北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算讲义(学生、家长、教师必备).pdf

睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学睿待 睿其智，德其行1 第二章有理数及其运算 通关口诀：学好有理并不难；基本概念要通关整分统称有理数；小数有理也无理数轴加上反绝倒还有负数非负数六个概念先学好；五种运算无漏洞科学记数表大数；寻找规律有方法 正奇数学学堂第一讲：有理数与数轴【知识点一】正数、负数和0 1相反意义的量：由具有相反意义的词表示的两个量叫做具有相反意义的量2具有相反意义的两个量：规定其中一个量用正数表示；另一个量就用负数表示3正负数：正数：大于 0 的数；负数：小于0的数其中正数的正号可省略不写负数的负号必须写出40： 不仅表示“没有” ，它还是正数与负数的分界同时也是具有相反意义的量的基准量既不是正数又不是负数5正数与负数的分界：数 0 既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量正数，负数的“+” “- ”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号6重新认识两个符号“ +” ： 运算符号表示加；性质符号表正数 - ” ： 运算符号表示减；性质符号表负数正奇点睛：1其实上述两个符号还有“自己” 和“相反”的意思。

学了相反数自会明白2注意“负负得正”与“双重否定变肯定”的关系母题示例1任意写出5 个正数： _；任意写出5 个负数： _ 2 小明的姐姐在银行工作，她把存入3 万元记作 +3 万元，那么支取2 万元应记作 _,-4万元表示 _ 3 已知下列各数：51，432， 3.14 ， +3065，0，-239 则正数有 _；负数有_ 4 如果向东为正，那么 -50m 表示的意义是（）A向东行进50m C向北行进50m B向南行进50m D向西行进50m 5 下列结论中正确的是（）A0 既是正数，又是负数BO是最小的正数C0 是最大的负数D0 既不是正数，也不是负数6给出下列各数：-3，0，+5，213，+3.1 ，21， 2004，+2008其中是负数的有（）A2 个B 3个C4 个D 5个7 如果规定向东为正， 那么从起点先走+40 米，再走 60 米到达终点， 问终点在起点什么方向多少米？应怎样表示？一共走过的路程是多少米？810 筐橘子，以每筐15 为标准，超过的千睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学睿待 睿其智，德其行2 克数记作正数，不足的千克数记作负数标重的记录情况如下： +1，0.5，0.5，1，+0.5，0.5，+0.5，+0.5，+0.5，0.5。

问这 10 筐橘子各重多少千克？总重多少千克？9吐鲁番的海拔是155m，珠穆朗玛峰的海拔是 8848m ，它们之间相差多少米？【知识点二】有理数的概念及分类1分数与小数：小数： 有限小数； 无限小数 （循环； 不循环）分数： 可化为整数、有限小数或无限循环小数无限不循环小数：不能化为分数（不是分数） 2有理数： 整数和分数统称为有理数3有理数的分类（两分法和三分法）：略4小数与有理数：小数中的有限小数和无限循环小数属于有理数中的分数无限不循环小数不是有理数5非负数： 零和正数即：大于或等于0 的数6数集：把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集正奇点睛：特别注意“小数”与分数和有理数的关系母题示例1 有理数：1322,0,10.3,52,8, 0.38,102, 31, 1,6.3245其中：正 数 ：正分数：负 数 ：负分数：负整数：正整数： 2下列说法正确的是（）A有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B有理数不是正数就是负数C有理数不是整数就是分数; D以上说法都正确3判断：所有整数都是正数； （）所有正数都是整数： （）奇数都是正数； （）分数是有理数：（）4把下列各数填入相应的大括号内：-13 5，2，0，0128，-2 236，314，+27，-45，-15%，-112，227，2613正数集合 , ，负数集合 , ，整数集合 , ，分数集合 , ，非负数集合 , 5图中两个圆圈分别表示正整数集合和整数集合 , 请写并填入两个圆圈的重叠部分. 你能说出睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。

睿待 睿其智，德其行3 这个重叠部分表示什么数的集合吗? 正数集合整数集合【知识点三】数轴的概念、辩识和画法1数形结合的思想：数的准确与形的直观结合2定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴3数轴有三要素：原点、正方向和单位长度4数轴的画法：水平直线原点（标0）确定方向（用箭头表示）选取单位长度5注意： 画数轴时，原点的位置和单位长度的长短要根据题目的实际需要灵活确定6数轴的辨识：三要素 +单位长读是否统一知识点四：数轴上的点与有理数的关系1对应关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的所有点并不是都表示有理数有理数与数轴上的点不是“一一对应” 的关系2数的分布：正有理数用原点右边的点表示；负数用原点左边的点表示；0 用原点表示3表示方法：小数最好化成分数后再在数轴上找对应点数轴上表示某个数时，在该数所在点的位置标一个实心的小黑圆点，再上面或者下面写上对应的数即可母题示例1.写出数轴上点A,B,C,D,E 所表示的数 :2 下列所画的数轴中正确的是（）A B C D 3在数轴上点A表示 -4, 如果把原点O向负方向移动1.5 个单位 , 那么在新数轴上点A 表示的数是( ) A.215 B.-4 C.212 D.212【知识点五】数轴与有理数的大小。

