行测讲义公式46790.pdf

- 1 - 数量关系常用公式 一、基础代数公式 1.平方差公式： （a ＋b ）³（a －b ）＝a2－b2 2.完全平方公式： （a ±b ）2＝a2±2ab＋b2 完全立方公式： （a ±b ）3= （a ±b ）(a2±ab+b2) 3.同底数幂相乘: am³an＝am ＋n（m 、n 为正整数，a ≠0 ） 同底数幂相除：am÷an＝am －n（m 、n 为正整数，a ≠0 ） a0＝1 （a ≠0 ） a-p＝1/ap（a ≠0 ，p 为正整数） 4.等差数列： 1 ）Sn＝na1+n(n-1)d； 2 ）an＝a1＋（n-1）d ； 3 ）n ＝(an-a1)/d ＋1 ； 4 ）若 a,A,b成等差数列，则：2A＝a+b； 5 ）若 m+n=k+i，则：am+an=ak+ai ； （其中：n为项数，a1为首项，an为末项，d为公差，Sn 为等差数列前 n项的和） 5.等比数列： 1 ）an＝a1qn-1； 2 ）Sn＝a1(1-qn)/(1-q) 3 ）若 a,G,b成等比数列，则：G2＝ab； 4 ）若 m+n=k+i，则：am²an=ak²ai ； 5 ）am-an=(m-n)q  - 2 - 6 ）am/an＝q(m-n) （其中：n为项数，a1为首项，an为末项，q为公比，Sn 为等比数列前 n项的和） 6.一元二次方程求根公式：ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 其中：x1= ；x2= （b2-4ac≥0 有实数根，b2-4ac＜0 无实数根） 根与系数的关系：x1+x2=-b/a ，x1²x2=c/a 二、基础几何公式 1.三角形：不在同一直线上的三点可以构成一个三角形；三角形内角和等于 180°；三角形中任两边之和大于第三边、任两边之差小于第三边； （1 ）角平分线：三角形一个的角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段, 叫做三角形的角的平分线。

（2 ）三角形的中线：连结三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 （3 ）三角形的高：三角形一个顶点到它的对边所在直线的垂线段，叫做三角形的高 （4 ）三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线 （5 ）内心：角平分线的交点叫做内心；内心到三角形三边的距离相等 重心：中线的交点叫做重心；重心到每边中点的距离等于这边中线的三分之一 垂线：高线的交点叫做垂线；三角形的一个顶点与垂心连线必垂直于对边 外心：三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心外心到三角形的三个顶点的距离相等  - 3 - 2.直角三角形：有一个角为 90 度的三角形，就是直角三角形 直角三角形的性质： （1 ）直角三角形两个锐角互余； （2 ）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （3 ）直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （4 ）直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是 30°； （5 ）直角三角形中，c2＝a2＋b2（其中：a 、b为两直角边长，c为斜边长） ； （6 ）直角三角形的外接圆半径，同时也是斜边上的中线； 直角三角形的判定： （1 ）有一个角为 90°； （2 ）边上的中线等于这条边长的一半； （3 ）若 c2＝a2＋b2，则以a 、b 、c为边的三角形是直角三角形； 2.面积公式： 正方形＝边长³边长； 长方形＝长³宽； 三角形＝1/2³底³高； 梯 形＝（上底+ 下底）³高/2 ； 圆 形＝πR2 平行四边形＝底³高 扇 形＝n/360πr2 正方体＝6 ³边长³边长  - 4 - 长方体＝2 ³（长³宽＋宽³高＋长³高） ； 圆柱体＝2 π r2＋2 π rh； 球的表面积＝4 π r2 3.体积公式 正方体＝边长³边长³边长； 长方体＝长³宽³高； 圆柱体＝底面积³高＝Sh＝π r2h 圆 锥＝1/3π r2h 球 ＝4/3π r3 三、其他常用知识 1 ．2X、3X、7X、8X 的尾数都是以 4 为周期进行变化的；4X、9X 的尾数都是以 2为周期进行变化的；另外 5X 和 6X 的尾数恒为5和 6 ，其中 x属于自然数。

