《聚点,内点,界点》优秀课件.ppt

§2. 聚点，内点，界点聚点，内点，界点系系,存在三种互斥情况存在三种互斥情况: :设设设设 E E 是是是是 n n 维空间维空间维空间维空间 中的一个点集，中的一个点集，中的一个点集，中的一个点集， 是是是是中的一个定点，中的一个定点，中的一个定点，中的一个定点，研究研究研究研究 与与与与 E E 的关的关的关的关我们来我们来我们来我们来1 定义定义:聚点，内点，界点聚点，内点，界点,孤立点孤立点最新第二节 聚点,内点,界点第一第一：在：在 p0 点的附近点的附近根本没有根本没有E的点第二第二：在：在 p0附近全是附近全是E的点第三第三：在：在 p0附近既有属于附近既有属于E的点也有不的点也有不属于属于属于属于E E 的点最新第二节 聚点,内点,界点定义定义1 P0是是E的的内点内点.1) 存在点存在点 p0的一个邻域的一个邻域 使使 ,称称2) 存在点存在点 p0的一个邻域的一个邻域 使使 ,称称P0是是E的的外点外点.最新第二节 聚点,内点,界点3) 若若p0 的的任一任一 邻域邻域 内既有内既有E中的点中的点,又有又有 中的点中的点,即即则称则称P0是是E的的边界点边界点.(界点界点)/ /最新第二节 聚点,内点,界点定义定义2 1) 对点对点p0的的任意任意邻域邻域 中至少含有异于中至少含有异于p0的E中的一点. 若p0的任意邻域 内部都含有E中的无限多限多个点个点, ,则称则称p p0 0是是E E的的聚点聚点. .p p最新第二节 聚点,内点,界点2 聚点的类型聚点的类型1) E中无聚点中无聚点E={1,2,3,……，，n,……}、、有限集、有限集、2) E中有有限个聚点中有有限个聚点、、0是聚点。

是聚点最新第二节 聚点,内点,界点3) E中有无限多个聚点中有无限多个聚点E=(0，，1)、、[0，，1]内全体实数都是内全体实数都是E的聚点注意：注意：聚点聚点p0不一定是不一定是E的中的点的中的点最新第二节 聚点,内点,界点定理定理1 下面三个命题是等价的下面三个命题是等价的 (1) (1) p p0 0是是是是E E的聚点的聚点的聚点的聚点. .(2) (2) 对于对于对于对于p p0 0的任一邻域内的任一邻域内的任一邻域内的任一邻域内, ,至少含有一个至少含有一个至少含有一个至少含有一个属于属于属于属于E E而异于而异于而异于而异于p p0 0的点的点的点的点. .(3) (3) 存在存在存在存在E E中互异的点所成点列中互异的点所成点列中互异的点所成点列中互异的点所成点列 使使使使最新第二节 聚点,内点,界点证明：证明： 故只须证故只须证故只须证故只须证最新第二节 聚点,内点,界点在在在在取出一点取出一点取出一点取出一点在在在在取出一点取出一点取出一点取出一点依次构造出依次构造出依次构造出依次构造出E E中互异的中互异的中互异的中互异的点列点列点列点列使使使使最新第二节 聚点,内点,界点定定定定义义 3 3设设 E E 是是是是中一点集，中一点集，中一点集，中一点集， 为为中一中一中一中一定点，如果定点，如果定点，如果定点，如果 属于属于属于属于E E但不是但不是但不是但不是E E的聚点的聚点的聚点的聚点则则 称称称称为为E E 的的的的孤立点孤立点孤立点孤立点。

注意：注意：注意：注意：称称称称为为E E 的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件: :(1(1) )存在存在存在存在 的某的某的某的某邻邻域域域域使使使使最新第二节 聚点,内点,界点称称称称为为E E 的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件: :(1(1) )存在存在存在存在 的某的某的某的某邻邻域域域域使使使使证明证明证明证明: : 设设设设P P0 0为为为为E E的孤立点的孤立点的孤立点的孤立点, ,由定义由定义由定义由定义P P0 0∈ ∈ ∈ ∈E,E,但但但但P P0 0不是不是不是不是E E的聚点的聚点的聚点的聚点, ,再由定理再由定理再由定理再由定理1 1知存在知存在知存在知存在P P0 0的邻域的邻域的邻域的邻域U(PU(P0 0), ),在在在在U(PU(P0 0) )中除中除中除中除P P0 0外不含有外不含有外不含有外不含有E E中任何点中任何点中任何点中任何点, ,从而从而从而从而E∩U(PE∩U(P0 0)={P)={P0 0}. }.反之反之反之反之, ,E EU(PU(P0 0), ),使得使得使得使得U(PU(P0 0)∩E={P)∩E={P0 0} }则则则则P P0 0∈ ∈ ∈ ∈E E但但但但U(PU(P0 0) )中不含中不含中不含中不含E E中的点中的点中的点中的点, ,由定理由定理由定理由定理1 1知知知知P P0 0不是聚点不是聚点不是聚点不是聚点, ,故故故故P P0 0是是是是E E的孤立点的孤立点的孤立点的孤立点. .注注注注最新第二节 聚点,内点,界点(2(2) )E E的界点不是聚点便是孤立点。

