第二节聚点,内点,界点.ppt

2 聚点 内点 界点 系 存在三种互斥情况 设 E 是 n 维空间 中的一个点集 是 中的一个定点 研究 与 E 的关我们来 1 定义 聚点 内点 界点 孤立点 第一 在 p0 点的附近根本没有E的点 第二 在 p0附近全是E的点 第三 在 p0附近既有属于E的点也有不 属于E 的点 定义1 P0是E的内点 1 存在点 p0的一个邻域 使 称 2 存在点 p0的一个邻域 使 称 P0是E的外点 3 若p0 的任一 邻域 内既有E中的点 又有 中的点 即 则称P0是E的边界点 界点 定义2 1 对点p0的任意邻域 中至少含有异于p0 的E中的一点 若p0的任意邻域 内部都含有E中的无 限多个点 则称p0是E的聚点 p 2 聚点的类型 1 E中无聚点 E 1 2 3 n 有限集 2 E中有有限个聚点 0是聚点 3 E中有无限多个聚点 E 0 1 0 1 内全体实数都是E的聚点 注意 聚点p0不一定是E的中的点 定理1 下面三个命题是等价的 1 p0是E的聚点 2 对于p0的任一邻域内 至少含有一个 属于E而异于p0的点 3 存在E中互异的点所成点列 使 证明 故只须证 在取出一点 在取出一点 依次构造出E中互异的 点列使 定义义 3 设设 E 是中一点集 为为 中一 定点 如果 属于E但不是E的聚点 则则 称为为E 的孤立点 注意 称为为E 的孤立点的充要条件 1 存在 的某邻邻域 使 称为为E 的孤立点的充要条件 1 存在 的某邻邻域 使 证明 设P0为E的孤立点 由定义P0 E 但P0不是E的聚点 再由定理1知存在P0的邻域 U P0 在U P0 中除P0外不含有E中任何点 从而E U P0 P0 反之 E U P0 使得U P0 E P0 则P 0 E 但U P0 中不含E中的点 由定理1知P0不是聚点 故P0是E的孤立点 注 2 E的界点不是聚点便是孤立点 点的类类型 内点 界点 外点 或 聚点 孤立点 外点 2 E的界点不是聚点便是孤立点 证明 设P0是E的边界点 若P0不是E 的聚点 则存在U P0 不含有异于P0的E中点 又P0是E 的边界点 知P0的任意邻域 U P0 E 特别对于U P0 也有 U P0 E 故U P0 E P0 由注 1 知P0是E的孤立点 注 1 孤立点是界点 2 内点是聚点 3 界点是聚界点或孤立点 4 聚点含内点和聚界点 5 界点和聚点不一点 因此得出以下几项注意 3 开核 边边界 导导集 闭闭包 定义义 4 设设 E 是中一点集 有 1 E 的全体内点所成的集合 称为为E 的 开核 记为记为 2 E 的全体界点所成的集合 称为为E 的 边边界 记为记为 3 E 的全体聚点所成的集合 称为为E 的 导导集 记为记为 记为记为 4 称为为E 的闭闭包 闭闭包的其他形式 E 的全体孤立点 闭闭包与开核的对对偶关系 定理 2 设设则则 定理 3 证明 1 由定理2 定理 3 2 反之设 由 Th 1在 中 存在互异的点列有 若则若则 则 Pn 中最多有有限个点属于A 其余的 无限多个点属于B 再由定理1 3 得故也有 由1 2 知 非空 1 A 是孤立点集 则 2 3 若 则 A例1 设 求证 R 证明 集合为至多可数集 1 A 是孤立点集 则 对任意 有 取有理数 令 若非空必是孤立点集 由1 由已知 由2 则 2 3 若 则 定理 4 设设E是一个有界的无限集合 则则E至 少有一个聚点 设设则则E至少有一界点 即 定理 5 Bolzano weierstrass 。