2 2、屈服函数、屈服函数屈服条件的数学表达屈服条件的数学表达简单拉伸：简单拉伸：纯剪切：纯剪切：一般应力状态：一般应力状态：各向同性各向同性静水压力不影响塑性变形静水压力不影响塑性变形P3 3 3、屈服面与屈服曲线、屈服面与屈服曲线屈服面屈服面————狭义：初始屈服函数的几何曲面狭义：初始屈服函数的几何曲面 广义：屈服函数的几何曲面（加载面）广义：屈服函数的几何曲面（加载面）一个空间屈服面可以采用一个空间屈服面可以采用π平面上的屈服曲线表达平面上的屈服曲线表达4、屈服面的性质、屈服面的性质①①垂直于垂直于 平面的柱面平面的柱面123②②屈服面在屈服面在 平面上的投影在每平面上的投影在每300分割段中都具有相似性分割段中都具有相似性（（a）关于）关于 对称对称说明：材料各向同性，若说明：材料各向同性，若 在屈服面上，则在屈服面上，则 也在屈服面上也在屈服面上（（b）关于）关于 对称对称说明：不考虑鲍辛格效应，若说明：不考虑鲍辛格效应，若 在屈服面上，则在屈服面上，则 也在屈服面上也在屈服面上③③屈服曲线是封闭的包含原点的曲线；屈服曲线是封闭的包含原点的曲线；说明：坐标原点处于零应力状态，材料不可能在无应力的情况下屈说明：坐标原点处于零应力状态，材料不可能在无应力的情况下屈服，所以原点应在屈服线内。

屈服曲线是弹性状态的界限线，如果服，所以原点应在屈服线内屈服曲线是弹性状态的界限线，如果不封闭，则表示某些应力状态永远处于弹性状态，显然不可能不封闭，则表示某些应力状态永远处于弹性状态，显然不可能④④从坐标原点作任一径向线必与屈服轨迹相交有且只从坐标原点作任一径向线必与屈服轨迹相交有且只有一次3.2 Tresca屈服条件和屈服条件和Mises屈服条件屈服条件一、一、 Tresca屈服条件屈服条件 Tresca (1864) Tresca (1864) 假设当最大剪应力达到某一极假设当最大剪应力达到某一极限值限值k k时，材料发生屈服时，材料发生屈服：用用 表示屈服函数表示屈服函数x见见P28ππ平面平面x主应力空间主应力空间TrescaTresca屈服柱被屈服柱被 平面所截后平面所截后得到的图形得到的图形k的试验确定：的试验确定： 纯剪切试验纯剪切试验： 简单拉伸试验：简单拉伸试验：若材料满足若材料满足Tresca屈服条件，则：屈服条件，则：二、二、 Mises屈服条件屈服条件 TrescaTresca屈服条件有以下问题：没考虑中间主应力的影响；屈服条件有以下问题：没考虑中间主应力的影响；当应力处在屈服面的棱线上时，处理会遇到数学上的困难；主当应力处在屈服面的棱线上时，处理会遇到数学上的困难；主应力大小未知时，屈服条件十分复杂。

因此，应力大小未知时，屈服条件十分复杂因此， Mises(1913) Mises(1913)提提出了另一个屈服条件：出了另一个屈服条件：应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，材料就屈服应力偏张量的第二不变量达到某一定值时，材料就屈服①①、由等效应力、由等效应力￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿可得到用等效应力表示可得到用等效应力表示的的MisesMises条件：条件：说明：说明：②②、屈服面的形状、屈服面的形状Mises屈服条件在屈服条件在 平面上的一个圆，在应平面上的一个圆，在应力空间是一个圆柱体力空间是一个圆柱体③③、、 k的试验确定：的试验确定：简单拉伸试验：简单拉伸试验：纯剪切试验：纯剪切试验：若材料满足若材料满足Mises屈服条件，则：屈服条件，则：④④、、⑤⑤、、Mises条件的物理解释：条件的物理解释：根据弹性理论，形状改变比能根据弹性理论，形状改变比能 ：：所以所以Mises的物理解释：当形状改变比能或者八面体上的物理解释：当形状改变比能或者八面体上的剪应力或者等效应力（应力强度）达到某一极限值时，的剪应力或者等效应力（应力强度）达到某一极限值时，材料才开始屈服。

材料才开始屈服⑥⑥、、  平面，平面，Tresca屈服条件与屈服条件与Mises屈服条件的关系：屈服条件的关系：规定拉伸时一致：规定拉伸时一致：Tresca六边形内接于六边形内接于Mises圆圆规定剪切时一致：规定剪切时一致：TrescaTresca六边形六边形 外切于外切于MisesMises圆画图验证！画图验证！三、比较两屈服准则的区别：三、比较两屈服准则的区别：①①、、Tresca屈服条件说明屈服只决定于最大最小主应力；屈服条件说明屈服只决定于最大最小主应力； Mises屈服条件考虑了中间应力，说明屈服条件和三个主屈服条件考虑了中间应力，说明屈服条件和三个主应力都有关系；应力都有关系；②②、、Tresca条件下条件下 Mises条件下条件下试验表明，一般材料试验表明，一般材料所以所以Mises条件更条件更切实际③③、、Mises条件与主应力有关，说明中间中主应力对屈服有条件与主应力有关，说明中间中主应力对屈服有影响，但在已知主方向和主应力大小顺序时，影响，但在已知主方向和主应力大小顺序时，Tresca条件条件更方便些更方便些3.3 屈服条件的实验验证屈服条件的实验验证一、一、Lode实验（实验（1926））——薄壁管受拉力和内压薄壁管受拉力和内压的联合作用的联合作用TTp由此上面的应力就是主应力。

