1.6注册电气工程师_线性代数.docx

1.6 线性代数1) 理解行列式的定义与性质，掌握2阶与3阶行列式的计算，会求简单的高阶行列式2) 理解矩阵的概念，掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置与行列式运算及性质3) 理解逆矩阵的概念，会用伴随矩阵与初等变换求简单矩阵的逆矩阵，会解简单的矩阵方程4) 掌握初等变换方法5) 理解矩阵的秩的概念，掌握求矩阵秩的方法6) 理解n维向量的概念，了解向量组与矩阵之间的联系7) 了解向量组的线性组合、线性相关与线性无关的概念，性质与判断方法，了解向量组的最大无关组与秩的概念及求法8) 了解正交向量组与正交矩阵的概念9) 理解线性方程组的概念，掌握线性方程组的解的讨论方法，解的性质与解的结构，会求线性方程组的通解10) 理解特征值与特征向量的概念，了解特征值与特征向量的性质，掌握低阶方阵特征值与特征向量的计算方法11) 了解矩阵相似的概念与性质，了解矩阵相似对角化的方法12) 了解二次型的概念，了解二次型与对称阵之间的联系，会求二次型的秩，会应用特征值与特征向量把二次型化成标准型，了解矩阵合同的概念与性质，了解惯性定理与正交性线性代数以矩阵为工具，通过研究向量组的性质与结构解决一些特定的数学问题，例如线性方程组的求解、二次型的标准化等。

读者要以基本概念为重点，熟练掌握矩阵、向量的基本运算1.6.1 行列式 行列式是学习线性代数的一种工具1 n阶行列式 设（）是个实数，按如下排列，记号： 称为n阶行列式，为了方便，也简单记作每个n阶行列式都对应一个数，这个数称为行列式的值在不引起混淆的情况下，行列式的值就称作行列式 下面用递推法来定义行列式的值 在n阶行列式中，考虑元素，把所在的第行与第列划去，剩下个元素构成一个n-1阶行列式 称为n阶行列式中对应于元素的余子式，记称为n阶行列式中对应于元素的代数余子式给定n阶行列式，它共有个余子式，个代数余子式 n阶行列式的值定义为： 这里用第一行的元素与其对应的代数余子式的乘积和来规定行列式的值行列式的性质将表明，这可以推广到任意一行或任意一列 由行列式的定义得到：l １阶行列式 ，这时不要与绝对值的记号混淆l ２阶行列式l ３阶行列式＝2 若干特殊行列式的值用行列式的定义来计算ｎ阶行列式的值是很麻烦的下面给出几种常见的特殊行列式，其值可作为公式来记住a、 对角行列式：如果行列式仅主对角线（即,,…,连线）上元素可能非零，则此行列式的值等于主对角线上元素之积，即： b、 上（下）对角行列式如果行列式中元素仅当时，可能非零，则此行列式称为上三角行列式，它的值等于主对角线上元素之积，即： 类似地，如果行列式中元素仅当时，可能非零，则此行列式称为下三角行列式，它的值仍等于对角线上元素之积c、 次对角行列式如果行列式仅次对角线（即,,…,连线）上元素可能非零，那么 3 行列式的性质为今后计算ｎ阶行列式作准备，要了解行列式的一些性质。

A、 行列式的基本性质：行列式下列三条性质涉及到的运算是线性代数中最基本的运算，要求考生熟练掌握l 对调行列式中的任意两行或任意两列一次，则行列式的值改变符号，记号表示第i行与第j行对调，记号表示第i列与第j列对调注：相邻两行的对调，其导致的行列式肯定取反，非相邻两行的对调，需要经过奇数次相邻行的对调，因此其导致的行列式的肯定取反l 用常数k乘以行列式中某一行或某一列的全体元素，则行列式的值等于k乘原行列式的值，记号表示第i行乘常数k，记号表示第j列乘常数kl 把行列式的某一行（列）的全体元素乘以常数后加到另一行（列）的对应元素上，则行列式的值不变例如，以常数k乘第i行后加到第j行上（记作）有：其中B、 行列式的一般性质：下面罗列行列式的其他一些性质：l 如果行列式的某行（列）元素全是零，则行列式的值为０l 如果行列式中有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为０l 如果行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为０l 行列式经过“转置”后，其值不变转置行列式记作其意义是把原行列式Ｄ的第ｉ行元素作为的第ｉ列元素，且不改变次序， ，且l 如果行列式中某一行（列）上的元素都可以表示成两数之和，例如Ｄ的第ｉ行元素都是两数之和：则Ｄ等于下列两个行列式之和 使用这个性质时要注意，如果行列式Ｄ的全体元素都可以表示成两数之和，则Ｄ等于个行列式之和。

