浅谈三角换元法.doc

浅谈三角换元法摘要：本文讨论一种重要的换元法，三角换元法. 首先介绍了常用的三角换元方法，然后通过实例展示了一些初等数学中的代数问题、几何问题以及部分高等数学中的积分问题转化为三角问题后，可以简洁、明了地加以解决.关键词：代数；几何；积分；三角换元法换元的思想在整个数学中都是很重要的，本文主要是对三角换元法作讨论. 三角换元法多用于条件不等式的证明或一些函数值的计算，也可用于解决一些几何中的问题.把某些代数问题或几何问题转化为三角问题，这就是代数问题或几何问题的三角解法，下面举例说明.当所给条件比较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都用同一个参数表示.如果运用恰当，可沟通三角与代数或几何的联系，将复杂的代数或几何问题转化为三角问题.根据具体问题，实施的三角代换方法有如下几种：（1）若x2+y2=a2，则可设x=acosθ，y=asinθ；（2）若x2+y2≤1，则可设x=rcosθ，y=rsinθ（其中0≤r≤1）.（3）若+=1，则可设x=acosθ，y=bsinθ.若-=1，则可设x=asecθ，y=btanθ.（4）若x+y+z=xyz，则可设x=tana，y=tanb，z=tanc.使用三角换元时，要注意换元后的变量的取值范围要与原变量的取值范围保持一致.代数问题的三角解法将复杂的代数问题转化为三角问题，会使问题变得简单明了.例1已知a2+b2=1，c2+d2=1，求证ac+bd≤1.分析：这是代数不等式问题，可以用代数方法证明.但若注意到题设中等式的特殊性，则会自然地想到三角公式sin2α+cos2α=1，于是可设a=sinα，b=cosα，把代数问题转化为三角运算.证明：由a2+b2=1，c2+d2=1，可设a=sinα，b=cosα，c=sinβ，d=cosβ.于是ac+bd=sinαsinβ+cosαcosβ=cos（α－β）. 因为cos（α－β）≤1，所以ac+bd≤1.例2若x2+y2=1，求证x2+2xy－y2≤.分析：绝对不等式的证明一般是比较困难的，这个题目的已知条件是x2+y2=1，容易联想到sin2α+cos2α=1，于是可设x=cosα，y=sinα，把代数问题转化为三角运算.证明：设x=cosα，y=sinα，则x2+2xy－y2=cos2α+2sinαcosα－sin2α=cos2α+sin2α=cos2α+sin2α=sin2α+≤，所以x2+2xy－y2≤.例3已知a2+b2=1，求证 =.证明：设a=sinθ，b=cosθ ，则=== = tan==，于是=.此题用三角代换显得简捷、明了.用作差法，化简后再将已知条件代入也可得证.例4 设x，y∈（0，+∞），不等式+≤a恒成立，求a的最小值.分析：不等式+≤a恒成立，等价于a≥ 恒成立，则a必不小于右边代数式的最大值，即只要求出的最大值即可. 观察到（）2+（）2=（）2，因此可用三角换元.解析：因为x，y∈r+，（）2+（）2=（）2，令=cosθ，=sinθ，θ∈0，.由+≤a，得a≥=cosθ+sinθ=sinθ+.因为0，于是25sin2θ－24=0，即sin2θ=.又cos2θ=±=±= ±，代入cos2θ=θ∈0，，得cosθ==，于是cosθ=或cosθ=.由②得49×25sin22θ+576sin2θ－24×24=0θ∈－，0.同理可得cosθ=或cosθ=.因此，x=或x=.经检验知x=或x=均为方程x+=的解.例6计算复数（－1+i）20.解析：（－1+i）20=20－+i20=2×10cos+isin20=210（cos15π+isin15π）=210（-1+0）= －210.例7对定义域分别是df，dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=f（x）g（x）（x∈df，x∈dg），f（x）（x∈df，x?埸dg），g（x）（x?埸df，x∈dg）.若gx=f（x+α），其中α是常数，且α∈［0，π］，请设计一个定义域为r的函数y=f（x），以及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明. （这是2005年上海市的高考试题（理）第21题（ⅲ））解法一：令f（x）=sin2x+cos2x，α=，则g（x）=f（x+α）=sin2x++cos2x+＝cos2x－sin2x.于是h（x）=f（x）f（x+α）＝（sin2x+cos2x）（cos2x－sin2x）=cos4x.解法二：令f（x）=1+sin2x，α=，则g（x）=f（x+α）=1+sin2x+=1－sin2x，于是h（x）=f（x）f（x+α）＝（1+sin2x）（1－sin2x）=1－2sin22x=cos4x.几何问题三角解法例8三角形三边为连续整数，其最大角为最小角的2倍，求各边的长.这个题需要用正弦定理和余弦定理建立边、角的联系.解析：设三角形三边的长分别为x－1，x，x+1，最小角为α，则最大角为2α.由正弦定理，得=，由二倍角公式得到=，于是cosα=.①再由余弦定理，得（x－1）2=x2+（x+1）2－2x（x+1）cosα， ②联合①②，消掉cosα，整理得到x=5.于是所求的三角形三边的长分别为4，5，6.例9已知圆的直径ab的长为2r，圆外的直线l与ab的延长线垂直，垂足为t，at=2a2a0）.解析：为了把被积函数中的根号去掉，可设x=atant－