由此上面的应力就是主应力改变改变T和和p的取值，可以得到不同的的取值，可以得到不同的Tresca条件：条件：Mises条件：条件：Tresca条件：条件：Mises条件：条件：试验结果表明，观测数据更接近试验结果表明，观测数据更接近Mises条件，但条件，但Tresca条件与条件与Mises条件相差也不是很大，最大也条件相差也不是很大，最大也不过不过0.154二、二、Talor和和Quinney实验实验（（1931）－薄壁管拉力和扭）－薄壁管拉力和扭矩的联合作用矩的联合作用TMMTTresca条件：条件：Mises条件：条件：Tresca条件：条件：Mises条件：条件：试验数据仍然密集在代表试验数据仍然密集在代表Mises条件的曲线附近，条件的曲线附近，Mises条件得到了很好的条件得到了很好的验证•加例子啊？？第四章第四章 塑性本构关系塑性本构关系 本章主要讨论应力点处于屈服面上，材料处于塑性本章主要讨论应力点处于屈服面上，材料处于塑性状态，此时应力分量和应变分量所要满足的关系状态，此时应力分量和应变分量所要满足的关系——塑塑性本构关系性本构关系4.1 弹性应力弹性应力—应变关系应变关系一、各一、各向向同性材料的弹性本构关系同性材料的弹性本构关系应力球张量与应力球张量与应变球张量之间应变球张量之间的关系的关系同理可得：同理可得：又：又：所以广义虎克定律可以所以广义虎克定律可以用指标表示成：用指标表示成：应力偏张量与应变偏张应力偏张量与应变偏张量之间的关系量之间的关系说明：由于说明：由于 ，所以，所以(3)式只有五个方程独立，式只有五个方程独立，所以所以（（3）必须联合）必须联合 才是广义虎克定律。

才是广义虎克定律2、为了将弹性本构方程与全量形式的塑性本构方程在形式、为了将弹性本构方程与全量形式的塑性本构方程在形式上统一起来上统一起来所以广义虎克定律所以广义虎克定律体积变形是弹体积变形是弹性的性的应力偏量与应变偏量成正应力偏量与应变偏量成正比例，两者主方向一致比例，两者主方向一致等效应力与等效应变成正比等效应力与等效应变成正比3、卸载规律、卸载规律 当应力从加载面上卸载时，也服从虎克定律，但不当应力从加载面上卸载时，也服从虎克定律，但不能写成全量关系，只能写成增量形式：能写成全量关系，只能写成增量形式：4.3 全量型本构关系全量型本构关系一、依留辛理论一、依留辛理论 依留辛在实验研究的基础上，通过与弹性本构关系类比，依留辛在实验研究的基础上，通过与弹性本构关系类比，将弹性变形的结论进行推广，提出各向同性材料在小变形条将弹性变形的结论进行推广，提出各向同性材料在小变形条件下塑性变形规律的假设：件下塑性变形规律的假设：（（1）体积变形是弹性的）体积变形是弹性的（（2）应力偏量与应变偏量相似且同轴）应力偏量与应变偏量相似且同轴说明：说明：①①应力和应变的定性关系：方向关系应力和应变的定性关系：方向关系——两者主两者主方向一致；分配关系方向一致；分配关系——两者成比例。

两者成比例②② 不是常数，它取决于质点的位置和荷载水平，但不是常数，它取决于质点的位置和荷载水平，但对于同一点同一载荷水平，对于同一点同一载荷水平， 是常数③③ 的求法：的求法：(3)等效应力等效应力 与等效应变与等效应变 之间存在单值对应关之间存在单值对应关系：系：综上所述，全量型的塑性本构方程为：综上所述，全量型的塑性本构方程为：说明：说明：①①形式与弹性本构方程一致；形式与弹性本构方程一致；②②区别在于：区别在于： 弹性：弹性： 线性关系线性关系塑性：塑性： 非线性关系非线性关系③③上式描述的全量应力－应变关系单值对应上式描述的全量应力－应变关系单值对应二、全量理论的适应范围、简单加载定理二、全量理论的适应范围、简单加载定理1、全量理论的适用范围、全量理论的适用范围——小变形、简单加载条件下小变形、简单加载条件下2、简单加载：在加载过程，材料内任一点的应力状态、简单加载：在加载过程，材料内任一点的应力状态 的各分量都按同一比例增加，即的各分量都按同一比例增加，即t—单调增大的正参数单调增大的正参数说明：说明：①①简单加载条件下，各主应力分量之间也是按同一简单加载条件下，各主应力分量之间也是按同一 比例增加，且应力主方向和应变主方向始终不变。

