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高中数学解析几何双曲线性质与定义.docx

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    • 双曲线双曲线是圆锥曲线的一种,即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线 双曲线在一定的仿射变换下,也可以看成反比例函数双曲线有两个定义,一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹, 二是到定点与定直线的距离之比是一个大于 1的常数的点之轨迹一、双曲线的定义①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上,与该平面上两个定点 Fi、F2的距离之差的 绝对值始终为一定值2a(2a小于Fi和F2之间的距离即 2a<2c)时所成的轨迹叫做 双曲线取过两个定点Fi、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系图 2-24设M(x, y)为双曲线上任意一点,那么F1、F2的坐标分别是(-c , 0)、(c , 0).又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数 2a二晒二麻工产F,晔尸而可*「,+ cy Jy- - -a) . ± 2a,将这个方程移项,两边平方得:(x+ c)2 +/=4/上 ㈤工十/ -C)3 +y*.两边再平方,整理得:c2 a2 x2 a2y2 a2 c2 a2由双曲线定义,202a 即c>a,所以c2-a2>0.设c2 a2 b2 (b >0),代入上式得:2 2双曲线的标准方程:、、1 a b两个定点Fi,F2叫做双曲线的左,右焦点。

      两焦点的距离叫焦距,长度为 2c0坐标轴上的端点叫做顶点,其中 2a为双曲线的实轴长,2b为双曲线的虚轴长实轴长、虚轴长、焦距间的关系: c2 a2 b2,②双曲线的第二定义与椭圆的方法类似:对于双曲线的标准方程:2 x -2 a2y2 1,我们将c2 a2 b2代入,b22 x2 a x 一c所以有:双曲线的第二定义可描述为:平面内一个动点(x,y )到定点F ( c,0)的距离与到定直线l( x2—)的距离之比为 c常数e c c a 0的点的轨迹是双曲线,其中, a定点 F叫做双曲线的焦点,定直线l叫做双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率1、离心率:(1)定义:双曲线的焦距与实轴长的比2c2a叫做双曲线的离心率;a(2)范围:e 1;(3)双曲线形状与e的关系:y1Fl Ai OA2 F2 x因此e越大,即渐近线的斜率的绝对值就大, 可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔;这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔 由此(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化;(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约;2、准线方程:2 2对于 I yr 1来说,相对于左焦点 E( c,0)对应着左准线11 :x a b2—,相对于右焦点cF2(c,0)对应着右准线12位置关系:2 2对于% b22 a a —c0,b2焦点到准线的距离p —(也叫焦参数);c1来说,相对于下焦点F1(0, c)对应着下准线11 : ya2一;相对于上焦点F2(0,c)对 c应着上准线12 : yyA2 F2 xF2AA1F1F1、F2的连线段,叫做双曲线的焦半径。

      F1,F2是其左右焦点,eX);同理 MF2 a ex0 ;其中 F「F2分别是双曲线的左(下)、右(上)焦点3、顶点:A(-a,0)A,(a,0)同时AA7叫做双曲线的实轴且I AA I =2a;B(0,-b)4、渐近线:B/ (0,b)同时BB /叫做双曲线的虚轴且|BB/ I =2b02由二2 a2匕1b22 y2 xb2-2 a焦点在x轴:b2~~2 xb v—x , a,y焦点在y轴:x时, xb yb所以:双曲线的渐近线方程为: a5、双曲线焦半径公式:(圆锥曲线上任意一点aP(x,y)右焦半径:左焦半径:r=r=I ex-aI ex+a6、共腕双曲线2双曲线S:三 a(a 0,b 0),双曲线双曲线S/的实轴是双曲线bS的虚轴且双曲线S72三 1 (a 0,b 0) a的虚轴是双曲线 S的实轴时,称3、双曲线的焦半径:双曲线上任意一点M与双曲线焦点2 2设双曲线与2_ 1 (a 0,b 0), a b|MFi| . MF1J——-e, ————1r e, •• MFi ad1 ax0c即:焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式:MF1 a ex0MF2 a ex0同理:焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式:MF〔 a ey0MF2 a ey0二、双曲线的性质1、轨迹上一点的取值范围: x a或x a (焦点在x轴上)或者y a或y a (焦点在y轴上)。

      2、对称性:关于坐标轴和原点对称双曲线S,与双曲线S为共腕双曲线特点: (1)共渐近线(2)焦距相等(3)两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于7.焦点到一条渐近线的距离特别如图2可知:双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长. 这个性质很重要.、例题求解:bx,我们可以判断直线 a2 2例1:已知双曲线勺 1 (a 0,b 0)的渐近线是y a by kx m与双曲线的交点个数①当直线y kx m的斜率k b时,如果,显然它就是渐近线,与双曲线没有任 a何交点,如果徵手° ,则它与双曲线有一个只有一个交点②当直线y kx m的斜率k 2,2时,则y kx m与双曲线有两个交点 a a③当直线y kx m的斜率k , - b, 时,则y kx m与与双曲线没有交点a a例2已知直线y = .+2与双曲线有两个不同的交点,试确定活的范围.y -mx+2解:由可得,(4-加M-4的-5 = 0从而& /一4(4一步)(7 >口解得-2君 <淑<2眄又因为4/一/ =】的渐近线方程是y=s ,所以海=±2 .故 活以一2 在「2)IJC2,2)U(Z2j5)2 2例3已知双曲线勺y- 1 (a 0,b 0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是 a b2倍,则有双曲线的离心率是 解:由已知可知 以二2厘,所以 r V * \ \aj2 2F1PF2的内切圆与边F1F2即求ON的长度,而例4双曲线左 y— 1上一点P与左右焦点Fi,F2构成F1PF2,求 9 4的切点N的坐标。