l 行列式中任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，即对任意的 对任意的 这个性质是行列式值定义的推广，这将给具体计算行列式提供方便l 行列式中任意一行（列）的元素与另一行（列）元素的代数余子式的乘积之和总是等于０，即对任意 与《如果行列式中有两行（列）元素对应相等，则行列式的值为０》相关4 n阶行列式的计算 当时，称行列式为低阶行列式；当时，称行列式为高阶行列式两类行列式的计算方法是有区别的a、 低阶行列式的计算：尽管计算低阶行列式也可以用计算高阶行列式的方法，但通常还是用“对角线法则”比较方便l ２阶行列式：l 3阶行列式： 要求读者熟练掌握低阶行列式的计算b、 高阶行列式的计算： 高阶行列式不要用对角线法则计算，因为一个4阶行列式展开后有4!=24项，高阶行列式一般用递推的行列式定义来计算但要注意，首先利用行列式的性质把某行（列）上的元素尽可能多地化成0，通常只保留一个非零元素（特殊情况下也可保留两个非零元素），这时一个n阶行列式就降阶成为一个n-1阶行列式 读者只需计算简单的高阶行列式就可以了1.6.2 矩阵 矩阵是学习线性代数的基本工具读者要熟练掌握矩阵的运算及其性质，它们是后续知识的基础。

1 矩阵 设（）是mn个实数，按如下排列，记号（也可用圆括号） 称为矩阵为了方便，也简单记作或实数称为矩阵A的第i行第j列元素，或A的元 当时，A称为n阶方阵（或n阶矩阵）一阶方阵； 当时，A称为行矩阵或行向量； 当时，A称为列矩阵或列向量 如果两个矩阵A、B的行数相等且列数相等，那么称A与B是同型矩阵如果与是同型矩阵，且对一切；都有，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B 全体元素都是0 的矩阵称为零矩阵，记作或实数0只有1个，但零矩阵有无穷多个，因为不同型的零矩阵是不相等的 如果一个n阶方阵主对角线上的元素全相等，且其余元素都为零，则称这个方阵为数量阵（纯量阵）例如，数量阵： 如果数量阵中主对角线上的元素全是1，则称这个数量阵为单位阵，记作或如果一个n阶方阵除主对角线上的元素外，其余元素都是0，则称这个方阵为对角阵例如，对角阵： n阶零矩阵、数量阵与单位阵都是特殊的对角阵2 矩阵的运算及其性质 矩阵的运算及其性质是矩阵内容的核心A、 矩阵的加法设矩阵与是同型矩阵矩阵A与B相加记作A+B，规定：矩阵的加法满足l 交换率：l 结合率：，当时，称是的负矩阵，记作B、 数乘矩阵设矩阵，，矩阵A与矩阵B的乘积记作AB，规定AB是一个矩阵，，其中： ，，表明AB的元等于左阵（即左边的矩阵A）的第i行元素与右阵（即右边的矩阵B）的第j列元素对应乘积之和。