2 ．对任意两数 a 、b ，如果 a －b ＞0 ，则 a ＞b ；如果a －b ＜0 ，则 a ＜b ；如果a －b ＝0 ，则 a ＝b 当 a 、b 为任意两正数时，如果 a/b＞1 ，则 a ＞b ；如果a/b＜1 ，则 a ＜b ；如果 a/b＝1 ，则 a ＝b 当 a 、b 为任意两负数时，如果 a/b＞1 ，则 a ＜b ；如果a/b＜1 ，则 a ＞b ；如果 a/b＝1 ，则 a ＝b 对任意两数 a 、b ，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值 C ，如果 a ＞C ，且 C ＞b ，则我们说 a ＞b 3 ．工程问题： 工作量＝工作效率³工作时间；工作效率＝工作量÷工作时间； 工作时间＝工作量÷工作效率；总工作量＝各分工作量之和；  - 5 - 注：在解决实际问题时，常设总工作量为 1 4 ．方阵问题： （1 ）实心方阵：方阵总人数＝（最外层每边人数）2 最外层人数＝（最外层每边人数－1 ）³4 （2 ）空心方阵：中空方阵的人数＝（最外层每边人数）2- （最外层每边人数-2³层数）2＝（最外层每边人数- 层数）³层数³4=中空方阵的人数。

例：有一个 3 层的中空方阵，最外层有 10 人，问全阵有多少人？ 解： （10－3 ）³3 ³4 ＝84（人） 5 ．利润问题： （1 ）利润＝销售价（卖出价）－成本； （2 ）单利问题 利息＝本金³利率³时期； 本利和＝本金＋利息＝本金³（1+利率³时期） ； 本金＝本利和÷（1+利率³时期） 年利率÷ 12=月利率； 月利率³12=年利率 例： 某人存款 2400元， 存期 3 年， 月利率为 10． 2 ‟ （即月利 1 分零 2 毫） ，三年到期后，本利和共是多少元？” 解：用月利率求3 年=12月³3=36个月 2400³（1+10．2 ％³36） =2400³1 ．3672 =3281．28（元） 6 ．排列数公式：Pnm＝n （n －1 ） （n －2 ）„（n －m ＋1 ） ， （m ≤n ） 组合数公式：C ＝P ÷P ＝（规定 ＝1 ） “装错信封”问题：D1＝0 ，D2＝1 ，D3＝2 ，D4＝9 ，D5＝44，D6＝265， 7.年龄问题：关键是年龄差不变；  - 6 - 几年后年龄＝大小年龄差÷倍数差－小年龄 几年前年龄＝小年龄－大小年龄差÷倍数差 8. 日期问题：闰年是366天，平年是365天，其中：1 、3 、5 、7 、8 、10、12 月都是 31 天，4 、6 、9 、11 是 30 天，闰年时候 2月份 29 天，平年 2月份是28 天。

9. 植树问题 （1 ）线形植树：棵数＝总长/ 间隔＋1 （2 ）环形植树：棵数＝总长/ 间隔 （3 ）楼间植树：棵数＝总长/ 间隔－1 （4 ）剪绳问题：对折 N 次，从中剪 M 刀，则被剪成了（2N³M ＋1 ）段 10. 鸡兔同笼问题： 鸡数＝（兔脚数³总头数- 总脚数）÷（兔脚数- 鸡脚数） （一般将“每”量视为“脚数” ） 得失问题（鸡兔同笼问题的推广） ： 不合格品数＝（1 只合格品得分数³产品总数- 实得总分数）÷（每只合格品得分数+ 每只不合格品扣分数）＝总产品数- （每只不合格品扣分数³总产品数+ 实得总分数）÷（每只合格品得分数+ 每只不合格品扣分数） 例： “灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资每生产一个合格品记 4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除 15 分某工人生产了 1000只灯泡，共得 3525分，问其中有多少个灯泡不合格？” 解： （4 ³1000-3525）÷（4+15） =475÷19=25（个） 11．盈亏问题： （1 ）一次盈，一次亏： （盈+ 亏）÷（两次每人分配数的差）= 人数 （2 ）两次都有盈： （大盈- 小盈）÷（两次每人分配数的差）= 人数  - 7 - （3 ）两次都是亏： （大亏- 小亏）÷（两次每人分配数的差）= 人数 （4 ）一次亏，一次刚好：亏÷（两次每人分配数的差）= 人数 （5 ）一次盈，一次刚好：盈÷（两次每人分配数的差）= 人数 例： “小朋友分桃子，每人 10 个少 9 个，每人 8 个多 7 个。

问：有多少个小朋友和多少个桃子？” 解（7+9）÷（10-8）=16÷2=8（个）„„„„„„人数 10³8-9=80-9=71（个）„„„„„„桃子 12.行程问题： （1 ）平均速度：平均速度＝ （2 ）相遇追及： 相遇（背离） ：路程÷速度和＝时间 追及：路程÷速度差＝时间 （3 ）流水行船： 顺水速度＝船速＋水速； 逆水速度＝船速－水速 两船相向航行时，甲船顺水速度+ 乙船逆水速度= 甲船静水速度+ 乙船静水速度 两船同向航行时，后（前）船静水速度- 前（后）船静水速度= 两船距离缩小（拉大）速度 （4 ）火车过桥： 列车完全在桥上的时间＝（桥长－车长）÷列车速度 列车从开始上桥到完全下桥所用的时间＝（桥长＋车长）÷列车速度 （5 ）多次相遇：  - 8 - 相向而行，第一次相遇距离甲地 a千米，第二次相遇距离乙地 b千米，则甲乙两地相距 S＝3a-b（千米） （6 ）钟表问题： 钟面上按“分针”分为 60 小格，时针的转速是分针的 ，分针每小时可追及时针与分针一昼夜重合 22 次，垂直 44 次，成 180° 22次。