比例增加，且应力主方向和应变主方向始终不变②②简单加载条件下，加载路径在应力空间是一条简单加载条件下，加载路径在应力空间是一条通过原点的直线，在通过原点的直线，在 平面上，是一条平面上，是一条 的射线3、保证简单加载的条件、保证简单加载的条件①①变形微小；变形微小；②②材料不可压缩，材料不可压缩，③③外载荷成比例增长，如果有位移边界条件，只能是外载荷成比例增长，如果有位移边界条件，只能是零位移边界条件；零位移边界条件；④④ 曲线具有曲线具有 的幂函数形式的幂函数形式满足这四个条件即认为材料内每一单元体都处于简单满足这四个条件即认为材料内每一单元体都处于简单加载状态加载状态——此即简单加载定理此即简单加载定理说明：说明：①③①③是必要条件，而是必要条件，而②④②④是充分条件不一定是必是充分条件不一定是必要条件；不满足简单加载条件，全量理论一般不能采用，要条件；不满足简单加载条件，全量理论一般不能采用，但是对于偏离简单加载条件不太远的情况，使用全量理但是对于偏离简单加载条件不太远的情况，使用全量理论计算所获得的结果和实际结果也比较接近。

论计算所获得的结果和实际结果也比较接近三、卸载定理三、卸载定理1、单轴拉伸卸载符合弹性规律：、单轴拉伸卸载符合弹性规律：即：即：式中：式中： 为卸载前的应力、应变；为卸载前的应力、应变；卸载至卸载至 时的应力和应变；时的应力和应变；为卸载过程中应力和应变的改变量为卸载过程中应力和应变的改变量2、复杂应力状态的卸载，若为简单卸载则按弹性规律、复杂应力状态的卸载，若为简单卸载则按弹性规律变化在简单卸载情况下：在简单卸载情况下：按弹性力学公式可以计算出按弹性力学公式可以计算出 对应的对应的 ，，则卸载后则卸载后当当 时，时， 为残余应力、为残余应力、残余应变残余应变注：上述计算方法只适用于卸载过程不发生第二次塑性注：上述计算方法只适用于卸载过程不发生第二次塑性变形的情形，即卸载不引起应力符号改变而达到新的屈变形的情形，即卸载不引起应力符号改变而达到新的屈服（即卸载不发生反向屈服）服（即卸载不发生反向屈服）4.5 理想塑性材料的增量型本构关系理想塑性材料的增量型本构关系增量理论又叫流动理论增量理论又叫流动理论一、一、Levy－－Mises理论又称刚塑性增量理论理论又称刚塑性增量理论 假设材料为理想塑性的，并认为材料到达塑性区，总假设材料为理想塑性的，并认为材料到达塑性区，总应变等于塑性应变，即假设材料符合刚塑性模型。

即理应变等于塑性应变，即假设材料符合刚塑性模型即理论假设归纳如下：论假设归纳如下：①①在塑性区总应变等于塑性应变（忽略弹性应变部分）在塑性区总应变等于塑性应变（忽略弹性应变部分）②②体积变形是弹性的体积变形是弹性的体积不可压缩体积不可压缩③③ 的求法3、塑性应变增量的偏量与应变偏量成正比例，、塑性应变增量的偏量与应变偏量成正比例，或应力偏量主方向与塑性应变偏量的主方向一致：或应力偏量主方向与塑性应变偏量的主方向一致：式中比例系数式中比例系数 决定于质点的位置和荷载水决定于质点的位置和荷载水平平因为塑性变形的体积不可因为塑性变形的体积不可压缩压缩忽略弹性应变部分忽略弹性应变部分说明：说明：①①应变增量与应力偏量主轴重合；应变增量与应力偏量主轴重合；②②应变增量的分量应变增量的分量 与与 应力偏量的分量应力偏量的分量 成比例；成比例；按按Mises条件：条件：等效塑性应变增量等效塑性应变增量理想刚塑性材料的增量型本构方程理想刚塑性材料的增量型本构方程写成一般方程式：写成一般方程式：说明：说明：①①当当 已知，则已知已知，则已知 可求可求 ，但不能确，但不能确定定 ，所以不能确定，所以不能确定 ；； ②②已知已知 能求能求 ，上式只能求得，上式只能求得 各分各分量的比值，不能求得量的比值，不能求得 的数值。

因为理想塑性材料的数值因为理想塑性材料在一定应力下，塑性变形可以任意增长在一定应力下，塑性变形可以任意增长二、二、Prandtl－－Reuss理论又称弹塑性增量理论理论又称弹塑性增量理论 Prandtl－－Reuss理论是在理论是在Levy－－Mises理论的基础理论的基础上发展起来的，该理论考虑了弹性变形部分，即总应变上发展起来的，该理论考虑了弹性变形部分，即总应变增量偏量由弹性和塑性两部分组成增量偏量由弹性和塑性两部分组成弹性应变部分弹性应变部分塑性应变部分塑性应变部分 仍由仍由Mises屈服条件确定，根据屈服条件确定，根据Mises条件条件定义定义 形状改变比能增量形状改变比能增量. Prandtl－－Reuss理论推导的增量型本构关系：理论推导的增量型本构关系：或或 ②②已知已知 和和 不能求出不能求出 ，只能求，只能求得得 各分量的比值各分量的比值 Prandtl－－Reuss理论推导的增量型本构关系：理论推导的增量型本构关系：说明：说明：①①当当 和和 已知，可计算出已知，可计算出 ，可，可求求 和和 将它们叠加原有的应力水平即得新的应力将它们叠加原有的应力水平即得新的应力水平。

