2004年天津市高考理科数学真题及答案【含答案、解析】.doc

2004年天津市高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）是虚数单位，　　A． B． C． D．2．（5分）若不等式的解集为　　A．， B．， C．， D．，3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　A． B． C． D．4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　A．2 B．18 C．2或18 D．165．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　A． B． C． D．6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　A． B． C． D．7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为　　A． B． C． D．8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的　　A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．（5分）函数，，为增函数的区间是　　A．， B．， C．， D．，10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　A． B． C． D．1611．（5分）函数的反函数是　　A． B． C． D．12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　A． B． C． D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　 　．14．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　 　．15．（4分）若，则　 　．（用数字作答）16．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有　 　个．（用数字作答）三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（1）求的分布列和的数学期望；（2）求“所选3人中女生人数”的概率．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）证明平面；（2）证明平面；（3）求二面角的大小．20．（12分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为偶数；（2）点数大于2且小于5．22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．2004年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）是虚数单位，　　A． B． C． D．【解答】解：，故选：．2．（5分）若不等式的解集为　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：故选：．3．（5分）若平面向量与向量的夹角是，且，则　　A． B． C． D．【解答】解向量与向量的夹角是，向量与向量反向，令（则，又，解得故故选：．4．（5分）设是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于　　A．2 B．18 C．2或18 D．16【解答】解：整理准线方程得，，，或或18，故选：．5．（5分）若函数在区间，上的最大值是最小值的3倍，则等于　　A． B． C． D．【解答】解：，是减函数．．．．．．故选：．6．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，是底面的中心，、分别是、的中点，那么异面直线和所成的角的余弦值等于　　A． B． C． D．【解答】解：取的中点．连接，再取的中点，连接、，则为异面直线所成的角．在中，，，．由余弦定理，可得．故选：．7．（5分）点为圆的弦的中点，则直线的方程为　　A． B． C． D．【解答】解：是圆的弦，圆心为设的中点是满足因此，的斜率可得直线的方程是，化简得故选：．8．（5分）已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的　　A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：点都在直线上， “为等差数列，若“为等差数列，可设，则点都不在直线上，对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的充分而不必要条件，故选：．9．（5分）函数，，为增函数的区间是　　A．， B．， C．， D．，【解答】解：由其增区间可由的减区间得到，即，，．令，，故选：．10．（5分）如图，在长方体中，，，，分别过、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，．若，则截面的面积为　　A． B． C． D．16【解答】解：由题意知，在长方体中，平面平面，截面是一个矩形，并且长方体的体积，，，则，解得，在直角中，，故截面的面积是，故选：．11．（5分）函数的反函数是　　A． B． C． D．【解答】解：函数，可得，，所以函数的反函数是：故选：．12．（5分）定义在上的函数既是偶函数又是周期函数．若的最小正周期是，且当，时，，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：的最小正周期是函数是偶函数．故选：．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为的样本，样本中种型号产品有16件．那么此样本的容量　80　．【解答】解：故答案是8014．（4分）如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是　　．【解答】解：过、两点的直线为：与抛物线联立得：．因为直线与抛物线没有交点，则方程无解．即△，解之得．故答案为：15．（4分）若，则　2004　．（用数字作答）【解答】解：令，得；令，得，故．故答案为：200416．（4分）从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有　300　个．（用数字作答）【解答】解：①四位数中包含5和0的情况：．②四位数中包含5，不含0的情况：．③四位数中包含0，不含5的情况：．四位数总数为．故答案为：300．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【解答】解：（Ⅰ）解：，由，有，解得；（Ⅱ）解法一：．解法二：由（1），，得，于是，代入得．18．（12分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（1）求的分布列和的数学期望；（2）求“所选3人中女生人数”的概率．【解答】解：（1）由题意知本题是一个超几何分步，随机变量表示所选3人中女生的人数，可能取的值为0，1，2．．的分布列为012 的数学期望为（2）由（1）知“所选3人中女生人数”的概率为19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．（1）证明平面；（2）证明平面；（3）求二面角的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接，交于，连接．底面是正方形，点是的中点在中，是中位线，而平面且平面，所以，平面（2）证明：底面且底面，，可知是等腰直角三角形，而是斜边的中线，．①同样由底面，得．底面是正方形，有，平面．而平面，．②由①和②推得平面．而平面，又且，所以平面．（3）解：由（2）知，，故是二面角的平面角．由（2）知，，．设正方形的边长为，则，．在中，．在中，，．所以，二面角的大小为．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，为坐标原点，设．（1）证明：连接，交于，连接．依题意得．底面是正方形，是此正方形的中心，故点的坐标为且．，这表明．而平面且平面，平面．（2）证明；依题意得，，，．又，故．．由已知，且，所以平面．（3）解：设点的坐标为，，，，则，，，，．从而，，．所以．由条件知，，即，解得点的坐标为，且，即，故是二面角的平面角．，且，，．．所以，二面角的大小为．20．（12分）已知函数在处取得极值．（Ⅰ）讨论（1）和是函数的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程．【解答】（Ⅰ）解：，依题意，（1），即解得，．，．令，得，．若，，，则，故在上是增函数，在上是增函数．若，则，故在上是减函数．所以，是极大值；（1）是极小值．（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上．设切点为，，则点的坐标满足．因，故切线的方程为注意到点在切线上，有化简得，解得．所以，切点为，切线方程为．21．（12分）掷一个骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为偶数；（2）点数大于2且小于5．【解答】解：掷一个骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等．（1）点数为偶数有3种可能，即点数为2，4，6，（点数为偶数）；（3分）（2）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，（点数大于2且小于．（6分）22．（14分）椭圆的中心是原点，它的短轴长为，相应于焦点，的准线与轴相交于点，，过点的直线与椭圆相交于、两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若，求直线的方程；（3）设，过点且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点，证明．【解答】（1）解：由题意，可设椭圆的方程为．由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率．（2）解：由（1）可得．设直线的方程为．由方程组得依题意△，得．设，，，，则，①．②由直线的方程得，．于是．③，．④由①②③④得，从而．所以直线的方程为或（3）证明：．由已知得方程组注意，解得因，，，故．而，所以．第14页 | 共14页 。