1利用数轴可以方便快捷地比较有理数的大小2正数都大于0；负数都小于0；正数都大于负数3数轴上原点右边的点表示的数为正数；原点左边的点表示的数为负数；右边的点表示的数比左边的大简记为：右大左小4注意： 两个负数比较大小时： “表面越大”的数反而越小正奇点睛：数轴的三个基本功能：仓库；排队；数形结合母题示例 1画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点；并比较大小121，2，3， 2.7，131， 3，0 2如图所示， 根据有理数a，b，c 在数轴上的位置，下列关系正确的是（）A ba0c B ab0c C ba0c D abc0 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学睿待 睿其智，德其行4 第二讲：相反数与绝对值【知识点一】相反数1定义代数定义：如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数是另一个数的相反数也称这两个数互为相反数规定：0 的相反数是0几何定义：在数轴上，如果表示两个数的点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等，我们称其中的一个数是另一个数的相反数互为相反数）(3) 相反数的性质和求法2性质： 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数； 0 的相反数是0。

3求法： 按照定义直接写；联想数轴上的位置确定一个数的相反数；“计算法”：a 的相反数是a正奇点睛：1 “+”号：还可表示“不变”、 “自己” “- ”也可表示“相反数”的意义2巧用相反数 “计算法” 和上述解释化简“多重括号”3a-b 与 b-a 互为相反数； a+b与 a-b 互为相反数母题示例 1求下列各数的相反数：（1）-5 （2）21（3）0 （4）3a（5）-2b (6) a-b(7) a+2 2判断：（1） -2 是相反数（2） -3 和+3 都是相反数（3） -3 是 3 的相反数（4）-3 与+3 互为相反数（5）+3 是-3 的相反数（6）一个数的相反数不可能是它本身 3化简下列各数中的符号：（1）)312(（2）-（ +5）（3）)7(（4）) 3( 4已知 a、b 在数轴上的位置如图所示 1）在数轴上作出它们的相反数；（ 2）用“ 、= 或 填空（1）a_b , (2) |a|_|b| , (3) a_-b, (4)|a|_a , (5) |b|_b 5如果 |x|=|-2.5|,则 x=_ 6绝对值小于3 的整数有 _个，其中最小的一个是 _ 7|-3|的相反数是 ;若|x|=8,则x= . 8 选择题（1）如果 |a|=-a，那么（）A a 0 B a 0 C a 0 D 0a（2）若一个数大于它的相反数，则这个数是（）睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学。

睿待 睿其智，德其行6 A 正数 B 负数 C 非负数 D 非正数（3）下列判断中： （1）负数没有绝对值； （2）绝对值最小的有理数是0； （ 3）任何数的绝对值都是非负数；（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，其中正确的个数有（）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个第三讲：有理数的加减法【知识点一】有理数加法法则1. 有理数运算的原则：一定号；二定值2. 互为相反数的两数相加：和为0；两数和为0，这两数互为相反数（都为0 或符号相反，绝对值相等）3 . 0 + 任何数 = 任何数4. 加法法则口诀：同号一边倒，两绝加一起；异号拍马屁，大绝减小绝一步一回头，提高准确率）一定号二定值同号同号一边倒两绝加一起异号异号拍马屁大绝减小绝5. 结合加法的意义： “合并加；多几加”消化理解正奇点睛： 【想一想】1若 a+b=c，c 一定大于a 或 b，对吗？2 若 a 与 b 的和为正数， a 与 b 一定都是正数对吗？如果不对，有哪几种可能？3如果两个非负数的和为0，这两个非负数一定都等于0对吗？母题示例1. 计算（1）( 8) ( 5) (2)( 8) ( 5) (3)(8) ( 5) (4)(8)( 5) (5)(8) ( 8) (6)( 8) 0；（6） （-10.5 ）+（+1.3 ） （7） （-21）+31（8） （-3.125 ）+（+318） （9） （-13）+（+12）（ 10 ）（ -313） +0.3 （ 11 ） （ -22 914） +0 （12） -7+ -97152. 某公司三年的盈利情况如下表所示，规定盈利为“ +” （单位：万元）该公司前两年盈利了多少万元？（2）该公司三年共盈利多少万元？3. 判断（1）两个有理数相加，和一定比加数大. （）（2）绝对值相等的两个数的和为0. （）（3）若两个有理数的和为负数，则这两个数中至少有一个是负数.( ) 4. 一个正数与一个负数的和是（）A、正数B、负数C、零D、以上三种情况都有可能5.两个有理数的和（）A、一定大于其中的一个加数B、一定小于其中的一个加数C、大小由两个加数符号决定D、大小由两个加数的符号及绝对值而决定5已知. 5, 2 ba（1）求ba（2）若又有ba, 求ba. 6一个数为 -5 ，另一个数比它的相反数大4，这两数的和为_【知识点二】有理数加法的运算律。

1两律： 加法交换律；加法结合律2交换结合的原则：相反数结合到一起第一年第二年第三年-24 +15.6 +42 睿德教育正奇数学立体通关学案让孩子象玩游戏通关一样爱上并学好数学睿待 睿其智，德其行7 同号的数结合到一起分母相同的数结合到一起相加能得到整数的数结合到一起母题示例1.计算（1） (-23)+(+58)+(-17) （2） （-2.8)+(-3.6)+(-1.5)+3.6 （3）)75()65()72(61（4） （+4.56）+（-3.45）+（+4.44）+（ +2.45）（5） (-11)+8+(-14) （6）32)41()32()43(（7） 0.35+(-0.6)+0.25+(-5.4) （8）)61(31)21()2(2某出租车沿公路左右行驶，向左为正，向右为负， 某天从 A 地出发后到收工回家所走的路线如下：（单位：千米）8, 9, 4, 7,2, 10,18, 3, 7,5 问收工时离出。