的界点不是聚点便是孤立点的界点不是聚点便是孤立点的界点不是聚点便是孤立点点的点的点的点的类类型型型型内点内点内点内点界点界点界点界点外点外点外点外点或或或或聚点聚点聚点聚点孤立点孤立点孤立点孤立点外点外点外点外点最新第二节 聚点,内点,界点(2(2) )E E的界点不是聚点便是孤立点的界点不是聚点便是孤立点的界点不是聚点便是孤立点的界点不是聚点便是孤立点证明证明证明证明: :设设设设P P0 0是是是是E E的边界点的边界点的边界点的边界点, , 若若若若P P0 0不是不是不是不是E E 的聚点的聚点的聚点的聚点, ,则存在则存在则存在则存在U(PU(P0 0) )不含有异于不含有异于不含有异于不含有异于P P0 0的的的的E E中点中点中点中点, ,又又又又P P0 0是是是是E E 的边界点的边界点的边界点的边界点, ,知知知知P P0 0的任意邻域的任意邻域的任意邻域的任意邻域U(PU(P0 0)∩E≠φ,)∩E≠φ,特别对于特别对于特别对于特别对于U(PU(P0 0) ), ,也有也有也有也有U(PU(P0 0)∩E≠φ,)∩E≠φ,故故故故U(PU(P0 0)∩E={P)∩E={P0 0}, },由注由注由注由注(1)(1)知知知知P P0 0是是是是E E的孤立点的孤立点的孤立点的孤立点. .注注注注最新第二节 聚点,内点,界点（（（（1 1）孤立点是界点）孤立点是界点）孤立点是界点）孤立点是界点（（（（2 2）内点是聚点）内点是聚点）内点是聚点）内点是聚点（（（（3 3）界点是聚界点或孤立点）界点是聚界点或孤立点）界点是聚界点或孤立点）界点是聚界点或孤立点（（（（4 4）聚点含内点和聚界点）聚点含内点和聚界点）聚点含内点和聚界点）聚点含内点和聚界点（（（（5 5）界点和聚点不一点）界点和聚点不一点）界点和聚点不一点）界点和聚点不一点因此得出以下几项注意因此得出以下几项注意因此得出以下几项注意因此得出以下几项注意最新第二节 聚点,内点,界点3 3 开核、开核、开核、开核、边边界、界、界、界、导导集、集、集、集、闭闭包包包包定定定定义义 4 4 设设 E E 是是是是中一点集，有中一点集，有中一点集，有中一点集，有(1(1) )E E 的全体内点所成的集合，称的全体内点所成的集合，称的全体内点所成的集合，称的全体内点所成的集合，称为为E E 的的的的开核开核开核开核。

记为记为(2(2) )E E 的全体界点所成的集合，称的全体界点所成的集合，称的全体界点所成的集合，称的全体界点所成的集合，称为为E E 的的的的边边界界界界 记为记为最新第二节 聚点,内点,界点(3(3) )E E 的全体聚点所成的集合，称的全体聚点所成的集合，称的全体聚点所成的集合，称的全体聚点所成的集合，称为为E E 的的的的导导集集集集 记为记为记为记为(4(4) )称称称称为为E E 的的的的闭闭包包包包，，，，闭闭包的其他形式：包的其他形式：包的其他形式：包的其他形式：{ {E E 的全体孤立点的全体孤立点的全体孤立点的全体孤立点} }最新第二节 聚点,内点,界点闭闭包与开核的包与开核的包与开核的包与开核的对对偶关系：偶关系：偶关系：偶关系：定理定理定理定理 2 2 设设则则定理定理定理定理 3 3最新第二节 聚点,内点,界点证明：证明：证明：证明：1)1)由定理由定理由定理由定理2 2定理定理定理定理 3 3最新第二节 聚点,内点,界点2)2)反之设反之设反之设反之设由由由由 ThTh 1 1在在在在中中中中存在互异的点列存在互异的点列存在互异的点列存在互异的点列有有有有若若若若则则则则若若若若则则则则则则则则{P{Pn n} }中最多有有限个点属于中最多有有限个点属于中最多有有限个点属于中最多有有限个点属于A,A,其余的其余的其余的其余的无限多个点属于无限多个点属于无限多个点属于无限多个点属于B B。

/ // /最新第二节 聚点,内点,界点再由定理再由定理再由定理再由定理1(3)1(3)得得得得故也有故也有故也有故也有由由由由1 1））））2 2）知）知）知）知最新第二节 聚点,内点,界点非空，非空，非空，非空，1)1)A A 是孤立点集，是孤立点集，是孤立点集，是孤立点集，则则则则2)2)3)3)若若若若则则则则AA例例例例1 1：：：：设设设设求证：求证：求证：求证：∪ ∪∪ ∪RR最新第二节 聚点,内点,界点证明：证明：证明：证明：集合为至多可数集集合为至多可数集集合为至多可数集集合为至多可数集1)1)A A 是孤立点集，是孤立点集，是孤立点集，是孤立点集，则则则则对任意对任意对任意对任意有有有有取有理数取有理数取有理数取有理数令令令令最新第二节 聚点,内点,界点若非空必是孤立点集，若非空必是孤立点集，若非空必是孤立点集，若非空必是孤立点集， 由由由由1)1)由已知由已知由已知由已知由由由由2)2)则则则则2)2)3)3)若若若若则则则则最新第二节 聚点,内点,界点定理定理定理定理 4 4 设设E E是一个有界的无限集合，是一个有界的无限集合，是一个有界的无限集合，是一个有界的无限集合，则则E E至至至至少有一个聚点。

少有一个聚点少有一个聚点少有一个聚点设设则则E E至少有一界点至少有一界点至少有一界点至少有一界点即即即即定理定理定理定理 5 5 (Bolzano--weierstrass)(Bolzano--weierstrass)最新第二节 聚点,内点,界点。