      分析:设点P在已知双曲线的右支上,要求点N的坐标ON| OF? NF2I ,其中|OF2| c v13,只需求|NF21的长度,即〔NF2是圆M的一条切线长,可用平面几何知识(切线长定理)求解解:设点P在已知双曲线的右支上,由题意得NF2PF2I |叫 |PFi|2a 2 c — r— — - 一PF2 PF1 2a, |NF2 ——--c a,又 c ,13 , a 3, NF2 713 3,又of2 c、T3, on of2 nf2| J13(713 3)当点P在已知双曲线的右支上时,切点 N为顶点(3,0),当点P在已知双曲线的左支上时,切点N为顶点(3,0)2 2例5 已知F「F2是双曲线土 匕1的左右焦点,P在双曲线的左支上, PF2F1 ,9 16PF1F2 ,求 tan — cot—的值2 2分析:如右图,先做出 PF1F2的内切圆M ,则M切F1F2于点A, MA等于内切圆的半径且 MF2F1一,MF1A2解:做出 PF1F2的内切圆M ,MF2F1 一 , MF1A 一,2 2, , r 2 1tan - cot ————2 2 8 r 42 2例6设F1、F2是曲线C1:二—6 2则。

      M切FR于点A,|AM| r rtan— 一2 AF2 a c 821的焦点,P为曲线C2: 土3AF2 c a 2 cot 2 AM r ry2 1与C1的一个交点,则PF1 PF2分析:利用双曲线及椭圆的定义找出 PF1PF2之间的关系解析:设|PF1| m, |PF2| n,不妨设m n,显然椭圆和双曲线共焦点(2,0),由椭圆和m <6 33 , n V6 J3 在三角形 PF1F2 中,2 2 2 2 2 2PFi PF2 F1F2 m2 n2 (2c)2 1cos F1PF2 --2 PF1 PF2 2mn 3双曲线的定义可知m n 2jE且m n 2第cos F1PF2 —PF1| |PF2| 32 2例7已知F「F2是双曲线冬 4 1的左右焦点,过 已作倾斜角为 a b于M点,若MF2垂直于x轴,求双曲线的离心率.f-解析:由题意的 F1F2 2c, MF2 2c tan— 2^3c , MF11 6 330o的直线交双曲线右支由余弦定理可知二^^3c由定义知cos— 36MF1 MF2 22^3c 2a ,则 e J332 2例8已知双曲线x2 与1的左右焦点分别为 R( c,0) F2(c,0)若双曲线上存在一点 P使得 a bPFi 2PF2 ,求双曲线离心率的范围。

      解析:由双曲线的定义 归同 PF2I 2a, |PF1 4a,在 PFR中,结合双曲线的图像|PF1 PF2|| IF1F2 , 6a 2c,即 1 e 32 2例9已知双曲线二、1的左右焦点分别为 冗(c,0) F2(c,0),以F1F2为直径的圆与双曲线a b交于不同的四个点,顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形,求双曲线的离 心率解析:设P为圆与双曲线在第二象限的交点,则 F1PF2 — , pF1F2 —,在2 3RtF1PF2 中,PF2 PF1 2csin— 2ccos— c(V3 1) 2a 3 3e c . 3 1 a2 2例10已知双曲线勺 4 1的左右焦点分别为F「F2, P为双曲线上任意一点, F1PF2的a b内角平分线为l ,过F2做l的垂线F2M,设垂足为M ,求点M的轨迹解析:延长F2M交FF于N由角平分线及垂直关系得 PF2 |PN ,有OM是F1F2N的中位NF 1 1线,从而OM| JpfJ |PN ) 或PF1 PF2) a,故OM a为定值,即点M的轨迹是以坐标原点为圆心,a为半径的圆(去掉与x轴的交点)方程为 x2 y2 a2(x a)例 11、已知。

      A: (x 5)2 y2 49 ,B : (x 5)2 y2 1 ,若A 内切与B 外切, 求P的圆心的轨迹方程A: (x 5)2 y2 49 ,圆心 A( 5,0),半径 r1 7 ,OB: (x 5)2 y2 1 圆心 B(5,0),半径 r2 1 ,由题意的 PA r 1 , PB r 1PB PA (r 1) (r 7) 8,即P是以A、B为焦点的双曲线的左支2a 8 , a 4, 2c 10, c 5, b2 c2 a2 42 2P点的轨迹为——1(x 4)16 92例12、已知F「F2是双曲线x2 — 1的左右焦点,M( 6,6)是双曲线内部一点,P为双曲线3左支上一点,求PM PFi的最小值解析:双。

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