习题课定积分应用微分方程(共10页).doc

精选优质文档-----倾情为你奉上习题课 定积分应用与微分方程一．定积分应用l 直角坐标系中平面区域的面积 设在区间上可积, 则区域的面积为l 参数方程下区域的面积 设区域的边界由曲线确定, 其中连续可导, , 则区域的面积为l 极坐标系下区域的面积设区域为则其面积为1. 求曲线与围出的面积.解: l 绕轴旋转生成的旋转体的体积 平面区域绕轴旋转生成的旋转体的体积为l 绕轴旋转生成的旋转体的体积 平面区域绕轴旋转生成的旋转体的体积为2. 求由曲线及轴所为平面区域绕轴及绕轴旋转生成的旋转体的体积.解: l 直角坐标系中的光滑曲线的弧长为l 参数方程下光滑曲线的弧长为l 极坐标系下光滑曲线的弧长为3. 求圆的周长.解: 解法一 求第一象限的弧长再乘4. , 解法二 圆的参数方程为l 直角坐标系中曲线绕轴旋转生成的旋转体的侧面积为l 参数方程下曲线绕轴旋转生成的旋转体的侧面积为4. 设有曲线, 过原点作其切线, 求此曲线,切线及轴为成的平面区域绕轴旋转一周所得到的旋转体表面积.解: 可以求得切线为, 切点为. 旋转体表面积由两部分组成: 由曲线绕轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 由切线绕轴旋转一周所得到的旋转体表面积为 5. 将半圆形平板闸门垂直放入水中, 直径与水平面重合,水的密度为本1,求闸门受的压力.解: 以水平面为轴, 垂直向下为轴建立坐标系, , 其中为半径. 压力 6. 将一半径为的圆球压入水中, 使球体刚好与水平面相切, 求克服水的浮力作的功(设水的密度为1).解: 2RyxO 取厚度为的水平薄片, 其受水的浮力微元为, 功的微元为xy0a-a, 7. 求由星形线 绕x轴旋转所成旋转体体积（如图）.解 由方程 解出 ，于是所求体积为 8. 图分别是和的图象，过点(0，1)的曲线是一单调增函数的图象，过上任一点分别做垂直于轴和轴的直线和的直线和，记和所围图形的面积为，和所围图形的面积为，如果总有，求曲线的方程。

解 ，由题意，，为求曲线的方程，将上式两边对求导数得到，注意到与的反函数关系，即有，所以 9. 求由抛物线过焦点的弦所围成的图形面积的最小值分析 利用过焦点的弦与轴倾角的正切将直线方程表示出来，并与抛物线方程联立，求出交点的纵坐标，选为积分变量，求出曲边图形的面积，由面积最小求出倾角，进而求出最小面积解 设过焦点的弦与轴的倾角为，焦点坐标，故此弦的直线方程是，联立直线与抛物线，求交点的纵坐标由解得 .记，则，所以弦与抛物线围成图形的面积为 .当时，取得最小值为1，此时.10. 设函数在上连续，在内大于零，并满足（为常数），又曲线与直线所围的图形的面积为2.⑴求函数；⑵为何值时，图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积最小分析 由已知等式（为常数）可得 ，故由在的连续性，对关系式两边求不定积分，可确定的含有任意常数的表达式，再由已给的面积关系确定，从而可以讨论旋转体的体积解 ⑴由已知条件可得 .对上式求不定积分，由在的连续性得 ，又由已知条件有 ，故，所以 .⑵旋转体的体积 上式两边对求导，并令一阶导数为零，求其驻点。

由，解得是惟一驻点，又，所以为体积的惟一极小值点，故为最小值点，因此时旋转体体积最小曲线绕极轴旋转所成立体的体积为11. 求心星线绕极轴旋转一周所得旋转体的体积解：利用极坐标系下曲线绕极轴旋转所成旋转体的体积公式进行计算【注意】求在极坐标系下曲线绕极轴旋转所成旋转体的体积，应把极角或极径的取值范围搞清12. 求证证明： ，， 13. 设，，且，，求证： 因为，，两边在上积分即可14. 设，，求证：证明：，故在上存在最大值 ， 因为，单调下降，二．微分方程1. ,,还有一解: 2.解: ; ;另有一解 .3. 解方程：.解: 令, 则, 这是分离变量方程, …….(答案)4.解1: 或解2: 5. .解1: 原式 解2: 原式型方程6. 解方程 .解1：伯努利方程:原式7. 微分形式的微分方程可化为 8. 在XOY坐标平面上,连续曲线L过点，其上任意点处的切线低斜率与直线OP的斜率之差等于（常数） (Ⅰ) 求L的方程:(Ⅱ) 当L与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.解：(Ⅰ)设L的方程为。

于是记L在点处切线斜率为，直线OP的斜率由题设知因此这表明是下列一阶线性微分方程初值问题的特解： 方程的通解为 令 得 ，故曲线L的方程为二次抛物线Ⅱ) 曲线L与直线的交点满足，，解出两个交点 与曲线L与直线所围成的平面图形面积为 令 得到常数9. 解方程： 解：，Bernoulli方程10. 解：，一阶线性方程11. 解：，一阶线性方程12. 解：记，，一阶线性方程13. 解：记，一阶线性方程14. 解：记，变量可分离型方程15. 解：记，，变量可分离型方程专心---专注---专业。