水平其中其中 定义为定义为 形状改形状改变比能增量变比能增量. 三、两种增量理论的比较三、两种增量理论的比较1、、 Prandtl－－Reuss理论考虑了弹性变形，理论考虑了弹性变形， Levy－－Mises理论则没有考虑，理论则没有考虑，L理论是理论是P理论的特殊情况理论的特殊情况2、两理论都着重指出了、两理论都着重指出了 的关系：的关系：OSMises条件下条件下3、在整个变形过程中，可由各瞬时时段的变形积累而得，、在整个变形过程中，可由各瞬时时段的变形积累而得，因此增量理论能表达加载过程对变形的影响，能反映复杂的因此增量理论能表达加载过程对变形的影响，能反映复杂的加载情况加载情况4、增量理论仅适用加载情况，卸载情况下仍按虎克定律进行增量理论仅适用加载情况，卸载情况下仍按虎克定律进行四、增量理论的实验验证四、增量理论的实验验证 洛德曾做了薄壁圆管受内压和拉伸联合作用的实验，他引洛德曾做了薄壁圆管受内压和拉伸联合作用的实验，他引用了如下参数：用了如下参数：如果增量理论假设是正确的，则应存在如果增量理论假设是正确的，则应存在洛德实验结果表明洛德实验结果表明 大致成立的。

大致成立的泰勒和奎乃也曾用多种金属材料做了薄壁圆管受扭和泰勒和奎乃也曾用多种金属材料做了薄壁圆管受扭和拉伸作用的实验，实验结果表明拉伸作用的实验，实验结果表明 和和 的主的主轴误差不超过轴误差不超过 ，， 也大致成立也大致成立4.6 弹塑性强化材料的增量型本构关系弹塑性强化材料的增量型本构关系对于弹塑性强化材料，若采用等向强化模型，其强化条对于弹塑性强化材料，若采用等向强化模型，其强化条件通常采用沿着应变路径积分的等效塑性应变增量件通常采用沿着应变路径积分的等效塑性应变增量 来描述，即：来描述，即：Mises条件下条件下只有当塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过只有当塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过程中始终保持不变，即程中始终保持不变，即 各分量按同一比例增大，各分量按同一比例增大，才有才有 简单加载条件下：简单加载条件下：此时此时表示表示 曲线某点的斜率曲线某点的斜率与与Levy－－Mises理理论类似可求得：论类似可求得：得到弹塑性强化材料的增量型本构关系：得到弹塑性强化材料的增量型本构关系：将将代入代入Prandtl－－Reuss理论理论或写成或写成复习：复习：全全量量理理论论或写成或写成1、、2、增量理论、增量理论理想刚塑性理论理想刚塑性理论1）） 、、 Levy－－Mises理论理论2）、）、Prandtl－－Reuss理论理论或写成或写成理想弹塑性材料理想弹塑性材料3）、弹塑性强化材料）、弹塑性强化材料——等向强化等向强化或写成或写成说明：三个增量理论最根本的区别是说明：三个增量理论最根本的区别是 不一样。

不一样 汉盖汉盖 Hency Hency依留辛依留辛列维列维- -米赛斯米赛斯表表1 1 全量理论与增量理论比较表全量理论与增量理论比较表弹性应变弹性应变塑性应变塑性应变应力－应应力－应变关系变关系泊松比泊松比应变大小应变大小加载条件加载条件屈服条件屈服条件考虑的材考虑的材料料理论建立理论建立年代年代纳达依纳达依幂强化材料幂强化材料1943年年不考虑不考虑大应变大应变强化材料强化材料1937年年普朗特普朗特- -劳埃劳埃斯斯增量（每个瞬间是小应变）增量（每个瞬间是小应变）增量（每个瞬间是小应变）增量（每个瞬间是小应变）复杂加载复杂加载复杂加载复杂加载理想刚塑性理想刚塑性理想弹塑性理想弹塑性列维列维1871年年 米赛斯米赛斯 1913年年普朗特普朗特1924年年 劳埃斯劳埃斯1930年年1 1 . 薄壁圆筒承受内压作用，半径为薄壁圆筒承受内压作用，半径为r,壁厚为壁厚为t假设圆筒的材料是不可压缩的假设圆筒的材料是不可压缩的 试求圆筒试求圆筒完全进入塑性状态后，主应变之间的比值完全进入塑性状态后，主应变之间的比值2 2 . 薄壁圆筒承受内压作用，半径为薄壁圆筒承受内压作用，半径为r,壁厚为壁厚为t。