牛吃草问题 1 ）草的生长速度＝对应的牛头数³吃的较多天数－相应的牛头数³吃的较少天数÷（吃的较多天数－吃的较少天数） ； （2 ）原有草量＝牛头数³吃的天数－草的生长速度³吃的天数；` （3 ）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度） ； （4 ）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度例题在 WORD上 在 1 到 1000的自然数中， 能被 3 或 5整除的数共有多少个？不能被 3或 5整除的数共有多少个？ 分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数 3 的倍数，5的倍数） 我们可以把“能被 3 或 5整除的数”分别看成A类元素和 B类元素，能“同时被 3或 5整除的数（15 的倍数） ”就是被重复计算的数，即“既是 A类又是 B 类的元素” 求的是“A 类或 B 类元素个数” 现在我们还不能直接计算， 必须先求出所需条件 1000÷3=333„„1 ，能被 3整除的数有 333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件 例 4 分母是1001的最简分数一共有多少个？ 分析：这一题实际上就是找分子中不能整除 1001的数由于 1001=7³11³13，所以就是找不能被 7 ，11，13 整除的数。

容斥原理  - 9 - 容斥原理 1 ．关键提示： 容斥原理关键内容就是两个公式，考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型另外在练习及真考的过程中，请借助图例将更有助于解题 2 ．核心公式： （1 ）两个集合的容斥关系公式： A＋B ＝A ∪B ＋A ∩B （2 ）三个集合的容斥关系公式： A＋B ＋C ＝A ∪B ∪C ＋A ∩B ＋B ∩C ＋C ∩A －A ∩B ∩C 例题 1 ：2004年中央A类真题 某大学某班学生总数为 32 人，在第一次考试中有 26 人及格，在第二次考试中有 24 人及格，若两次考试中，都没有及格的有 4人，那么两次考试都及格的人数是( ) A．22 B．18 C．28 D．26 解析： 设 A ＝第一次考试中及格的人 （26） ， B ＝第二次考试中及格的人 （24） 显然，A ＋B ＝26＋24＝50；A ∪B ＝32－4 ＝28， 则根据公式 A ∩B ＝A ＋B －A ∪B ＝50－28＝22 所以，答案为 A 例题 2 ：2004年山东真题 某单位有青年员工 85 人，其中 68 人会骑自行车，62 人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有 12 人，则既会骑车又会游泳的有（ ）人 A.57 B.73 C.130 D.69 解析：设 A ＝会骑自行车的人（68） ，B ＝会游泳的人（62）  - 10 - 显然，A ＋B ＝68＋62＝130；A ∪B ＝85－12＝73， 则根据公式 A ∩B ＝A ＋B －A ∪B ＝130－73＝57 所以，答案为 A 。

例题 3 ： 电视台向 100人调查前一天收看电视的情况， 有 62 人看过 2频道，34 人看过8 频道， 11 人两个频道都看过 两个频道都没看过的有多少人？ 解析：设 A ＝看过 2 频道的人（62） ，B ＝看过 8 频道的人（34） 显然，A ＋B ＝62＋34＝96；A ∩B ＝两个频道都看过的人（11） 则根据公式 A ∪B ＝A ＋B －A ∩B ＝96－11＝85 所以，两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15 所以，答案为 15 例题 4 ：2005年中央A类真题 对某单位的 100名员工进行调查， 结果发现他们喜欢看球赛和电影、 戏剧其中 58 人喜欢看球赛，38 人喜欢看戏剧，52 人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有 18 人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有 16 人，三种都喜欢看的有 12 人，则只喜欢看电影的有： A ．22 人 B．28 人 C．30 人 D．36 人 解析：设 A ＝喜欢看球赛的人（58） ，B ＝喜欢看戏剧的人（38） ，C ＝喜欢看电影的人（52） A ∩B ＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18） B ∩C ＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16） A ∩B ∩C ＝三种都喜欢看的人（12） A ∪B ∪C ＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100） 根据公式：A ＋B ＋C ＝A ∪B ∪C ＋A ∩B ＋B ∩C ＋C ∩A －A ∩B ∩C C ∩A ＝A ＋B ＋C －（A ∪B ∪C ＋A ∩B ＋B ∩C －A ∩B ∩C ）  - 11 - ＝148－（100＋18＋16－12）＝26 所以，只喜欢看电影的人＝C －B ∩C －C ∩A ＋A ∩B ∩C ＝52－16－26＋12 ＝22 容斥原理类型的题目的难点就在于在运算的时候， 计数的重复， 遗漏问题。