于是，要使矩阵相乘有意义，必须满足左阵的列数等于右阵的行数行矩阵乘矩阵后仍然是行向量；矩阵乘列向量后仍然是列向量但是，交换次序相乘无意义矩阵与矩阵相乘满足：l 结合率　、l 分配率　、这里要注意，矩阵相乘不具有交换率，即一般但是，如果Ｂ是一个数量阵，那么，即数量阵与任意一个同阶方阵具有可交换性，这里要求Ａ为同阶方阵是为了保证乘法有意义，特殊地，当是阵时： 数与数相乘的性质不能简单地用到矩阵与矩阵的乘法，例如： 读者要熟悉行向量与列向量的乘法列向量（矩阵）与行向量（矩阵）相乘是一个矩阵： 这个矩阵的任意两行、任意两列对应成比例，行向量（矩阵）与列向量（矩阵）相乘是一个数（即矩阵） C、 方阵的幂设A是一个方阵，记A的次幂为（是正整数），规定： 这表明A的幂是个相乘对一般的矩阵（）A，A的幂无意义 方阵的幂运算满足： 、其中，是正整数 值得注意的是，由于，因此，一般地 但是，如果B是数量阵，那么上述式子左右相等例如：当时 其中，是正整数 设ｎ阶方阵，其中，，记，，则 这种形式的幂可以方便地计算D、 矩阵的转置：设是矩阵，记矩阵Ａ的转置矩阵为，是一个矩阵，规定： ，即的第列恰是Ａ的第ｉ行，矩阵的转置满足： ， ，当时，矩阵Ａ及其转置矩阵不是同型矩阵，因此。

如果Ａ是方阵，且，则称方阵Ａ为对称阵，对称阵中的元素按主对角线对称相等，即，（）例如，对角阵必定是对称阵，对任意一个矩阵Ａ，都是对称阵，因为： 但是，是阶对称阵；是阶对称阵E、 方阵的行列式设Ａ是一个方阵，记Ａ的行列式为，规定是由方阵Ａ中全体元素构成的行列式，其中各元素的位置保持不变方阵与行列式是两个不同的概念，只有对于一阶方阵，才能成立，因为它们都等于方阵的行列式满足： ， ，其中都是ｎ阶方阵要注意 当时，称为奇异阵；当时，称Ａ为非奇异阵ｎ阶零矩阵必定是一个奇异阵，但奇异阵不一定是零矩阵当时，由方阵行列式的性质推得，Ａ、Ｂ中至少有一个是奇异阵，这里假定与都是方阵如果，其中，是矩阵，是矩阵，，那么必定有，因为Ａ中有两行对应成比例F、 方阵的伴随矩阵设Ａ是一个ｎ阶方阵，记Ａ的伴随矩阵为，规定： 其中，是行列式中元的代数余子式 方阵的伴随矩阵满足： 其中A是n阶方阵，前一个等式表明：任意一个方阵与其伴随矩阵的乘法具有可交换性后一个等式表明：任意一个方阵与其伴随矩阵同为奇异阵或同为非奇异阵 计算伴随矩阵是很麻烦的，对于2阶方阵A ， 不妨把它作为一个公式G、 方阵的逆矩阵设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，满足 或 那么称方阵A可逆，称B是方阵A的逆矩阵，记作。

如果满足上述条件的方阵B不存在，那么称方阵A不可逆，或方阵A的逆矩阵不存在定理1 方阵A可逆的充分必要条件是，当A可逆时，是唯一的，且 方阵Ａ可逆的充分必要条件也可以表达成“Ａ是非奇异阵”换言之，方阵Ａ不可逆的充要条件是Ａ为奇异阵 方阵的逆矩阵满足： ；； ；； ； 要注意 当A是n阶对角阵时， 但是要注意： 不妨把它们作为公式使用 方阵Ａ的可逆性可以带来一些方便的结果例如，当Ａ可逆时， 后两个关系式是解矩阵方程的理论基础　3 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换本质上也是一种矩阵运算由于线性代数的绝大多数计算问题最后都可以归结为用矩阵的初等变换来解决，因此它具有特殊的意义 A、 矩阵的初等变换：类似于行列式的三条基本性质，对于任意一个矩阵作下列三种运算：l 对调矩阵的任意两行或任意两列l 用非零常数乘矩阵中某一行或某一列的全体元素l 把矩阵的某一行（列）的全体元素乘常数后加到另一行（列）的对应元素上称这三类运算为初等运算如果初等运算对行进行，则称为初等行变换；如果初等变换对列进行，则称为初等列变换矩阵经过初等变换之后，一般不再相等，常用记号“~”表示 如果矩阵A经过初等变。