圆筒的屈服极限为圆筒的屈服极限为 若使圆筒保持若使圆筒保持直直径不变径不变，只产生轴向伸长，并假设材料是不，只产生轴向伸长，并假设材料是不可压缩的可压缩的 试求达到塑性状态时的内压试求达到塑性状态时的内压3 3 . 薄壁圆筒承受轴向拉力薄壁圆筒承受轴向拉力P P和内压和内压p p作用，作用，圆圆筒内径为筒内径为d,壁厚为壁厚为t满足体积不可压缩条满足体积不可压缩条件圆筒的屈服极限为件圆筒的屈服极限为 . 若使圆筒的直若使圆筒的直径保持不变，试求轴向力径保持不变，试求轴向力P 4.8 塑性势及流动法则塑性势及流动法则一、一、DruckerDrucker公设公设简单加载时，材料的后继屈服极限在变形过程中是不断简单加载时，材料的后继屈服极限在变形过程中是不断变化的，其应力－应变曲线可以有下面的三种形式：变化的，其应力－应变曲线可以有下面的三种形式：稳定材料稳定材料不稳定材料不稳定材料不可能不可能附加应力对附加应变作功为非负附加应力对附加应变作功为非负附加应力对附加应变作功为负附加应力对附加应变作功为负（非必要条件）（非必要条件）1(4)231423Drucker将第一种情况推广到复杂应力状态下，得到塑性将第一种情况推广到复杂应力状态下，得到塑性力学中十分重要的公设，即力学中十分重要的公设，即Drucker公设：公设：附加应力在应力循环内作塑性功非负附加应力在应力循环内作塑性功非负: :单轴下应力循环单轴下应力循环注意附加应力功是注意附加应力功是假想的功假想的功复杂应力状态下应力循环复杂应力状态下应力循环 DruckerDrucker公设其他描述公设其他描述：：在整个应力循环中，只有应力达到在整个应力循环中，只有应力达到 时才产时才产生生在循环的其他部分不产生塑性变形。

上述积分可变成：在循环的其他部分不产生塑性变形上述积分可变成：两个重要不等式：两个重要不等式：2)、当、当1点位于屈服面上，则点位于屈服面上，则 最大塑性功原理最大塑性功原理即实际应力所做的塑性功总是大于等于静力可能应力所做即实际应力所做的塑性功总是大于等于静力可能应力所做的塑性功的塑性功1)、当、当1点位于屈服面内，则点位于屈服面内，则 ，略去高阶，略去高阶微量微量二、两个重要结论二、两个重要结论（（1 1）屈服面的外凸性）屈服面的外凸性屈服面的外凸性屈服面的外凸性应力空间与塑性应变空间的坐标重应力空间与塑性应变空间的坐标重合，并将合，并将 的原点放在位于的原点放在位于屈服面上的屈服面上的 点处过过A点做一超平面点做一超平面 ，则上式成立的条件，即要求，则上式成立的条件，即要求A0必须始终位于超平面一侧，这必须始终位于超平面一侧，这就要求加载面是外凸就要求加载面是外凸 塑性应变增量的正交性塑性应变增量的正交性（（2）塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则））塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则）若加载面在若加载面在A点的外法线方向点的外法线方向 ，塑，塑性应变增量性应变增量 必须沿着外法线方必须沿着外法线方向向 即即 与与 方向重合，否方向重合，否则的总可以找到则的总可以找到A0使使 不成立。

不成立塑性应变增量的正交流动法则塑性应变增量的正交流动法则 说明只有应力增量指向加载面外部时才能产生塑性变说明只有应力增量指向加载面外部时才能产生塑性变形，这就是前面的加载准则形，这就是前面的加载准则三、塑性势理论三、塑性势理论 在弹性力学，弹性应变在弹性力学，弹性应变 与弹性应变能密度与弹性应变能密度U之间之间有如下关系：有如下关系：式中式中U为数学中的势函数，所以又称弹性势函数为数学中的势函数，所以又称弹性势函数Mises条件下：条件下：Mises用类比的方法，提出了塑性势的概念：用类比的方法，提出了塑性势的概念：塑性势理论塑性势理论g－塑性势函数－塑性势函数若若g＝＝f，则，则Levy－－Mises方程方程说明：对于光滑的屈服面来说，所有的塑性应变说明：对于光滑的屈服面来说，所有的塑性应变增量的方向根据正交性法则都是唯一确定，但是增量的方向根据正交性法则都是唯一确定，但是如果屈服面不是光滑的，如如果屈服面不是光滑的，如Tresca屈服面的尖点屈服面的尖点上塑性应变增量的方向是有变化的，其变化范围上塑性应变增量的方向是有变化的，其变化范围介于介于N1和和N2之间。