容斥原理的基本思想：先不考虑重叠的情况，把包含于某一内容中的所有对象的数目计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结既无重复也无遗漏 这种类型是目前国家、各地区公务员考试的“常客”题型，对于大部分应试者来说， 还是比较头痛的一种类型 因此大家需要认真去对待掌握特别是对于基础的图形模型要了然于胸 容斥原理类型我们一般通过两种方法去解决，公式法和韦恩图解法图解法是通过画图来求解，相信大家都能做到，这里介绍的一下公式法 核心公式： （1 ）两个集合的容斥关系公式： A＋B=A∪B ＋A ∩B （2 ）三个集合的容斥关系公式： A＋B ＋C=A∪B ∪C ＋A ∩B ＋B ∩C ＋C ∩A －A ∩B ∩C 另外还将下面另外一种方程式的公式，首先请参考下图，通过一个例题来理解 【例题】假设有 100人参加了三个兴趣小组其中参加数学兴趣小组的有55 人，参加语文兴趣小组的有 65 人，参加英语兴趣小组的有 70 人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是 31 人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是 40 人，同时参加语文和英语兴趣小组的有 25 人，则三个兴趣小 - 12 - 组都参加的人数是多少人？ （1 ） A+B+T=总人数（无重叠） （2 ） A＋2B＋3T＝至少参加其中一个兴趣小组的人数（含重叠部分） （3 ） B＋3T＝至少参加两个兴趣小组的人数（含重叠） 这里介绍一下 A 、B 、T分别是什么 A ＝x ＋y ＋z ；表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。

B ＝a ＋b ＋c ；表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和（不含中间的 T 区域） T ＝全部都参加的人数也就是图形当中最中间的部分 T 例题通过公式有如下解法： （1 ） A＋B ＋T ＝100； （2 ） A＋2B＋3T＝55＋65＋70＝190 （3 ） B＋3T＝31＋40＋25＝96 实际上我们要求的是 T ， （1 ）＋（3 ）－（2 ）＝T 即得到答案 T ＝100＋96－190＝6 【09 国家】如图所示，X 、Y 、Z分别是面积为 64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是 290，其中 X与 Y 、Y与 Z 、Z与 X重叠部分的面积依次是 24、70、36，那么阴影部分的面积是： A ．15 B．16 C．14 D．18 【解答】答案为 B 这就是典型的容斥原理图形求解的阴影面积即为三个集合都相交的区域根据公式 （1 ） A＋B ＋T ＝290  - 13 - （2 ） A＋2B＋3T＝64＋180＋160＝404 （3 ） B＋3T＝24＋70＋36＝130 （1 ）＋（3 ）－（2 ）＝T ＝290＋130－404＝16 故答案是 16 【09 江苏】某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向 125人进行调查，有 89 人看过甲片，有 47 人看过乙片，有 63 人看过丙片，其中有 24人三部电影全看过，20 人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是 A ．69 人 B．65 人 C．57 人 D．46 人 【解答】答案为 D 。

根据公式，此题要求的实际上是 B ，剔除没有看电影的人数，也就是说没有参与这个集合的人数 20 人，实际参与这个集合的人数是 125－20＝105人 （1 ） A＋B ＋T ＝105 （2 ） A＋2B＋3T＝89＋47＋63＝199 （3 ） T＝24 B ＝（2 ）－（1 ）－2T＝199－105－48＝46 【例题】甲、乙、丙三个人共解出 20 道数学题，每人都解出了其中的 12道题，每道题都有人解出只有一人解出的题叫做难题，只有两人解出的题叫做中等题，三人解出的题叫做容易题，则难题比容易题多（ ）题? A ．6 B．5 C．4 D．3 【解答】答案为 C 稍微整理一下题目，难题也就是三个圆圈中不参与重叠的部分，也就是公式当中的 A 所表示的；中等题目是只重叠过 1次，也就是公式当中的 B ，简单题则是公式当中的 T （1 ） A＋B ＋T ＝20 （2 ） A＋2B＋3T＝12³3 ＝36  - 14 - 要求解的是 A －T ＝？；通过上述两个表达式变型可得到： （1 ）³2 －（2 ）＝A －T ＝20³2 －36＝4 故此题选 C 。