之间ππ平面平面N1N2薄壁圆管承受轴向拉力和扭矩作用，圆管由薄壁圆管承受轴向拉力和扭矩作用，圆管由不可压缩的弹性材料制成，按下列加载路线，不可压缩的弹性材料制成，按下列加载路线，试用普朗特试用普朗特- -劳埃斯方程计算管中内力劳埃斯方程计算管中内力第第5章章 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲一、假设和屈服条件一、假设和屈服条件 §5-1 §5-1 梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲 对于具有两个对称轴的等截面梁，荷载作用于纵向对对于具有两个对称轴的等截面梁，荷载作用于纵向对称平面内，可采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：称平面内，可采用材料力学中梁弯曲理论的一般假设：1）、变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂）、变形前垂直于梁轴的平面，在变形后仍保持为垂直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；直于弯曲梁轴的平面，即平截面假设；2）、不计各层间的相互挤压；）、不计各层间的相互挤压；3）、小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多；）、小变形，即挠度比横截面的尺寸小得多；4 4）、梁跨长比横向尺寸大得多）、梁跨长比横向尺寸大得多 根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力对材料屈根据上述假设，只考虑梁横截面上正应力对材料屈服的影响，用服的影响，用Tresca和和Mises条件均为：条件均为： = 二、梁的纯弯曲二、梁的纯弯曲 如图所示，研究具有两个对称轴的等截面梁，设如图所示，研究具有两个对称轴的等截面梁，设y y、、z z为为横截面的对称轴，横截面的对称轴，x x为梁的纵轴，为梁的纵轴，xoyxoy为弯曲平面。

为弯曲平面 ZyZyh/2h/2MM1、理想弹塑性材料、理想弹塑性材料 纯弯曲时，随着弯矩纯弯曲时，随着弯矩M M的增加，塑性变形由梁截面边缘的增加，塑性变形由梁截面边缘对称地向内部发展，对称地向内部发展，在梁的任一横截面上弹性区和塑性区在梁的任一横截面上弹性区和塑性区是共存的是共存的在弹性区，应力按线性分布；在塑性区，应力在弹性区，应力按线性分布；在塑性区，应力按按 分布；分布；而在两者的交界处，正应力而在两者的交界处，正应力 应应等于屈服应力等于屈服应力 1）） 对于理想弹塑性材料，在对于理想弹塑性材料，在塑性区塑性区 ，，则沿横截面高度，应力分布为：则沿横截面高度，应力分布为： 式中，式中， （（>0>0）为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离为横截面的中性层到弹、塑性分界面的距离 yZ Z塑性区塑性区弹性区弹性区- -＋＋2））M=M(ys)函数关系函数关系纯弯曲横截面上应力应满足轴力为零的条件纯弯曲横截面上应力应满足轴力为零的条件 由于由于Z为横截面的一条对称轴，上式自动满足，否则将由为横截面的一条对称轴，上式自动满足，否则将由这个条件确定中性轴的位置，横截面上的正应力还应满足：这个条件确定中性轴的位置，横截面上的正应力还应满足：即：即：可以简写成：可以简写成：其中其中 为弹性区为弹性区对中性轴的惯性矩；对中性轴的惯性矩； 为塑性区对中性轴的静矩为塑性区对中性轴的静矩3)、、弹性极限弯矩、塑性极限弯矩弹性极限弯矩、塑性极限弯矩此式确定此式确定M与与ys的关系的关系关于梁的关于梁的挠挠度，对弹性区而言，有：度，对弹性区而言，有：在弹性区的边界上的在弹性区的边界上的 处，处， 代入上式，梁代入上式，梁轴曲率半径为：轴曲率半径为： 考虑到梁的曲率与梁考虑到梁的曲率与梁挠度挠度 的关系，有：的关系，有：则得梁轴的挠曲线方程为：则得梁轴的挠曲线方程为：取梁的横截面是高取梁的横截面是高h h、宽为、宽为b b的矩形，则有：的矩形，则有：将他们代入将他们代入则得出：则得出：即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为：即得梁刚开始产生塑性变形时的弹性极限弯矩为： 如果令如果令 ，，即表示梁截面全部进入塑性状态，此即表示梁截面全部进入塑性状态，此时的弯矩称为塑性极限弯矩：时的弯矩称为塑性极限弯矩：而有而有: : 说明梁截面由开始屈服到全部屈服，还可以继续增加说明梁截面由开始屈服到全部屈服，还可以继续增加50%50%的承载能力，由此也可以看出按塑性设计可以充分发的承载能力，由此也可以看出按塑性设计可以充分发挥材料的作用。

挥材料的作用利用利用 和和 得：得：设与设与 对应的曲率半径对应的曲率半径 ，此时，此时 ，由此可，由此可得：得：纯弯梁纯弯梁 屈服后的曲率半径屈服后的曲率半径与弯矩与弯矩M M之间的关系之间的关系 而在屈服前，它们服从而在屈服前，它们服从线性线性的弹性关系，即满足：的弹性关系，即满足： 根据屈服前根据屈服前屈服后屈服后绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图所示：绘出弯矩与曲率的变化曲线，如图所示：0 01 12 23 34 45 50.50.51 11.51.54 4）、卸载规律）、卸载规律 梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在梁在达到塑性极限弯矩以后全部卸载，则在梁内存在残余应力应用卸载定律，可以计算此残余应力卸载过残余应力应用卸载定律，可以计算此残余应力卸载过程中弯矩改变值为程中弯矩改变值为 利用此值按弹性计算即得应力改变量为利用此值按弹性计算即得应力改变量为 卸载前的应力为：卸载前的应力为：则残余应力为：则残余应力为：前正负号：前正负号：y>0y>0时取正，时取正，y<0y<0取负取负  前正负号：前正负号：y>0y>0时取正，时取正，y<0y<0取负取负, ,残余应力沿截面高残余应力沿截面高度分布情况如图所示。

度分布情况如图所示 (a)- -- -＋＋（（b b））- -＋＋＝＝＋＋- -2、线性强化弹塑性材料+ +- -弹性区弹性区塑性区塑性区yZ Z强化阶段则有：强化阶段则有： 根据平截面假设，应有：根据平截面假设，应有：+ +- -yZ Z弹性区弹性区塑性区塑性区得得 与与 的关系的关系其中其中 为弹性区为弹性区对中性轴的惯性矩；对中性轴的惯性矩； 为塑性区对中性轴的静矩为塑性区对中性轴的静矩 为塑性区对中性轴的惯性矩；为塑性区对中性轴的惯性矩；梁横截面为梁横截面为b b×h×h的矩形，则有：的矩形，则有： 此式为矩形截面线性强化弹塑性此式为矩形截面线性强化弹塑性M与与ys的关系的关系三、梁的横力弯曲三、梁的横力弯曲 梁在横向载荷作用下的弯曲比纯弯曲复杂采用上述梁在横向载荷作用下的弯曲比纯弯曲复杂。

采用上述的假设和屈服条件，针对纯弯曲导出的有关结果基本上的假设和屈服条件，针对纯弯曲导出的有关结果基本上适用 纯弯曲纯弯曲 是常数是常数横力弯曲横力弯曲应力只沿高度方应力只沿高度方向变化向变化应力不仅沿高度方向变应力不仅沿高度方向变化，还沿长度方向变化化，还沿长度方向变化弹性区高度弹性区高度 是常数是常数纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲受均布载荷作用理想弹塑性材料的矩形截面梁受均布载荷作用理想弹塑性材料的矩形截面梁ABqAB应力分布应力分布整理一下可以得：整理一下可以得：式中：式中： 梁跨中截面开始屈服时的载荷，即梁的弹性极限载荷，梁跨中截面开始屈服时的载荷，即梁的弹性极限载荷， 可令（可令（1 1）式中）式中x＝＝0 得：得：(2)(2)式（式（2 2）表明梁中的弹塑性交界线是一双曲线表明梁中的弹塑性交界线是一双曲线ABx xy yqABx xy yq 在梁跨中截面全部进入塑性状态时，产生无限制的塑在梁跨中截面全部进入塑性状态时，产生无限制的塑性流动，相当于在跨中安置了一个铰，称为塑性铰。

性流动，相当于在跨中安置了一个铰，称为塑性铰 塑性铰的定义：塑性铰的定义：塑性铰与结构铰的区别塑性铰与结构铰的区别：： ①①、塑性铰与弯矩大小有关、塑性铰与弯矩大小有关 塑性铰的出现是因截面上的弯矩达到了塑性极限弯矩，并塑性铰的出现是因截面上的弯矩达到了塑性极限弯矩，并由此产生转动由此产生转动 ②②、结构铰处总有、结构铰处总有M=0M=0，不能传递弯矩，不能传递弯矩  塑性铰的出现，使得梁成为几何可变的，丧失了继塑性铰的出现，使得梁成为几何可变的，丧失了继续承载的能力此时对应的载荷称为塑性极限载荷续承载的能力此时对应的载荷称为塑性极限载荷 可令（可令（1 1）式中）式中x＝＝0 得：得：与弹性极限载荷相比与弹性极限载荷相比③③、结构铰为双向铰，即可以在两个方向上产生相对、结构铰为双向铰，即可以在两个方向上产生相对转动，而塑性铰处的转动方向必须与塑性极限弯矩的转动，而塑性铰处的转动方向必须与塑性极限弯矩的方向一致，所以塑性铰为单向铰；方向一致，所以塑性铰为单向铰； ④④、卸载后塑性铰消失，由于存在残余变形，结构、卸载后塑性铰消失，由于存在残余变形，结构不能恢复原状；而结构铰不变。

不能恢复原状；而结构铰不变四、梁的弹塑性挠度四、梁的弹塑性挠度由前面的分析可知，按照塑性极限状态设计，梁可以充分发由前面的分析可知，按照塑性极限状态设计，梁可以充分发挥材料的潜力但梁是否会因变形过大而不能使用，则需要挥材料的潜力但梁是否会因变形过大而不能使用，则需要研究梁在弹塑性阶段的变形在此阶段中，梁的变形仍受到研究梁在弹塑性阶段的变形在此阶段中，梁的变形仍受到弹性区的限制，因此塑性区的变形仍处于约束变形阶段弹性区的限制，因此塑性区的变形仍处于约束变形阶段 以理想弹塑性材料矩形截面以理想弹塑性材料矩形截面(b×h)(b×h)梁为例，横力弯曲时梁为例，横力弯曲时仍仅考虑弯矩引起的变形仍仅考虑弯矩引起的变形. . 纯弯曲纯弯曲横力弯曲横力弯曲 以悬臂梁为例，设梁处于弹塑性极限状态，固定端弯以悬臂梁为例，设梁处于弹塑性极限状态，固定端弯矩矩 ，， 截面弯矩为截面弯矩为 从而有：从而有： 即：即：O Oy yaP PlO Oy yaP P(1)(1)弹塑性段挠度弹塑性段挠度挠曲线方程式为挠曲线方程式为 在弹塑性段（在弹塑性段（ ）） 将上式积分。

在梁刚开始进入塑性极限状态瞬时，仍采用固将上式积分在梁刚开始进入塑性极限状态瞬时，仍采用固定端处挠度和转角为零的边界条件，得：定端处挠度和转角为零的边界条件，得： （（2 2）、弹性段挠度）、弹性段挠度在弹性段（在弹性段（ ）） O Oy yaP P挠曲线方程式为挠曲线方程式为 将上式积分，利用梁挠曲线的连续性条件将上式积分，利用梁挠曲线的连续性条件 时的挠度和转角分别与弹塑性阶段时的挠度和转角分别与弹塑性阶段 处的挠度和转处的挠度和转角相等，再考虑到：角相等，再考虑到： 和和 可以得出：可以得出： 将将x=0x=0代入上式，即得梁处于塑性极限状态时的自由端代入上式，即得梁处于塑性极限状态时的自由端的挠度：的挠度： 当梁处于弹性极限状态，即固定端弯矩为当梁处于弹性极限状态，即固定端弯矩为 其自由端处的挠度为：其自由端处的挠度为： (3)(3)(4)(4)从这个例题可以看出，按塑性力学得到的极限挠度为弹从这个例题可以看出，按塑性力学得到的极限挠度为弹性极限挠度的性极限挠度的2.222.22倍。

倍 将式（将式（3 3）与（）与（4 4）比较，可得：）比较，可得：(3)(3)(4)(4)5.3 5.3 圆杆的弹塑性扭转圆杆的弹塑性扭转一、弹性扭转一、弹性扭转T TT T平面假设平面假设单位长度上的单位长度上的相对扭转角相对扭转角扭转切应力扭转切应力二、弹塑性扭转二、弹塑性扭转理想弹塑性材料理想弹塑性材料屈服条件屈服条件纯剪纯剪两个屈服条件可以统一成两个屈服条件可以统一成: :TrescaTresca：：MisesMises：：随着随着T T的增加，圆杆的最外层开始屈服，设的增加，圆杆的最外层开始屈服，设 为截面弹性为截面弹性和塑性分界线半径，则应力分布可写成如下形式：和塑性分界线半径，则应力分布可写成如下形式：当当 时，圆杆最外层开始屈服时，圆杆最外层开始屈服. .弹性极限扭矩弹性极限扭矩当当 时，圆杆截面全部屈服时，圆杆截面全部屈服. .塑性极限扭矩塑性极限扭矩三、残余应力和残余转角三、残余应力和残余转角圆截面杆受圆截面杆受T>TT>Te e作用，将作用，将T T除去后，残余应力：除去后，残余应力：在弹性区在弹性区 ，，在塑性区在塑性区 ，，残余转角残余转角5.4 5.4 非圆截面杆的塑性极限扭矩非圆截面杆的塑性极限扭矩 非圆截面杆因扭转而变形时，每一个截面不仅转动，且非圆截面杆因扭转而变形时，每一个截面不仅转动，且产生翘曲，并不能保持平面。

由于弹塑性分界面一般不能产生翘曲，并不能保持平面由于弹塑性分界面一般不能事先确定，因此，求解非圆截面杆弹塑性扭转问题的解析事先确定，因此，求解非圆截面杆弹塑性扭转问题的解析解是很困难解是很困难下面讨论理想弹塑性材料的非圆截面扭转的塑性极限分析下面讨论理想弹塑性材料的非圆截面扭转的塑性极限分析1 1、结论：对于实心杆而言，在杆截面的周边筑起斜率为常、结论：对于实心杆而言，在杆截面的周边筑起斜率为常数数k k的等倾曲面（曲面任一点的切平面和底面的夹角都相等）的等倾曲面（曲面任一点的切平面和底面的夹角都相等）————这样的曲面称为应力曲面这样的曲面称为应力曲面V—V—应力曲面与杆横截面所包围的空间的体积应力曲面与杆横截面所包围的空间的体积2 2、沙堆比拟法、沙堆比拟法 当杆截面的形状比较复杂，应力曲面不容易确定可当杆截面的形状比较复杂，应力曲面不容易确定可以采用沙堆比拟法来计算以采用沙堆比拟法来计算 用等颗粒状的沙子堆出与应力曲面相类似的曲面，两者用等颗粒状的沙子堆出与应力曲面相类似的曲面，两者的体积相差一个换算因子的体积相差一个换算因子其中其中 　010-88379736 　yjhu@。